Categoría opuesta

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Categoría matemática formada por revertir morfismos

En la teoría de la categoría, una rama de las matemáticas, categoría opuesta o categoría dual C^operaciones de una categoría determinada C se forma revirtiendo los morfismos, es decir, intercambiando la fuente y el objetivo de cada morfismo. Hacer la inversión dos veces produce la categoría original, por lo que lo contrario de una categoría opuesta es la categoría original en sí. En símbolos, ${displaystyle (C^{text{op}})^{text{op}}=C}$ .

Ejemplos

Un ejemplo viene de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial. Así que si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤^operaciones por

x ≤^operaciones Sí. si Sí. ≤ x.

El nuevo orden se llama comúnmente orden dual de ≤, y es mayormente denotado por ≥. Por lo tanto, la dualidad juega un papel importante en la teoría del orden y cada concepto puramente teórico del orden tiene un doble. Por ejemplo, hay pares opuestos niño/parente, descendiente/ancestor, infimum/supremum, down-set/up-set, ideal/filtro etc. Esta dualidad teórica ordenada es a su vez un caso especial de la construcción de categorías opuestas ya que cada conjunto ordenado puede entenderse como una categoría.

Dado un semigrupo (S, ·), uno generalmente define el semigrupo opuesto como (S, ·)^operaciones =S, *) Donde x*Sí. ≔ Sí.·x para todos x,Sí. dentro S. Así también para los semigrupos hay un fuerte principio de dualidad. Claramente, las mismas obras de construcción para grupos, también, y se conoce en la teoría del anillo, también, donde se aplica al semigrupo multiplicativo del anillo para dar el anillo opuesto. De nuevo este proceso se puede describir completando un semigrupo a un monoide, tomando la categoría opuesta correspondiente, y luego posiblemente eliminando la unidad de ese monoide.
La categoría de álgebras booleanas y homomorfismos booleanos es equivalente a lo opuesto de la categoría de espacios de piedra y funciones continuas.
La categoría de esquemas affine es equivalente a lo opuesto de la categoría de anillos conmutativos.
La dualidad Pontryagin restringe a una equivalencia entre la categoría de grupos topológicos compactos Hausdorff y lo contrario de la categoría de grupos abelianos (descretos).
Por el teorema Gelfand–Neumark, la categoría de espacios mensurables localizables (con mapas mensurables) equivale a la categoría de álgebras Von Neumann conmutativas (con homomorfismos unitarios normales de *-álgebras).

Propiedades

Productos de conservas opuestos:

{displaystyle (Ctimes D)^{text{op}}cong C^{text{op}}times D^{text{op}}}

(véase la categoría de productos)

Funtores opuestos preservados:

{displaystyle (mathrm {Funct} (C,D))^{text{op}}cong mathrm {Funct} (C^{text{op}},D^{text{op}})}

(ver categoría functor, functor opuesto)

Porciones opuestas de conservas:

{displaystyle (Fdownarrow G)^{text{op}}cong (G^{text{op}}downarrow F^{text{op}})}

(véase la categoría de coma)

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