Categoría monoidal simétrica de la daga

En el campo matemático de la teoría de la categoría, a categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal ${\displaystyle \langle \mathbf {C}\otimesI\rangle }$ que también posee una estructura daga. Es decir, esta categoría viene equipada no sólo con un producto tensor en el sentido teórico de la categoría, sino también con una estructura daga, que se utiliza para describir morfismos unitarios y morfismos autoadjuntos en ${\displaystyle \mathbf {C}$: análogos abstractos de los encontrados FdHilb, la categoría de espacios finitos-dimensionales Hilbert. Este tipo de categoría fue introducida por Peter Selinger como una estructura intermedia entre las categorías de daga y las categorías compactas de daga que se utilizan en la mecánica cuántica categórica, un área que ahora también considera las categorías monoidales simétricas de daga al tratar con conceptos mecánicos cuánticos infinitos.

A categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal simétrica ${\displaystyle \mathbf {C}$ que también tiene una estructura daga tal que para todos ${\displaystyle f:A\rightarrow B.$, ${\displaystyle g:C\rightarrow D}$ y todos ${\displaystyle A,B,C}$ y ${\displaystyle D}$ dentro ${\displaystyle Ob(\mathbf {C}$,

• ${\displaystyle (f\otimes g)}=f^{\dagger }\otimes g^{\dagger # B\otimes D\rightarrow A\otimes C}$;
• ${\displaystyle \alpha ¿Por qué? A, B,C} {-1}:A\otimes (B\otimes C)\rightarrow (A\otimes B)\otimes C}$;
• ${\displaystyle \rho ################################################################################################################################################################################################################################################################ Un gorrión A\otimes I}$;
• ${\displaystyle \lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ Un gorrión I\otimes A}$ y
• ${\displaystyle \sigma ¿Por qué? }=\sigma A\otimes A\rightarrow A\otimes B}$.

Aquí, ${\displaystyle \alpha\lambda\rho }$ y ${\displaystyle \sigma }$ son los isomorfismos naturales que forman la estructura monoidal simétrica.

Las siguientes categorías son ejemplos de categorías monoidales simétricas de daga:

• La categoría Rel de conjuntos y relaciones donde el tensor es dado por el producto y donde la daga de una relación es dada por su converso relacional.
• La categoría FdHilb de dimensión finita Hilbert espacios es una categoría monoidal simétrica dagger donde el tensor es el habitual tensor de los espacios de Hilbert y donde la daga de un mapa lineal es dada por su adjoint hermitiano.

Una categoría monoidal simétrica de tipo daga que también es compacta y cerrada es una categoría compacta de tipo daga; ambos ejemplos anteriores son, de hecho, compactos de tipo daga.

• Categoría de cinta fuerte