Categoría (matemáticas)

Esta es una categoría con una colección de objetos A, B, C y colección de morfismos denotados f, g, g ∘ f, y los lazos son las flechas de identidad. Esta categoría es típicamente denotada por una cara audaz 3.

En matemáticas, una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta) es una colección de "objetos" que están unidas por "flechas". Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos, cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones.

Teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas se pueden describir en términos de categorías, y al hacerlo, a menudo se revelan profundas ideas y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Como tal, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para las matemáticas a la teoría de conjuntos y otras bases axiomáticas propuestas. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría brinda una forma fundamental y abstracta de describir las entidades matemáticas y sus relaciones.

Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en informática, como la semántica de los lenguajes de programación.

Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse "equivalentes" para los propósitos de la teoría de categorías, incluso si no tienen precisamente la misma estructura.

Las categorías conocidas se indican con una palabra breve en mayúscula o una abreviatura en negrita o cursiva: los ejemplos incluyen Conjunto, la categoría de conjuntos y funciones de conjunto; Anillo, la categoría de anillos y homomorfismos de anillos; y Top, la categoría de espacios topológicos y mapas continuos. Todas las categorías anteriores tienen el mapa de identidad como flechas de identidad y la composición como la operación asociativa sobre flechas.

El texto clásico y aún muy utilizado sobre teoría de categorías es Categorías para el matemático en activo de Saunders Mac Lane. Otras referencias se dan en las Referencias a continuación. Las definiciones básicas de este artículo se encuentran en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.

Cualquier monoide puede entenderse como un tipo especial de categoría (con un solo objeto cuyos automorfismos están representados por los elementos del monoide), al igual que cualquier preorden.

Definición

Hay muchas definiciones equivalentes de una categoría. Una definición comúnmente utilizada es la siguiente. Una categoría C consta de

• a class ob(C) de objetos,
• a class hom(C) de morfismos, o flechas, o mapas entre los objetos,
• a dominio, o objeto fuente función de clase dom:: hom()C)→ → ob()C){displaystyle mathrm {dom} colon mathrm {hom} (C)rightarrow mathrm {ob} (C)},
• a codomain, o objeto objetivo función de clase cod:: hom()C)→ → ob()C){displaystyle mathrm {cod} colon mathrm {hom} (C)rightarrow mathrm {ob} (C)},
• para cada tres objetos a, b y c, una operación binaria hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, cSe llama composición de morfismos; la composición f: a → b y g: b → c está escrito como g ∘ f o gf. (Algunos autores utilizan "orden diagramamático", escritura f;g o fg).

Nota: Aquí hom(a, b) denota la subclase de morfismos f en homC. dom()f)=a{displaystyle mathrm {dom} (f)=a} y cod()f)=b{displaystyle mathrm {cod} (f)=b}. Tales morfismos se escriben a menudo como f: a → b.

tal que se cumplen los siguientes axiomas:

• (asociatividad) si f: a → b, g: b → c y h: c → d entonces h ∘g ∘ f) =h ∘ g∘ f, y
• (identidad) por cada objeto x, existe un morfismo 1_x: x → x (Algunos autores escriben id_x) llamado el morfismo de identidad para x, tal que cada morfismo f: a → x satisfizo 1_x ∘ f = f, y cada morfismo g: x → b satisfizo g ∘ 1_x = g.

Escribimos f: a → b, y decimos que "f es un morfismo de a a b". Escribimos hom(a, b) (o hom_C(a, b) cuando puede haber confusión sobre a qué categoría se refiere hom(a, b)) para denotar la hom-class de todos los morfismos de a a b. A partir de estos axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. Algunos autores utilizan una ligera variación de la definición en la que cada objeto se identifica con el correspondiente morfismo de identidad.

Categorías pequeñas y grandes

Una categoría C se llama pequeña si tanto ob(C) como hom(C) son realmente conjuntos y no clases propias, y grandes de lo contrario. Una categoría localmente pequeña es una categoría tal que para todos los objetos a y b, la clase hom hom(a, b) es un conjunto, llamado homset. Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no son pequeñas, son al menos localmente pequeñas. Dado que, en las categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede verse como una estructura algebraica similar a un monoide pero sin requerir propiedades de cierre. Las categorías grandes, por otro lado, se pueden usar para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.

Ejemplos

La clase de todos los conjuntos (como objetos) junto con todas las funciones entre ellos (como morfismos), donde la composición de morfismos es la composición habitual de funciones, forma una gran categoría, Conjunto. Es la categoría más básica y más utilizada en matemáticas. La categoría Rel consta de todos los conjuntos (como objetos) con relaciones binarias entre ellos (como morfismos). Abstraerse de las relaciones en lugar de las funciones produce alegorías, una clase especial de categorías.

Cualquier clase puede verse como una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos de identidad. Tales categorías se llaman discretas. Para cualquier conjunto I dado, la categoría discreta en I es la categoría pequeña que tiene los elementos de I como objetos y solo los morfismos de identidad como morfismos. Las categorías discretas son el tipo de categoría más simple.

Cualquier conjunto preordenado (P, ≤) forma una pequeña categoría, donde los objetos son los miembros de P, los morfismos son flechas que apuntan desde x a y cuando x ≤ y. Además, si ≤ es antisimétrico, puede haber como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. La existencia de morfismos de identidad y la componibilidad de los morfismos están garantizadas por la reflexividad y la transitividad del preorden. Por el mismo argumento, cualquier conjunto parcialmente ordenado y cualquier relación de equivalencia pueden verse como una categoría pequeña. Cualquier número ordinal se puede ver como una categoría cuando se ve como un conjunto ordenado.

Cualquier monoide (cualquier estructura algebraica con una sola operación binaria asociativa y un elemento de identidad) forma una pequeña categoría con un solo objeto x. (Aquí, x es cualquier conjunto fijo.) Los morfismos de x a x son precisamente los elementos del monoide, el morfismo identidad de x es la identidad del monoide, y la composición categórica de los morfismos viene dada por la operación monoide. Se pueden generalizar varias definiciones y teoremas sobre monoides para categorías.

Del mismo modo, cualquier grupo puede verse como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible, es decir, para cada morfismo f hay un morfismo g que es tanto izquierda como derecha inversa a f bajo composición. Un morfismo que es invertible en este sentido se llama isomorfismo.

Un groupoid es una categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo. Los grupos son generalizaciones de grupos, acciones de grupo y relaciones de equivalencia. En realidad, a la vista de la categoría la única diferencia entre groupoid y grupo es que un groupoid puede tener más de un objeto pero el grupo debe tener sólo uno. Considerar un espacio topológico X y fijar un punto base x0{displaystyle x_{0} de X, entonces π π 1()X,x0){displaystyle pi _{1}(X,x_{0}} es el grupo fundamental del espacio topológico X y el punto base x0{displaystyle x_{0}, y como un conjunto tiene la estructura del grupo; si entonces deja el punto base x0{displaystyle x_{0} corre sobre todos los puntos X, y tomar la unión de todos π π 1()X,x0){displaystyle pi _{1}(X,x_{0}}, entonces el conjunto que obtenemos sólo tiene la estructura de groupoid (que se llama como el grupo fundamental de X): dos bucles (bajo relación de equivalencia de homotopy) pueden no tener el mismo punto base por lo que no pueden multiplicarse entre sí. En el idioma de la categoría, esto significa que aquí dos morfismos pueden no tener el mismo objeto fuente (o objeto objetivo, porque en este caso para cualquier morfismo el objeto fuente y el objeto objetivo son iguales: el punto base) por lo que no pueden componerse entre sí.

Un gráfico dirigido.

Cualquier gráfico dirigido genera una pequeña categoría: los objetos son los vértices del gráfico y los morfismos son las rutas en el gráfico (aumentadas con bucles según sea necesario) donde la composición de morfismos es la concatenación de rutas. Tal categoría se llama la categoría libre generada por el gráfico.

La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones monótonas como morfismos forma una categoría, Ord. Es una categoría concreta, es decir, una categoría que se obtiene añadiendo algún tipo de estructura a Set, y requiere que los morfismos sean funciones que respeten esta estructura añadida.

La clase de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos y composición de funciones como operación de composición forma una categoría grande, Grp. Al igual que Ord, Grp es una categoría concreta. La categoría Ab, que consta de todos los grupos abelianos y sus homomorfismos de grupo, es una subcategoría completa de Grp y el prototipo de una categoría abeliana. Otros ejemplos de categorías concretas se dan en la siguiente tabla.

Los paquetes de fibras con mapas de paquetes entre ellos forman una categoría concreta.

La categoría Gato consta de todas las categorías pequeñas, con funtores entre ellas como morfismos.

Construcción de nuevas categorías

Doble categoría

Cualquier categoría C se puede considerar como una nueva categoría de una manera diferente: los objetos son los mismos que los de la categoría original pero las flechas son las de la categoría original invertidas. Esto se denomina categoría dual u opuesta y se denota C^op.

Categorías de productos

Si C y D son categorías, se puede formar la categoría de producto C × D : los objetos son pares que consisten en un objeto de C y uno de D, y los morfismos también son pares, que consisten en un morfismo en C y uno en D. Dichos pares se pueden componer por componentes.

Tipos de morfismos

Un morfismo f: a → b se llama

• a monomorfismo (o monicSi es posible, es decir. fg₁ = fg₂ implicación g₁ = g₂ para todos los morfismos g₁, g₂: x → a.
• an epimorfismo (o épicaSi es correcto, es decir. g₁f = g₂f implicación g₁ = g₂ para todos los morfismos g₁, g₂: b → x.
• a bimorfismo si es un monomorfismo y un epimorfismo.
• a retracción si tiene un inverso derecho, es decir, si existe un morfismo g: b → a con fg = 1_b.
• a Sección si tiene un inverso izquierdo, es decir, si existe un morfismo g: b → a con gf = 1_a.
• an isomorfismo si tiene un inverso, es decir, si existe un morfismo g: b → a con fg = 1_b y gf = 1_a.
• an endomorfismo si a = b. La clase de endomorfismos de a es denotado final(a).
• an automorfismo si f es un endomorfismo y un isomorfismo. La clase de automorfismos de a es denotado aut(a).

Cada retractación es un epimorfismo. Cada sección es un monomorfismo. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

• f es un monomorfismo y una retracción;
• f es un epimorfismo y una sección;
• f es un isomorfismo.

Las relaciones entre morfismos (como fg = h) se pueden representar más convenientemente con diagramas conmutativos, donde los objetos se representan como puntos y los morfismos como flechas.

Tipos de categorías

• En muchas categorías, por ejemplo. Ab o VectK, el hom-sets hom(a, b) no son sólo conjuntos pero en realidad grupos abelianos, y la composición de los morfismos es compatible con estas estructuras de grupo; es decir, es bilinear. Tal categoría se llama preadditivo. Si, además, la categoría tiene todos los productos finitos y coproductos, se llama categoría aditiva. Si todos los morfismos tienen un núcleo y un cokernel, y todos los epimorfismos son coqueles y todos los monomorfismos son núcleos, entonces hablamos de una categoría abeliana. Un ejemplo típico de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos.
• Una categoría se llama completa si todos los límites pequeños existen en ella. Las categorías de conjuntos, grupos abelianos y espacios topológicos están completas.
• Una categoría se llama cartesiano cerrado si tiene productos directos finitos y un morfismo definido en un producto finito siempre puede ser representado por un morfismo definido en uno de los factores. Ejemplos incluyen Set y CPO, la categoría de pedidos parciales completos con funciones continuas de Scott.
• A topos es un cierto tipo de categoría cerrada cartesiana en la que todas las matemáticas se pueden formular (como clásicamente todas las matemáticas se formulan en la categoría de conjuntos). Un topos también se puede utilizar para representar una teoría lógica.