Categoría de grupos abelianos

En matemáticas, la categoría Ab tiene los grupos abelianos como objetos y los homomorfismos de grupo como morfismos. Este es el prototipo de una categoría abeliana: de hecho, cada pequeña categoría abeliana puede integrarse en Ab.

Propiedades

El objeto cero de Ab es el grupo trivial {0} que consta únicamente de su elemento neutro.

Los monomorfismos en Ab son los homomorfismos de grupo inyectivo, los epimorfismos son los homomorfismos de grupo sobreyectivo y los isomorfismos son los homomorfismos de grupo biyectivo.

Ab es una subcategoría completa de Grp, la categoría de todos los grupos. La principal diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos f y g entre grupos abelianos es nuevamente un homomorfismo de grupo:

()f+g)x+Sí.) f()x+Sí.) + g()x+Sí.) f()x) + f()Sí.) + g()x) + g()Sí.)

= f()x) + g()x) + f()Sí.) + g()Sí.) =f+g)x) + (f+g)Sí.)

La tercera igualdad requiere que el grupo sea abeliano. Esta adición de morfismo convierte Ab en una categoría preaditiva, y debido a que la suma directa de un número finito de grupos abelianos produce un biproducto, de hecho tenemos una categoría aditiva.

En Ab, la noción de núcleo en el sentido de la teoría de categorías coincide con el núcleo en el sentido algebraico, es decir, el núcleo categórico del morfismo f: A → B es el subgrupo K de A definido por K = {x ∈ A: f(x) = 0}, junto con el homomorfismo de inclusión i: K → A. Lo mismo ocurre con las coquillas; el núcleo de f es el grupo cociente C = B / f(A) junto con la proyección natural p: B → C. (Tenga en cuenta otra diferencia crucial entre Ab y Grp: en Grp puede suceder que f( A) no es un subgrupo normal de B, y que por lo tanto el grupo cociente B / f(A) no se puede formar.) Con estas descripciones concretas de núcleos y núcleos, es bastante fácil comprobar que Ab es de hecho una categoría abeliana.

El producto en Ab viene dado por el producto de grupos, formado tomando el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes y realizando la operación del grupo por componentes. Debido a que Ab tiene núcleos, se puede demostrar que Ab es una categoría completa. El coproducto en Ab viene dado por la suma directa; dado que Ab tiene cokernels, se deduce que Ab también es cocompleto.

Tenemos un funtor olvidadizo Ab → Conjunto que asigna a cada grupo abeliano el conjunto subyacente, y a cada homomorfismo de grupo la función subyacente. Este funtor es fiel y, por tanto, Ab es una categoría concreta. El functor olvidadizo tiene un adjunto izquierdo (que asocia a un conjunto dado el grupo abeliano libre con ese conjunto como base) pero no tiene un adjunto derecho.

Tomar límites directos en Ab es un funtor exacto. Dado que el grupo de números enteros Z sirve como generador, la categoría Ab es, por tanto, una categoría de Grothendieck; de hecho, es el ejemplo prototípico de una categoría de Grothendieck.

Un objeto en Ab es inyectivo si y sólo si es un grupo divisible; es proyectivo si y sólo si es un grupo abeliano libre. La categoría tiene un generador proyectivo (Z) y un cogenerador inyectivo (Q/Z).

Dados dos grupos abelianos A y B, su producto tensorial A⊗B está definido; es nuevamente un grupo abeliano. Con esta noción de producto, Ab es una categoría monoide simétrica cerrada.

Ab no es un topos ya que, p. tiene un objeto cero.