Categoría de conjuntos

En el campo matemático de la teoría de categorías, la categoría de conjuntos, denotada como Conjunto, es la categoría cuyos objetos son conjuntos. Las flechas o morfismos entre los conjuntos A y B son las funciones totales de A a B, y la composición de morfismos es la composición de funciones.

Muchas otras categorías (como la categoría de grupos, con homomorfismos de grupo como flechas) agregan estructura a los objetos de la categoría de conjuntos y/o restringen las flechas a funciones de un tipo particular.

Propiedades de la categoría de conjuntos

Los axiomas de una categoría son satisfechos por Conjunto porque la composición de funciones es asociativa, y porque cada conjunto X tiene una función identidad id_X : X → X que sirve como elemento de identidad para la composición de funciones.

Los epimorfismos en Set son las funciones sobreyectivas, los monomorfismos son las funciones inyectivas y los isomorfismos son las funciones biyectivas.

El conjunto vacío sirve como objeto inicial en Conjunto con funciones vacías como morfismos. Cada singleton es un objeto terminal, con funciones que asignan todos los elementos de los conjuntos de origen al único elemento de destino como morfismos. Por lo tanto, no hay objetos cero en Set.

La categoría Conjunto es completa y co-completa. El producto de esta categoría viene dado por el producto cartesiano de conjuntos. El coproducto viene dado por la unión disjunta: conjuntos dados A_i donde i oscila sobre algún conjunto de índices I, construimos el coproducto como la unión de A_i×{i} (el producto cartesiano con i sirve para asegurar que todos los componentes permanezcan disjuntos).

Conjunto es el prototipo de una categoría concreta; otras categorías son concretas si están "construidas sobre" Establecer de alguna manera bien definida.

Cada conjunto de dos elementos sirve como clasificador de subobjetos en Conjunto. El objeto potencia de un conjunto A viene dado por su conjunto potencia, y el objeto exponencial de los conjuntos A y B viene dado por el conjunto de todas las funciones de A a B. Set es pues un topos (y en particular cartesiano cerrado y exacto en el sentido de Barr).

Set no es abeliano, aditivo ni preaditivo.

Todo conjunto no vacío es un objeto inyectivo en Conjunto. Todo conjunto es un objeto proyectivo en Conjunto (asumiendo el axioma de elección).

Los objetos finitamente presentables en Conjunto son los conjuntos finitos. Dado que todo conjunto es un límite directo de sus subconjuntos finitos, la categoría Conjunto es una categoría localmente presentable finitamente.

Si C es una categoría arbitraria, los funtores contravariantes de C a Set suelen ser un importante objeto de estudio. Si A es un objeto de C, entonces el funtor de C a Set que envía X a Hom_C(X,A) (el conjunto de morfismos en C de X a A) es un ejemplo de dicho funtor. Si C es una categoría pequeña (es decir, la colección de sus objetos forma un conjunto), entonces los funtores contravariantes de C a Set, junto con transformaciones naturales como morfismos, forman una nueva categoría, una categoría funtor conocida como la categoría de presheaves en C.

Fundamentos para la categoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto; esto se sigue del axioma de fundamento. Uno se refiere a las colecciones que no son conjuntos como clases propias. No se pueden manejar las clases adecuadas como se manejan los conjuntos; en particular, no se puede escribir que esas clases propias pertenezcan a una colección (ya sea un conjunto o una clase propia). Esto es un problema porque significa que la categoría de conjuntos no puede formalizarse directamente en este escenario. Las categorías como Conjunto cuya colección de objetos forma una clase adecuada se conocen como categorías grandes, para distinguirlas de las categorías pequeñas cuyos objetos forman un conjunto.

Una forma de resolver el problema es trabajar en un sistema que otorgue un estatus formal a las clases adecuadas, como la teoría de conjuntos NBG. En esta configuración, las categorías formadas a partir de conjuntos se dice que son pequeñas y aquellas (como Conjunto) que se forman a partir de clases adecuadas se dice que son grandes.

Otra solución es asumir la existencia de los universos Grothendieck. Roughly speaking, a Grothendieck Universe is a set which is itself a model of ZF(C) (for instance if a set belong to a universo, its elements and its powerset will belong to the universal). La existencia de los universos Grothendieck (excepto el conjunto vacío y el conjunto V⋅ ⋅ {displaystyle V_{omega } de todos los conjuntos hereditariamente finitos) no está implicado por los axiomas ZF habituales; es un axioma adicional, independiente, aproximadamente equivalente a la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles. Suponiendo este axioma extra, uno puede limitar los objetos de Set a los elementos de un universo particular. (No hay "conjunto de conjuntos" dentro del modelo, pero uno todavía puede razonar sobre la clase U de todos los conjuntos interiores, es decir, elementos de U.)

En una variación de este esquema, la clase de conjuntos es la unión de todos los universos de la torre de Grothendieck. (Esta es necesariamente una clase adecuada, pero cada universo de Grothendieck es un conjunto porque es un elemento de un universo de Grothendieck más grande). Sin embargo, uno no trabaja directamente con la 'categoría de todos los conjuntos'. En cambio, los teoremas se expresan en términos de la categoría Conjunto_U cuyos objetos son los elementos de un universo de Grothendieck suficientemente grande U, y luego se demuestra que no dependen de la elección particular de U. Como base para la teoría de categorías, este enfoque se adapta bien a un sistema como la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck en el que no se puede razonar directamente sobre las clases adecuadas; su principal desventaja es que un teorema puede ser verdadero para todo Conjunto_U pero no para Conjunto.

Se han propuesto varias otras soluciones y variaciones de las anteriores.

Los mismos problemas surgen con otras categorías concretas, como la categoría de grupos o la categoría de espacios topológicos.