Categoría de aditivos

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, una categoría aditiva es una categoría preaditiva C que admite todos los biproductos finitos.

Definición

Una categoría C es preaditiva si todos sus hom-sets son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal; en otras palabras, C se enriquece sobre la categoría monoidal de grupos abelianos.

En una categoría preaditiva, todo producto finito (incluido el producto vacío, es decir, un objeto final) es necesariamente un coproducto (u objeto inicial en el caso de un diagrama vacío) y, por lo tanto, un biproducto y, a la inversa, todo coproducto finito es necesariamente un producto (esto es una consecuencia de la definición, no una parte de ella).

Por lo tanto, una categoría aditiva se describe de manera equivalente como una categoría preaditiva que admite todos los productos finitos, o una categoría preaditiva que admite todos los coproductos finitos.

Otra forma, aunque equivalente, de definir una categoría aditiva es una categoría (que no se supone que sea preaditiva) que tiene un objeto cero, coproductos finitos y productos finitos, y tal que el mapa canónico del coproducto al producto

X∐ ∐ Y→ → X∏ ∏ Y{displaystyle Xcoprod Yto Xprod Sí.

es un isomorfismo. Este isomorfismo se puede utilizar para equipar Hom()X,Y){displaystyle mathrm {Hom} (X,Y)} con una estructura monoide conmutativa. El último requisito es que este es de hecho un grupo abeliano. A diferencia de las definiciones antes mencionadas, esta definición no necesita la estructura aditiva auxiliar en los conjuntos Hom como datum, sino más bien como una propiedad.

Tenga en cuenta que el subproducto vacío es necesariamente un objeto cero en la categoría, y una categoría que admite todos los subproductos finitos a menudo se denomina semiaditivo. Como se muestra a continuación, cada categoría semiaditiva tiene una adición natural, por lo que alternativamente podemos definir una categoría aditiva como una categoría semiaditiva que tiene la propiedad de que cada morfismo tiene un inverso aditivo.

Generalización

Más generalmente, también se consideran categorías R-lineales aditivas para un anillo conmutativo R. Estas son categorías enriquecidas sobre la categoría monoidal de R-módulos y que admiten todos los biproductos finitos.

Ejemplos

El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría de grupos abelianos Ab. El objeto cero es el grupo trivial, la suma de morfismos se da puntualmente y los biproductos se dan mediante sumas directas.

De manera más general, cada categoría de módulo sobre un anillo R es aditiva y, en particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K es aditivo.

El álgebra de matrices sobre un anillo, pensada como una categoría como se describe a continuación, también es aditiva.

Caracterización interna de la ley de la suma

Sea C una categoría semiaditiva, por lo que una categoría que tiene todos los subproductos finitos. Entonces cada hom-set tiene una adición, dotándolo de la estructura de un monoide abeliano, y tal que la composición de morfismos es bilineal.

Además, si C es aditivo, entonces las dos sumas en los hom-sets deben coincidir. En particular, una categoría semiaditiva es aditiva si y solo si todo morfismo tiene un inverso aditivo.

Esto muestra que la ley de adición para una categoría aditiva es interna a esa categoría.

Para definir la ley de la adición, usaremos la convención de que para un biproducto, p_k denotará los morfismos de proyección, y i _k denotará los morfismos de inyección.

Para cada objeto A, definimos:

• el morfismo diagonal /23: A → A ⊕ A por ▪ i₁ + i₂;
• el morfismo codiagonal . A ⊕ A → A por ▪ p₁ + p₂.

Entonces, para k = 1, 2, tenemos p_k ∘ ∆ = 1_A y ∇ ∘ i_k = 1_A.

A continuación, dados dos morfismos α_k: A → B , existe un único morfismo α₁ ⊕ α₂: A ⊕ A → B ⊕ B tal que p_l ∘ (α₁ ⊕ α₂) ∘ i_k es igual a α_k si k = l, y 0 en caso contrario.

Podemos por tanto definir α₁ + α₂:= ∇ ∘ (α₁ ⊕ α ₂) ∘ ∆.

Esta suma es tanto conmutativa como asociativa. La asociatividad se puede ver considerando la composición

A→Δ Δ A⊕ ⊕ A⊕ ⊕ A→α α 1⊕ ⊕ α α 2⊕ ⊕ α α 3B⊕ ⊕ B⊕ ⊕ B→Silencio Silencio B{displaystyle A {xrightarrow {quad Delta quad} Aoplus Aoplus A {xrightarrow {alpha _{1}oplus ,alpha _{2},oplus ,alpha ¿Qué? Boplus Boplus B {xrightarrow {quad nabla quad} B.

Tenemos α + 0 = α, usando eso α ⊕ 0 = i₁ ∘ α ∘ p₁.

También es bilineal, usando por ejemplo que ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ y que (α ₁ ⊕ α₂) ∘ (β₁ ⊕ β₂) = (α₁ ∘ β₁) ⊕ (α₂ ∘ β₂).

Remarcamos que para un biproducto A ⊕ B tenemos i₁ ∘ p₁ + i₂ ∘ p₂ = 1. Usando esto, podemos representar cualquier morfismo A ⊕ B → C ⊕ D como una matriz.

Representación matricial de morfismos

Objetos dados A₁, ... , A_n y B₁, ... , B_m en una categoría aditiva, podemos representar morfismos f: A₁ ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ A_n → B ₁ ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ B_m como m-by-n matrices

()f11f12⋯ ⋯ f1nf21f22⋯ ⋯ f2n⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ fm1fm2⋯ ⋯ fmn){displaystyle {begin{pmatrix}f_{11} limitf_{12} limitcdots ¿Qué?... {mn}end{pmatrix}} Donde fkl:=pk∘ ∘ f∘ ∘ il:: Al→ → Bk.{displaystyle F_{kl}:=p_{k}circ Fcirc i_{l}colon A_{l}to B_{k}.

Usando eso ∑_k i_k ∘ p _k = 1, se sigue que la suma y la composición de matrices obedecen las reglas usuales para la suma y multiplicación de matrices.

Por lo tanto, las categorías aditivas pueden verse como el contexto más general en el que el álgebra de matrices tiene sentido.

Recuerde que los morfismos de un solo objeto A a sí mismo forman el anillo de endomorfismo Fin (A). Si denotamos el producto n-fold de A consigo mismo por Aⁿ, luego morfismos de Aⁿ a A ^m son matrices m-por-n con entradas del anillo Fin(A).

Por el contrario, dado cualquier anillo R, podemos formar una categoría Mat (R) tomando objetos A_n indexados por el conjunto de naturales números (incluido el cero) y dejar que el conjunto hom de morfismos de A_n a A_m sea el conjunto de m-by-n matrices sobre R, y donde la composición viene dada por la multiplicación de matrices. Entonces Mat(R) es una categoría aditiva, y A_n es igual al pliegue n potencia (A₁)ⁿ.

Esta construcción debe compararse con el resultado de que un anillo es una categoría preaditiva con un solo objeto, que se muestra aquí.

Si interpretamos el objeto A_n como el módulo izquierdo Rⁿ, entonces esta categoría de matriz se convierte en una subcategoría de la categoría de módulos izquierdos sobre R.

Esto puede ser confuso en el caso especial donde m o n es cero, porque normalmente no pensamos en matrices con 0 filas o 0 columnas. Sin embargo, este concepto tiene sentido: tales matrices no tienen entradas y, por lo tanto, están completamente determinadas por su tamaño. Si bien estas matrices son bastante degeneradas, es necesario incluirlas para obtener una categoría aditiva, ya que una categoría aditiva debe tener un objeto cero.

Sin embargo, pensar en tales matrices puede ser útil de una manera: resaltan el hecho de que dado cualquier objeto A y B en una categoría aditiva, hay exactamente un morfismo de A a 0 (al igual que hay exactamente una matriz de 0 por 1 con entradas en End(A)) y exactamente un morfismo de 0 a B (al igual que hay exactamente una matriz de 1 por 0 con entradas en End(B)): esto es exactamente lo que significa decir que 0 es un objeto cero. Además, el morfismo cero de A a B es la composición de estos morfismos, como se puede calcular multiplicando las matrices degeneradas.

Funtores aditivos

Un funtor F: C → D entre categorías preaditivas es aditivo si es un homomorfismo de grupo abeliano en cada hom-set en C. Si las categorías son aditivas, entonces un funtor es aditivo si y solo si conserva todos los diagramas de biproductos.

Es decir, si B es un subproducto de A₁, ... , A_n en C con morfismos de proyección p_k y morfismos de inyección i_j, luego F(B) debe ser un subproducto de F(A₁), ... , F(A_n) en D con proyección morfismos F(p_j) y morfismos de inyección F(i_j).

Casi todos los funtores estudiados entre categorías aditivas son aditivos. De hecho, es un teorema que todos los funtores adjuntos entre categorías aditivas deben ser funtores aditivos (ver aquí), y los funtores más interesantes estudiados en toda la teoría de categorías son adjuntos.

Generalización

Al considerar los funtores entre R-categorías aditivas lineales, generalmente se restringe a los funtores R-lineales, por lo que aquellos funtores que dan un R-homomorfismo del módulo en cada conjunto hom.

Casos especiales

• A pre-abelian category es una categoría aditiva en la que cada morfismo tiene un núcleo y un cokernel.
• An categoría abeliana es una categoría pre-abeliana tal que cada monomorfismo y epimorfismo es normal.

Muchas categorías aditivas comúnmente estudiadas son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Los grupos abelianos libres proporcionan un ejemplo de una categoría que es aditiva pero no abeliana.