Categoría abeliana

En matemáticas, una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que existen núcleos y conúcleos y tienen propiedades deseables. El ejemplo prototípico motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos, Ab. La teoría se originó en un esfuerzo por unificar varias teorías de cohomología de Alexander Grothendieck e independientemente en el trabajo ligeramente anterior de David Buchsbaum. Las categorías abelianas son categorías muy estables; por ejemplo, son regulares y satisfacen el lema de la serpiente. La clase de categorías abelianas se cierra bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadena de una categoría abeliana, o la categoría de funtores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianos. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en álgebra homológica y más allá; la teoría tiene importantes aplicaciones en geometría algebraica, cohomología y teoría de categorías puras. Las categorías abelianas llevan el nombre de Niels Henrik Abel.

Definiciones

Una categoría es abeliana si es preaditiva y

• tiene un objeto cero,
• tiene todos los biproductos binarios,
• tiene todos los kernels y cokernels, y
• todos los monomorfismos y epimorfismos son normales.

Esta definición es equivalente a la siguiente definición "poco a poco" definición:

• Una categoría es preadditivo si se enriquece con la categoría monoidal Ab de grupos abelianos. Esto significa que todos los hom-sets son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal.
• Una categoría preadditiva es aditivo si cada conjunto finito de objetos tiene un biproducto. Esto significa que podemos formar sumas directas finitas y productos directos. En Def. 1.2.6, se requiere que una categoría aditiva tenga un objeto cero (biproducto vacío).
• Una categoría aditiva es preabelian si cada morfismo tiene un núcleo y un cokernel.
• Finalmente, una categoría preabeliana es abelian si cada monomorfismo y cada epimorfismo es normal. Esto significa que cada monomorfismo es un núcleo de algún morfismo, y cada epimorfismo es un coqueño de algún morfismo.

Tenga en cuenta que la estructura enriquecida en hom-sets es una consecuencia de los primeros tres axiomas de la primera definición. Esto destaca la relevancia fundacional de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canónica.

El concepto de secuencia exacta surge naturalmente en este entorno, y resulta que los funtores exactos, es decir, los funtores que conservan secuencias exactas en varios sentidos, son los funtores relevantes entre las categorías abelianas. Este concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de las categorías exactas, formando un caso muy especial de categorías regulares.

Ejemplos

• Como se mencionó anteriormente, la categoría de todos los grupos abelianos es una categoría abeliana. La categoría de todos los grupos abelianos generados finitamente es también una categoría abeliana, como es la categoría de todos los grupos abelianos finitos.
• Si R es un anillo, luego la categoría de todos los módulos izquierdo (o derecho) sobre R es una categoría abeliana. De hecho, se puede demostrar que cualquier pequeña categoría abeliana es equivalente a una subcategoría completa de tal categoría de módulos (Mitchell está incrustando el teorema).
• Si R es un anillo izquierdo-noetheriano, luego la categoría de módulos izquierdos generados finitamente sobre R es abeliano. En particular, la categoría de módulos finitos generados sobre un anillo comunicativo noetheriano es abeliano; de esta manera, las categorías abelianas aparecen en álgebra conmutativa.
• Como casos especiales de los dos ejemplos anteriores: la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo k es abeliano, como es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k.
• Si X es un espacio topológico, luego la categoría de todos (real o complejo) paquetes vectoriales en X no es generalmente una categoría abeliana, ya que puede haber monomorfismos que no son núcleos.
• Si X es un espacio topológico, luego la categoría de todos los sheaves de grupos abelianos en X es una categoría abeliana. Más generalmente, la categoría de cuna de grupos abelianos en un sitio de Grothendieck es una categoría abeliana. De esta manera, las categorías abelianas aparecen en topología algebraica y geometría algebraica.
• Si C es una pequeña categoría y A es una categoría abeliana, entonces la categoría de todos los functores de C a A forma una categoría abeliana. Si C es pequeño y preadditivo, entonces la categoría de todos los functores aditivos de C a A también forma una categoría abeliana. Este último es una generalización de la R- Ejemplo, ya que un anillo se puede entender como una categoría preadditiva con un solo objeto.

Axiomas de Grothendieck

En su artículo de Tōhoku, Grothendieck enumeró cuatro axiomas adicionales (y sus duales) que una categoría abeliana A podría satisfacer. Estos axiomas todavía son de uso común hasta el día de hoy. Ellos son los siguientes:

• AB3) Por cada familia indexada (A_i) de objetos de A, el coproducto *A_i existe en A (i.e. A es cocompleto).
• AB4) A satisfies AB3), y el coproducto de una familia de monomorfismos es un monomorfismo.
• AB5) A satisfies AB3), y colimites filtrados de secuencias exactas son exactos.

y sus duales

• AB3*) Por cada familia indexada (A_i) de objetos de A, el producto PA_i existe en A (i.e. A está completo).
• AB4*) A satisfies AB3*), y el producto de una familia de epimorfismos es un epimorfismo.
• AB5*) A satisfies AB3*), y los límites filtrados de secuencias exactas son exactos.

También se dieron los axiomas AB1) y AB2). Son las que hacen abeliana una categoría aditiva. Específicamente:

• AB1) Cada morfismo tiene un núcleo y un cokernel.
• AB2) Por cada morfismo f, el morfismo canónico de coim f to im f es un isomorfismo.

Grothendieck también dio los axiomas AB6) y AB6*).

• AB6) A satisfies AB3), y dada una familia de categorías filtradas ${displaystyle I_{j},jin J}$ y mapas ${displaystyle A_{j}:I_{j}to A}$, tenemos ${displaystyle prod _{jin J}lim ¿Qué? ¿Por qué?$, donde lim denota el colimit filtrado.
• AB6*) A satisfies AB3*), y dada una familia de categorías cofiltradas ${displaystyle I_{j},jin J}$ y mapas ${displaystyle A_{j}:I_{j}to A}$, tenemos ${displaystyle sum _{jin J}lim ¿Qué? _{I_{j},forall jin J}sum _{jin J}A_{j}$, donde lim denota el límite cofiltered.

Propiedades elementales

Dado cualquier par A, B de objetos en una categoría abeliana, existe un morfismo cero especial de A a B . Esto se puede definir como el elemento cero del hom-set Hom(A,B), ya que este es un grupo abeliano. Alternativamente, se puede definir como la composición única A → 0 → B, donde 0 es el objeto cero de la categoría abeliana.

En una categoría abeliana, todo morfismo f puede escribirse como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Este epimorfismo se denomina coimagen de f, mientras que el monomorfismo se denomina imagen de f.

Los subobjetos y los objetos cocientes se comportan bien en las categorías abelianas. Por ejemplo, el conjunto de subobjetos de cualquier objeto A dado es una red delimitada.

Toda categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos finitamente generados; es decir, podemos formar un producto tensorial de un grupo abeliano finitamente generado G y cualquier objeto A de A. La categoría abeliana es también un comodulo; Hom(G,A) se puede interpretar como un objeto de A. Si A está completo, podemos eliminar el requisito de que G se genere finitamente; en general, podemos formar límites enriquecidos finitarios en A.

Conceptos relacionados

Las categorías abelianas son la configuración más general para el álgebra homológica. Todas las construcciones utilizadas en ese campo son relevantes, como las sucesiones exactas, y especialmente las sucesiones exactas cortas, y los funtores derivados. Los teoremas importantes que se aplican en todas las categorías abelianas incluyen el lema de cinco (y el lema de cinco corto como un caso especial), así como el lema de la serpiente (y el lema de nueve como un caso especial).

Categorías abelianas semisimples

Una categoría abeliana ${displaystyle mathbf {A}$ se llama semi-simple si hay una colección de objetos ${displaystyle {X_{i}\fn}in I}in {text{Ob}(mathbf {A}}$ llamado objetos simples (que significan los únicos subobjetos de cualquier ${displaystyle X_{i}$ son el objeto cero ${displaystyle 0}$ tal que un objeto ${displaystyle Xin {text{Ob}(mathbf {A})}$ puede ser descompuesto como una suma directa (denotando el coproducto de la categoría abeliana)

${displaystyle Xcong bigoplus _{iin Yo...$

Esta condición técnica es bastante fuerte y excluye muchos ejemplos naturales de categorías abelianas encontradas en la naturaleza. Por ejemplo, la mayoría de las categorías de módulos sobre un anillo ${displaystyle R.$ no son semi-simple; de hecho, este es el caso si y sólo si ${displaystyle R.$ es un anillo semisimple.

Ejemplos

Algunas categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza son semisimples, como

• Categoría de espacios vectoriales finitos-dimensionales ${displaystyle {text{FinVect}(k)}$ sobre un campo fijo ${displaystyle k}$
• Por el teorema de Maschke la categoría de representaciones ${displaystyle {text{Rep}_{k}(G)}$ de un grupo finito ${displaystyle G.$ sobre un terreno ${displaystyle k}$ cuya característica no se divide ${displaystyle SilencioG$ es una categoría semi-simple abeliana.
• La categoría de cuchillas coherentes en un esquema noetheriano es semi-simple si y sólo si ${displaystyle X}$ es una unión descomunal finita de puntos irreducibles. Esto equivale a un coproducto finito de categorías de espacios vectoriales en diferentes campos. Mostrar esto es cierto en la dirección delantera es equivalente a mostrar todo ${displaystyle {text{Ext}} {}}}} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}} {fnK}}}}}}}}} {f}}}$ grupos desaparecen, lo que significa que la dimensión cohomológica es 0. Esto sólo sucede cuando el rascacielos se esconde ${displaystyle k_{x}$ en un momento ${displaystyle xin X}$ tener espacio tangente Zariski igual a cero, que es isomorfo a ${displaystyle {text{Ext}{1}(k_{x},k_{x}}}$ usando álgebra local para tal esquema.

No ejemplos

Existen algunos contra-ejemplos naturales de categorías abelianas que no son semi-simple, como ciertas categorías de representaciones. Por ejemplo, la categoría de representaciones del grupo Lie ${displaystyle (mathbb {R}+)}$ tiene la representación

${displaystyle amapsto {begin{bmatrix}1 limita$