Carta de smith

El gráfico de Smith (a veces también llamado diagrama de Smith, gráfico de Mizuhashi (水橋チャート), Gráfico de Mizuhashi-Smith (水橋スミスチャート< /span>), Gráfico de Volpert-Smith (Диаграмма Вольперта—Смита) o gráfico de Mizuhashi–Volpert–Smith), es una calculadora gráfica o nomograma diseñado para ingenieros eléctricos y electrónicos especializados en ingeniería de radiofrecuencia (RF) para ayudar a resolver problemas con líneas de transmisión y circuitos coincidentes..

Fue propuesto de forma independiente por Tōsaku Mizuhashi (水橋東作) en 1937, y por Amiel R. Volpert [ru] (Амиэ́ль Р. Во́льперт) y Phillip H. Smith en 1939. Comenzando con un diagrama rectangular, Smith había desarrollado un gráfico de coordenadas polares especial en 1936, el cual, con el aporte de sus colegas Enoch B. Ferrell y James W. McRae, quienes estaban familiarizados con los mapeos conformes, fue reelaborado en su forma final a principios de siglo. 1937, que finalmente se publicó en enero de 1939. Si bien Smith lo había llamado originalmente un "gráfico de líneas de transmisión" y otros autores utilizaron por primera vez nombres como "diagrama de reflexión", "diagrama circular de impedancia", "< i>tabla de inmitancia" o "carta del plano Z", los primeros usuarios en el Laboratorio de Radiación del MIT comenzaron a referirse a ella simplemente como "carta de Smith" en la década de 1940, un nombre generalmente aceptado en el mundo occidental en 1950.

El gráfico Smith se puede utilizar para mostrar simultáneamente múltiples parámetros incluyendo impedancias, admitencias, coeficientes de reflexión, ${displaystyle S_{nn},}$ Parámetros de dispersión, círculos de figuras de ruido, contornos de ganancia constante y regiones para la estabilidad incondicional, incluido el análisis de vibraciones mecánicas. El gráfico Smith se utiliza con más frecuencia en o dentro de la región del radio de unidad. Sin embargo, el resto sigue siendo matemáticamente relevante, siendo utilizado, por ejemplo, en el diseño oscilador y análisis de estabilidad. Si bien el uso de gráficos de papel Smith para resolver las matemáticas complejas implicadas en problemas de coincidencia ha sido reemplazado en gran medida por métodos basados en software, el gráfico Smith sigue siendo un método muy útil para mostrar cómo los parámetros de RF se comportan a una o más frecuencias, una alternativa al uso de información tabular. Así, la mayoría del software de análisis de circuitos RF incluye una opción de gráfico Smith para la visualización de resultados y todos, pero los instrumentos de medición de impedancia más simples pueden trazar resultados medidos en una pantalla de gráficos Smith.

Descripción general

La carta de Smith es una transformación matemática del plano complejo cartesiano bidimensional. Los números complejos con partes reales positivas se asignan dentro del círculo. Aquellos con partes reales negativas se mapean fuera del círculo. Si tratamos únicamente con impedancias con componentes resistivos no negativos, nuestro interés se centra en el área interior del círculo. La transformación, para un diagrama de Smith de impedancia, es:

${displaystyle Gamma ={frac {Z-Z_{0}{Z+Z_{0}={frac} {z-1}{z+1}}}$

Donde ${displaystyle z={frac} {Z_{0}}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}$ es decir, la impedancia compleja, ${displaystyle Z,}$ normalizado por la impedancia de referencia, ${displaystyle Z_{0}$. El gráfico de impedancia Smith es entonces una trama Argand de impedancias así transformadas. Las impedancias con componentes resistivos no negativos aparecerán dentro de un círculo con radio de unidad; el origen corresponderá a la impedancia de referencia, ${displaystyle Z_{0}$.

La carta de Smith se traza en el plano complejo del coeficiente de reflexión en dos dimensiones y se puede escalar en impedancia normalizada (la más común), admitancia normalizada o ambas, usando diferentes colores para distinguirlas. Estos se conocen a menudo como gráficos de Smith Z, Y e YZ, respectivamente. El escalado normalizado permite utilizar el gráfico de Smith para problemas que involucran cualquier característica o impedancia del sistema representada por el punto central del gráfico. La impedancia de normalización más utilizada es de 50 ohmios. Una vez que se obtiene una respuesta a través de las construcciones gráficas que se describen a continuación, es sencillo convertir entre la impedancia normalizada (o admitancia normalizada) y el valor no normalizado correspondiente multiplicando por la impedancia característica (admitancia). Los coeficientes de reflexión se pueden leer directamente en el gráfico, ya que son parámetros sin unidades.

La carta de Smith tiene una escala alrededor de su circunferencia o periferia que está graduada en longitudes de onda y grados. La escala de longitudes de onda se utiliza en problemas de componentes distribuidos y representa la distancia medida a lo largo de la línea de transmisión conectada entre el generador o fuente y la carga hasta el punto considerado. La escala de grados representa el ángulo del coeficiente de reflexión del voltaje en ese punto. El diagrama de Smith también se puede utilizar para problemas de análisis y coincidencia de elementos agrupados.

El uso del diagrama de Smith y la interpretación de los resultados obtenidos al utilizarlo requiere una buena comprensión de la teoría de circuitos de CA y de la teoría de líneas de transmisión, las cuales son requisitos previos para los ingenieros de RF.

Dado que las impedancias y admitancias cambian con la frecuencia, los problemas que utilizan el diagrama de Smith solo se pueden resolver manualmente usando una frecuencia a la vez, y el resultado se representa mediante un punto. Esto suele ser adecuado para aplicaciones de banda estrecha (normalmente hasta aproximadamente entre un 5 % y un 10 % de ancho de banda), pero para anchos de banda más amplios suele ser necesario aplicar técnicas de gráficos de Smith en más de una frecuencia en toda la banda de frecuencia operativa. Siempre que las frecuencias estén lo suficientemente cerca, los puntos resultantes del gráfico de Smith pueden unirse mediante líneas rectas para crear un lugar geométrico.

Se puede utilizar un lugar geométrico de puntos en una carta de Smith que cubre un rango de frecuencias para representar visualmente:

• cómo capacitivo o cómo inductivo una carga es a través del rango de frecuencia
• lo difícil que coincide es probable que sea en varias frecuencias
• lo bien que coincidió un componente en particular es.

La precisión del gráfico de Smith se reduce para problemas que involucran un gran lugar de impedancias o admitancias, aunque la escala se puede ampliar para áreas individuales para acomodarlas.

Base matemática

Impedancia y admitancia reales y normalizadas

Línea de transmisión con impedancia característica ${displaystyle Z_{0},}$ puede ser considerado universalmente tener una característica admisión de ${displaystyle Y...$ Donde

${displaystyle Y... {1}{Z_{0}},}$

Cualquier impedancia, ${displaystyle Z_{text{T},}$ expresado en ohms, puede ser normalizado dividiéndolo por la impedancia característica, por lo que la impedancia normalizada utilizando el caso inferior z_T es dado por

${displaystyle z_{text{T}={frac} {Z_{text{T}} {Z_{0}},}$

Del mismo modo, para la admisión normalizada

${displaystyle Y... {Y_{text{T}} {Y_{0}},}$

La unidad SI de impedancia es el ohmio con el símbolo de la letra griega mayúscula omega (Ω) y la unidad SI de admitancia es el siemens con el símbolo de una letra mayúscula S. La impedancia normalizada y la admitancia normalizada no tienen dimensiones.. Las impedancias y admitancias reales deben normalizarse antes de usarlas en una tabla de Smith. Una vez obtenido el resultado se podrá desnormalizar para obtener el resultado real.

El gráfico de Smith de impedancia normalizada

Usando la teoría de línea de transmisión, si una línea de transmisión se termina en una impedancia (${displaystyle Z_{text{T},}$) que difiere de su impedancia característica (${displaystyle Z_{0},}$), una onda de pie se formará en la línea que comprende el resultado del incidente o fo hacia adelante${displaystyle V_{text{F},}$) y el rreflejado o revertido (${displaystyle V_{text{R},}$Olas. Usando notación exponencial compleja:

${displaystyle V_{text{F}=Aexp(jomega t)exp(+gammaell)~,}$ y

${displaystyle V_{text{R}=Bexp(jomega t)exp(-gammaell),}$

dónde

${displaystyle exp(jomega t),}$ es la parte temporal de la ola

${displaystyle exp(pm gamma ell),}$ es la parte espacial de la ola y

${displaystyle omega =2pi f,}$ Donde

${displaystyle omega ,}$ es la frecuencia angular en radians por segundo (rad/s)

${displaystyle f,}$ es la frecuencia en hertz (Hz)

${displaystyle t,}$ es el tiempo en segundos (s)

${displaystyle A,}$ y ${displaystyle B,}$ son constantes

${displaystyle ell ,}$ es la distancia medida a lo largo de la línea de transmisión de la carga hacia el generador en metros (m)

También

${displaystyle gamma =alpha +jbeta ,}$ es la constante de propagación que tiene unidades SI radians/meter

dónde

${displaystyle alpha ,}$ es la constante de atenuación en nepers por metro (Np/m)

${displaystyle beta ,}$ es la constante de fase en radians por metro (rad/m)

El gráfico Smith se utiliza con una frecuencia (${displaystyle omega }$) a la vez, y sólo por un momento (${displaystyle t}$) en un momento, por lo que la parte temporal de la fase (${displaystyle exp(jomega t),}$) está arreglado. Todos los términos son multiplicados por esto para obtener la fase instantánea, pero es convencional y entendido para omitirlo. Por lo tanto,

${displaystyle V_{text{F}=Aexp(+gammaell),}$ y

${displaystyle V_{text{R}=Bexp(-gammaell),}$

Donde ${displaystyle A,}$ y ${displaystyle B,}$ son respectivamente las amplitudes de tensión delantera e inversa en la carga.

La variación del coeficiente de reflexión complejo con la posición a lo largo de la línea

Coeficiente de reflexión de tensión compleja ${displaystyle Gamma ,}$ se define como la relación de la onda reflejada con la onda del incidente (o hacia adelante). Por lo tanto,

${displaystyle Gamma ={frac {V_{text{R} {f} {f}}={f} {f}} {f} {f}}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {f}} {f} {f}} {f}} {f}}}}}}} {\f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}} {Bexp(-gamma ell)}{Aexp(+gammaell)}=Cexp(-2gamma ell),}$

donde C también es una constante.

Para una línea de transmisión uniforme (en la que ${displaystyle gamma ,}$ es constante), el complejo coeficiente de reflexión de una onda de pie varía según la posición en la línea. Si la línea es perdida (${displaystyle alpha ,}$ no es cero) esto está representado en el gráfico Smith por un camino espiral. Sin embargo, en la mayoría de los problemas del gráfico Smith se pueden asumir pérdidas insignificantes (${displaystyle alpha =0,}$) y la tarea de resolverlos es grandemente simplificada. Por lo tanto, para el caso libre de pérdida, la expresión de coeficiente de reflexión complejo se convierte en

${displaystyle Gamma =Gamma _{text{L}exp(-2jbeta ell),}$

Donde ${displaystyle "Gamma"$ es el coeficiente de reflexión de la carga, y ${displaystyle ell ,}$ es la longitud de la línea de la carga a la ubicación donde se mide el coeficiente de reflexión. La constante de fase ${displaystyle beta ,}$ puede ser escrito como

${displaystyle beta ={frac {2pi}{lambda },}$

Donde ${displaystyle lambda ,}$ es la longitud de onda dentro de la línea de transmisión en la frecuencia de prueba.

Por lo tanto,

${displaystyle Gamma =Gamma _{text{L}}exp left({frac {-4jpi }{lambda }}ell right),}$

Esta ecuación muestra que, para una onda estacionaria, el coeficiente de reflexión complejo y la impedancia se repiten cada media longitud de onda a lo largo de la línea de transmisión. El coeficiente de reflexión complejo generalmente se denomina simplemente coeficiente de reflexión. La escala circunferencial exterior del gráfico de Smith representa la distancia desde el generador hasta la carga escalada en longitudes de onda y, por lo tanto, está escalada de cero a 0,50.

La variación de la impedancia normalizada con la posición a lo largo de la línea

Si ${displaystyle ,V,}$ y ${displaystyle ,I,I}$ son el voltaje y la corriente que entra en la terminación al final de la línea de transmisión respectivamente, entonces

${displaystyle V_{mathsf}+V_{mathsf {R}=V,}$

y

${displaystyle V_{mathsf}-V_{mathsf {R}=Z_{0},I}$.

Dividiendo estas ecuaciones y sustituyendo el coeficiente de reflexión de voltaje

${displaystyle Gamma ={frac {V_{mathsf {R}} {fnMitsf {F},},}$

y la impedancia normalizada de la terminación representada por la minúscula z, subíndice T

${displaystyle z_{mathsf {T}={frac} {fnMicrosoft Sans Serif}$

da el resultado:

${displaystyle z_{mathsf {T}={frac} {1+\Gamma - ¿Qué?$

Alternativamente, en términos del coeficiente de reflexión

${displaystyle Gamma ={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {T}-1}{,z_{mathsf {T}+1,},}$

Estas son las ecuaciones que se utilizan para construir las Z Gráfico Smith. Matemáticamente hablando ${displaystyle ,Gamma ,}$ y ${displaystyle ,z_{mathsf {T},}$ están relacionados a través de una transformación Möbius.

Ambos ${displaystyle ,Gamma ,}$ y ${displaystyle ,z_{mathsf {T},}$ se expresan en números complejos sin ninguna unidad. Ambos cambian con frecuencia así para cualquier medición particular, la frecuencia en la que se realizó debe indicarse junto con la impedancia característica.

${displaystyle ,Gamma ,}$ puede ser expresado en magnitud y ángulo en un diagrama polar. Cualquier coeficiente de reflexión real debe tener una magnitud inferior o igual a la unidad, por lo que, en la frecuencia de prueba, esto puede ser expresado por un punto dentro de un círculo de radio de unidad. El diagrama Smith se construye en un diagrama tan polar. El escalado de gráficos Smith está diseñado de tal manera que el coeficiente de reflexión se puede convertir en impedancia normalizada o viceversa. Utilizando el gráfico Smith, la impedancia normalizada se puede obtener con precisión apreciable trazando el punto que representa el coeficiente de reflexión tratar el gráfico Smith como un diagrama polar y luego leer su valor directamente utilizando el escalado gráfico Smith característico. Esta técnica es una alternativa gráfica para sustituir los valores en las ecuaciones.

Sustituyendo la expresión de cómo cambia el coeficiente de reflexión a lo largo de una línea de transmisión sin pérdidas inigualable

${displaystyle Gamma ={frac {Bexp(-gammaell)}{Aexp(gamma ell)}}}={frac {Bexp(-jbeta ell)}{Aexp(jbetaell)}},}}$

para el caso sin pérdidas, en la ecuación de impedancia normalizada en términos de coeficiente de reflexión

${displaystyle z_{mathsf {T}={frac} {1+\Gamma - ¿Qué?$

y usando la fórmula de Euler

${displaystyle exp(jtheta)={text{cis},theta =cos theta +j,sin theta ,}$

produce la ecuación de la línea de transmisión de la versión de impedancia para el caso libre de pérdidas:

${displaystyle Z_{mathsf {}=Z_{0}{frac {fnMitsf} {L}+j,Z_{0}tan(beta ell),}{,Z_{0}+j,Z_{mathsf {L}tan(beta ell),},},}},}$

Donde ${displaystyle ,Z_{mathsf {in},}$ es la impedancia 'ver' en la entrada de una línea de transmisión gratuita de pérdida de longitud ${displaystyle ,ell ,}$ terminada con una impedancia ${displaystyle ,Z_{mathsf {L},}$

Se pueden derivar de manera similar versiones de la ecuación de la línea de transmisión para el caso sin pérdida de admitancia y para los casos con pérdida de impedancia y admitancia.

El gráfico Smith equivalente gráfico de usar la ecuación de línea de transmisión es normalizar ${displaystyle ,Z_{mathsf {L},}$ para trazar el punto resultante en un Z Gráfico Smith y dibujar un círculo a través de ese punto centrado en el centro gráfico Smith. El camino a lo largo del arco del círculo representa cómo la impedancia cambia mientras se mueve a lo largo de la línea de transmisión. En este caso se debe utilizar el escalado circunferencial (longitud de onda), recordando que esta es la longitud de onda dentro de la línea de transmisión y puede diferir de la longitud de onda espacial libre.

Regiones del gráfico Z Smith

Si un diagrama polar se mapea en un sistema de coordenadas cartesiano es convencional medir ángulos relativos al positivo x-eje usando una dirección en sentido contrario para ángulos positivos. La magnitud de un número complejo es la longitud de una línea recta dibujada desde el origen hasta el punto que la representa. El gráfico Smith utiliza la misma convención, señalando que, en el plano de impedancia normalizado, el positivo x-eje se extiende desde el centro del gráfico Smith en ${displaystyle ,z_{mathsf {T}=1pm j0,}$ hasta el punto ${displaystyle ,z_{mathsf {T}=infty pm jinfty ,}$ La región por encima del eje x representa impedancias inductivas (partes imaginarias positivas) y la región por debajo de x-eje representa impedancias capacitivas (partes imaginarias negativas).

Si la terminación coincide perfectamente, el coeficiente de reflexión será cero, representado efectivamente por un círculo de radio cero o, de hecho, un punto en el centro de la carta de Smith. Si la terminación fuera un circuito abierto perfecto o un cortocircuito, la magnitud del coeficiente de reflexión sería la unidad, toda la potencia se reflejaría y el punto estaría en algún punto del círculo de circunferencia unitario.

Círculos de resistencia normalizada constante y reactancia normalizada constante

El diagrama de Smith de impedancia normalizada se compone de dos familias de círculos: círculos de resistencia normalizada constante y círculos de reactancia normalizada constante. En el plano complejo del coeficiente de reflexión, la carta de Smith ocupa un círculo de radio unitario centrado en el origen. Por lo tanto, en coordenadas cartesianas el círculo pasaría por los puntos (+1,0) y (−1,0) en x -eje y los puntos (0,+1) y (0,−1) en el eje y.

Desde ambos ${displaystyle ,Gamma ,}$ y ${displaystyle ,z_{mathsf {T},}$ son números complejos, en general pueden ser escritos como:

${displaystyle z_{mathsf {T}=a+jb,}$

${displaystyle ~ 'Gamma ~=c+jd,}$

con a, b, c y d números reales.

Sustituyendo estos en la ecuación que relaciona la impedancia normalizada y el coeficiente de reflexión complejo:

${displaystyle Gamma ={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {T}+1,}={(a-1)+j,b}{,(a+1)+j,b,},}$

da el siguiente resultado:

${displaystyle Gamma =c+jd=left[{frac {2}+b}cccH00}ccH00}ccH00}cc}ccc}ccc}cccH00}cccccc}c}ccccccccccccH00cccc}ccccccc}ccccccccccccccccc}ccccccccccccccccccc}ccccccccccccccc}cccccccccccccc {+2b}{,(a+1)}+b^{2},}right],.}$

Esta es la ecuación que describe cómo el coeficiente de reflexión complejo cambia con la impedancia normalizada y puede usarse para construir ambas familias de círculos.

El gráfico Y Smith

El gráfico Y Smith se construye de manera similar al caso del gráfico Z Smith, pero expresando valores de reflexión de voltaje. coeficiente en términos de admitancia normalizada en lugar de impedancia normalizada. La admitancia normalizada y_T es el recíproco de la impedancia normalizada z_T, entonces

${displaystyle y_{Mathsf {T}={frac} {1}{z_{mathsf {T}},}$

Por lo tanto:

${displaystyle y_{mathsf {T}={frac} {1-Gamma }{,1+Gamma,},}$

y

${displaystyle Gamma ={frac {1-y_{mathsf {T}}{,1+y_{mathsf {T},},}$

El gráfico Y Smith aparece como la impedancia normalizada, tipo pero con los círculos anidados gráficos girados 180°, pero la escala numérica permanece en su misma posición (sin girar) como el gráfico Z.

De manera similar tomando

${displaystyle y_{mathsf {T}={tilde {o}+j,{cH00} {p},}$

de verdad ${displaystyle ,{tilde {},}$ y ${displaystyle ,{tilde {},}$ da un resultado análogo, aunque con más y diferentes signos de menos:

${displaystyle Gamma =c+jd=left[{frac {1-{fn}} {2}-{c} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {c}}} {cc}cfnMicroc}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc}ccc {-2{fn} {fnMicrosoft {fnMicrosoft}}+}{2}+{tilde {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft {f}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnun}ccccf}cf}f}f}fnun}cfnfnun}ccccccccccc {fnK} {fnMicroc {2 {fnMide {fnMide {fnMicrosoft}}}{c}}}}{c}}ccccfnMicrosoft {fnMicrosoft} {cfnMicrosoft}cfnMicrosoft}fnMicrosoft {f} {f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrob}fnMicrob}f}f}f}f}f}fnun}cfnun}cfnun}cccc}fnun}cfnMicrob}fnun}ccfnuncc}cccccc}ccc {fnh} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {-2{fn} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}$

La región sobre el eje x representa admitancias capacitivas y la región debajo del estilo x representa admitancias inductivas. Las admitancias capacitivas tienen partes imaginarias positivas y las admitancias inductivas tienen partes imaginarias negativas.

Nuevamente, si la terminación coincide perfectamente, el coeficiente de reflexión será cero, representado por un 'círculo' de radio cero o, de hecho, un punto en el centro de la carta de Smith. Si la terminación fuera un circuito abierto o en cortocircuito perfecto, la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje sería la unidad, toda la potencia se reflejaría y el punto estaría en algún punto del círculo de circunferencia unitario de la carta de Smith.

Ejemplos prácticos

Un punto con una magnitud de coeficiente de reflexión 0.63 y ángulo 60° representado en forma polar como ${displaystyle 0.63angle 60^{circ },}$, se muestra como punto P₁ en el gráfico Smith. Para trazar esto, se puede utilizar la escala de ángulo circunferencial (coeficiente de reflexión) para encontrar la ${displaystyle angle 60^{circ },}$ graduación y un gobernante para dibujar una línea pasando por esto y el centro del gráfico Smith. La longitud de la línea sería entonces escalada a P₁ suponiendo que el radio de gráfico Smith sea unidad. Por ejemplo, si el radio real medido del papel era de 100 mm, la longitud OP₁ sería de 63 mm.

La siguiente tabla ofrece algunos ejemplos similares de puntos que se trazan en el gráfico Z de Smith. Para cada uno, el coeficiente de reflexión se da en forma polar junto con la impedancia normalizada correspondiente en forma rectangular. La conversión se puede leer directamente de la tabla de Smith o mediante sustitución en la ecuación.

Algunos ejemplos de puntos trazados en la impedancia normalizada Smith

Identidad de puntos	Coeficiente de reflexión (forma polar)	Impedancia normalizada (forma recreativa)
P1 (Inductivo)	${displaystyle 0.63angle 60^{circ },}$	${displaystyle 0.80+j1.40,}$
P2 (Inductivo)	${displaystyle 0.73angle 125^{circ },}$	${displaystyle 0.20+j0.50}$
P3 (Capacitivo)	${displaystyle 0.44angle -116^{circ },}$	${displaystyle 0.50-j0.50}$

Trabajar con los gráficos Z Smith y Y Smith

En el circuito RF y los problemas de coincidencia a veces es más conveniente trabajar con las admitencias (representando conductances y susceptances) y a veces es más conveniente trabajar con impedancias (representando resistencias y reacciones). La solución de un problema típico de emparejamiento a menudo requerirá varios cambios entre ambos tipos de gráfico Smith, utilizando impedancia normalizada para elementos de serie y admitencias normalizadas para elementos paralelos. Para esto se puede utilizar un gráfico de doble impedancia (normalizado) y admisión Smith. Alternativamente, se puede utilizar un tipo y el escalado se convierte al otro cuando sea necesario. Para cambiar de la impedancia normalizada a la admisión normalizada o viceversa, el punto que representa el valor del coeficiente de reflexión bajo consideración se mueve a través de exactamente 180 grados en el mismo radio. Por ejemplo, el punto P1 en el ejemplo representando un coeficiente de reflexión ${displaystyle 0.63angle 60^{circ },}$ tiene una impedancia normalizada ${displaystyle z_{P}=0.80+j1.40,}$. Para cambiar gráficamente esto al punto de admisión normalizado equivalente, diga Q1, una línea se dibuja con un gobernante de P1 a través del centro gráfico Smith a Q1, un radio igual en la dirección opuesta. Esto equivale a mover el punto a través de una ruta circular de exactamente 180 grados. Leyendo el valor del gráfico Smith para Q1, recordando que el escalado está ahora en la admisión normalizada, da ${displaystyle Y_{P}=0.30-j0.54,}$. Realización del cálculo

${displaystyle Y... {1}{z_{text {T}}},}$

confirmará esto manualmente.

Una vez realizada una transformación de impedancia a admitancia, la escala cambia a admitancia normalizada hasta que se realiza una transformación posterior a impedancia normalizada.

La siguiente tabla muestra ejemplos de impedancias normalizadas y sus admitancias normalizadas equivalentes obtenidas mediante la rotación del punto 180°. Nuevamente, estos pueden obtenerse mediante cálculo o usando una tabla de Smith como se muestra, convirtiendo entre los planos de impedancia normalizada y admitancias normalizadas.

Valores del coeficiente de reflexión como impedancias normalizadas y las equivalentes admitencias normalizadas

Plano normalizado de impedancia	Avión normalizado
P1 ()${displaystyle z=0.80+j1.40,}$)	Q1 ()${displaystyle y=0.30-j0.54,}$)
P10 ()${displaystyle z=0.10+j0.22,}$)	Q10 ()${displaystyle y=1.80-j3.90,}$)

Elección del tipo de gráfico Smith y del tipo de componente

La elección de utilizar la Z Gráfico Smith o Y Gráfico Smith para cualquier cálculo en particular depende de cuál es más conveniente. Las impedancias en serie y las admitencias en paralelo añaden mientras que las impedancias en paralelo y las admisiones en serie están relacionadas con una ecuación recíproca. Si ${displaystyle Z_{text{TS}}$ es la impedancia equivalente de impedancias de serie y ${displaystyle Z_{text{TP}}$ es la impedancia equivalente de impedancias paralelas, entonces

${displaystyle Z_{text{TS}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...,}$

${displaystyle {frac {1}{text{TP}}={frac} {f}} {f}} {f} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}} {fnf}}}}}} {f} {1}{Z_{1}}+{frac} {1}{Z_{2}}+{frac} {1}{Z_{3}}+...,}$

Para las admisiones ocurre lo contrario, es decir

${displaystyle Y...$

${displaystyle {frac {}{text{TS}}={frac} {f}} {f}} {f}} {fnK}}}}}} {f}}} {fnK}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {fnKf}}} {1}{y_{1}}+{frac} {1}{y_{2}}+{frac} {1}{Y_{3}}+...,}$

Tratar con los recíprocos, especialmente en números complejos, requiere más tiempo y es más propenso a errores que usar la suma lineal. Por lo tanto, en general, la mayoría de los ingenieros de RF trabajan en el plano donde la topografía del circuito admite la suma lineal. La siguiente tabla proporciona las expresiones complejas de impedancia (real y normalizada) y admitancia (real y normalizada) para cada uno de los tres elementos básicos del circuito pasivo: resistencia, inductancia y capacitancia. Usando solo la impedancia característica (o admitancia característica) y la frecuencia de prueba se puede encontrar un circuito equivalente y viceversa.

Expresiones por impedancia y admisión
normalizado por impedancia Z₀ o admisión Y₀

Tipo de elemento	Impedancia ()Z o z) o Reacción ()X o x)		Admisión ()Y o Sí.) o Susceptibilidad ()B o b)
	Actual (Ω)	Normalizado (sin unidades)	Actual (S)	Normalizado (sin unidades)
Resistencia ()R)	${displaystyle ;Z=R;}$	${displaystyle ;z={frac {R}{Z_{0}=RY_{0};}$	${displaystyle ;Y=G={frac {1} {R};}$	${displaystyle {fnMicroc}={f}= {fnMicroc} {Z_{0} {R}};}$
Inductancia ()L)	${displaystyle ;Z=jX_{text{L}=jomega L;}$	${displaystyle ;z=jx_{L}=j{frac} {omega L}{Z_{0}=jomega LY_{0};}$	${displaystyle ;Y=-jB_{text{L}={frac {-J}{omega - Sí.$	${displaystyle - Sí. {-J}{omega LY_{0}={frac {-JZ_{0}{omega - Sí.$
Concitación ()C)	${displaystyle Z=-jX_{C}={frac {-J}{omega - Sí.$	${displaystyle ;z=-jx_{text{C}={frac} {-J}{omega CZ_{0}={frac {-JY_{0}{omega - Sí.$	${displaystyle;Y=jB_{C}=jomega C;}$	${displaystyle ;y=jb_{C}=j{frac} {omega C}{Y_{0}=jomega CZ_{0};}$

Usar el diagrama de Smith para resolver problemas de emparejamiento conjugado con componentes distribuidos

La coincidencia distribuida se vuelve factible y a veces es necesaria cuando el tamaño físico de los componentes coincidentes es superior al 5% de una longitud de onda en la frecuencia operativa. Aquí el comportamiento eléctrico de muchos componentes agrupados se vuelve bastante impredecible. Esto ocurre en circuitos de microondas y cuando la alta potencia requiere componentes grandes en transmisiones de onda corta, FM y TV.

Para componentes distribuidos, se deben tener en cuenta los efectos sobre el coeficiente de reflexión y la impedancia del movimiento a lo largo de la línea de transmisión al utilizar la escala circunferencial exterior de la tabla de Smith, que está calibrada en longitudes de onda.

El siguiente ejemplo muestra cómo una línea de transmisión, terminada con una carga arbitraria, puede combinarse en una frecuencia con un componente reactivo en serie o en paralelo, en cada caso conectado en posiciones precisas.

Suponiendo una línea de transmisión sin pérdida del espacio aéreo de impedancia característica ${displaystyle Z_{0}=50 Omega }$, operando a una frecuencia de 800 MHz, se termina con un circuito que comprende un 17.5 ${displaystyle Omega }$ resistor en serie con un inductor de 6.5 nanohenry (6.5 nH). ¿Cómo se puede igualar la línea?

De la tabla anterior, la reactancia del inductor que forma parte de la terminación a 800 MHz es

${displaystyle Z_{L}=jomega L=j2pi fL=j32.7 Omega ,}$

por lo que la impedancia de la combinación (${displaystyle Z_{T}$) es dado por

${displaystyle Z_{T}=17.5+j32.7 Omega ,}$

y la impedancia normalizada${displaystyle z_{T}$) es

${displaystyle z_{T}={frac {Z_{T} {Z_{0}}=0.35+j0.65,}$

Esto está trazado en el gráfico Z Smith en el punto P₂₀. La línea OP₂₀ se extiende hasta la escala de longitud de onda donde intersecta en el punto ${displaystyle L_{1}=0.098lambda ,}$. Como la línea de transmisión es gratuita, un círculo centrado en el centro del gráfico Smith se dibuja a través del punto P₂₀ representar el camino del coeficiente de reflexión de magnitud constante debido a la terminación. Al punto P₂₁ el círculo se interpone con el círculo de unidad de resistencia normalizada constante

${displaystyle z_{P21}=1.00+j1.52,}$.

La extensión de la línea OP₂₁ interseca la escala de longitud de onda a ${displaystyle L_{2}=0.177lambda ,}$, por lo tanto la distancia de la terminación a este punto en la línea se da por

${displaystyle L_{2}-L_{1}=0.177lambda -0.098lambda =0.079lambda ,}$

Dado que la línea de transmisión está espaciada por aire, la longitud de onda a 800 MHz en la línea es la misma que en el espacio libre y está dada por

${displaystyle lambda ={frac {c} {f},}$

Donde ${displaystyle c,}$ es la velocidad de la radiación electromagnética en el espacio libre y ${displaystyle f,}$ es la frecuencia en hertz. El resultado da ${displaystyle lambda =375 mathrm {mm} ,}$, haciendo la posición del componente de coincidencia 29.6 mm de la carga.

El partido conyugal para la impedancia en P₂₁ ()${displaystyle z_{match},}$) es

${displaystyle z_{match}=-j(1.52),!}$

Como el gráfico Smith sigue en el plano de impedancia normalizado, desde la tabla sobre un condensador de serie ${displaystyle C_{m},}$ se requiere cuando

${displaystyle z_{match}=-j1.52={frac {-J}{omega C_{m}Z_{0}={frac {-J}{2pi ¿Qué?$

Reordenando, obtenemos

${displaystyle C_{m}={frac {1}{(1.52)omega Z_{0}={frac {1}{(1.52)(2pi f)Z_{0}}}}$.

La sustitución de valores conocidos da

${displaystyle C_{m}=2.6 mathrm {pF} ,}$

Para igualar la terminación a 800 MHz, se debe colocar un capacitor en serie de 2,6 pF en serie con la línea de transmisión a una distancia de 29,6 mm de la terminación.

Se podría calcular una coincidencia de derivación alternativa después de realizar una transformación del diagrama de Smith de impedancia normalizada a admitancia normalizada. El punto Q₂₀ es el equivalente de P₂₀ pero expresado como admitancia normalizada. Al leer la escala del gráfico de Smith y recordar que ahora se trata de una admitancia normalizada, se obtiene

${displaystyle Y_{Q20}=0.65-j1.20,}$

(De hecho este valor no se utiliza realmente). Sin embargo, la extensión de la línea OQ₂₀ a la escala de longitud de onda ${displaystyle L_{3}=0.152lambda ,}$. El punto más temprano en el que se podría introducir un partido conyugal shunt, moviéndose hacia el generador, sería en Q₂₁, la misma posición que la anterior P₂₁, pero esta vez representa una admisión normalizada dada por

${displaystyle Y_{Q21}=1.00+j1.52,}$.

La distancia a lo largo de la línea de transmisión es en este caso

${displaystyle L_{2}+L_{3}=0.177lambda +0.152lambda =0.329lambda ,}$

que se convierte a 123 mm.

El componente conjugador conjugado se requiere para tener una admisión normalizada (${displaystyle y_{match}$) de

${displaystyle Y...$.

Desde la tabla se puede ver que una admisión negativa requeriría un ductor, conectado en paralelo con la línea de transmisión. Si su valor es ${displaystyle L_{m},}$, entonces

${displaystyle -j1.52={frac {-J}{omega L_{m} Sí. {-JZ_{0}{2pi}.$

Esto da el resultado

${displaystyle L_{m}=6.5 mathrm {nH} ,}$

Por lo tanto, una adaptación de derivación inductiva adecuada sería un inductor de 6,5 nH en paralelo con la línea colocada a 123 mm de la carga.

Uso del gráfico de Smith para analizar circuitos de elementos agrupados

El análisis de los componentes de elementos agrupados supone que la longitud de onda a la frecuencia de operación es mucho mayor que las dimensiones de los mismos componentes. El gráfico Smith se puede utilizar para analizar esos circuitos en cuyo caso los movimientos alrededor de la gráfica se generan por las impedancias (normalizadas) y las admitencias de los componentes a la frecuencia de operación. En este caso no se utiliza el escalado de longitud de onda en la circunferencia de la gráfica Smith. El siguiente circuito se analizará usando un gráfico Smith a una frecuencia de operación de 100 MHz. En esta frecuencia la longitud de onda espacial libre es de 3 m. Las dimensiones componentes mismas serán en el orden de los milímetros para que la asunción de componentes agrupados sea válida. A pesar de que no existe una línea de transmisión como tal, todavía debe definirse una impedancia del sistema para permitir la normalización y los cálculos y la desnormalización ${displaystyle Z_{0}=50 Omega ,}$ es una buena elección aquí como ${displaystyle R_{1}=50 Omega ,}$. Si hubiera valores muy diferentes de resistencia presente un valor más cercano a estos podría ser una mejor opción.

El análisis comienza con un gráfico Z Smith que busca en R₁ sólo sin otros componentes presentes. As ${displaystyle R_{1}=50 Omega ,}$ es lo mismo que la impedancia del sistema, esto está representado por un punto en el centro del gráfico Smith. La primera transformación es OP₁ a lo largo de la línea de resistencia normalizada constante en este caso la adición de una reacción normalizada de -j0.80, correspondiente a un condensador de serie de 40 pF. Puntos con sufijo P están en el Z plano y puntos con sufijo Q están en Y avión. Por lo tanto, transformaciones P₁ a Q₁ y P₃ a Q₃ son de la gráfica Z Smith al gráfico Y Smith y la transformación Q₂ a P₂ es del gráfico Y Smith al gráfico Z Smith. La siguiente tabla muestra los pasos realizados para trabajar a través de los componentes y transformaciones restantes, regresando eventualmente al centro del gráfico Smith y un perfecto partido de 50 ohmios.

Pasos del gráfico Smith para analizar un circuito de aislamiento

Transformación	Plane	x o Sí. Valor normalizado	Capacidad/Inductancia	Fórmula para resolver	Resultado
${displaystyle Orightarrow P_{1},}$	${displaystyle Z,}$	${displaystyle -j0.80,}$	(Series)	${displaystyle -j0.80={frac {-J}{omega C_{1}Z_{0},}$	${displaystyle C_{1}=40mathrm {pF} ,}$
${displaystyle Q_{1}rightarrow Q_{2},}$	${displaystyle Y,}$	${displaystyle -j1.49,}$	Inductance (Shunt)	${displaystyle -j1.49={frac {-J}{omega - Sí.$	${displaystyle L_{1}=53mathrm {nH} ,}$
${displaystyle P_{2}derecho P_{3},}$	Z	${displaystyle -j0.23,}$	(Series)	${displaystyle -j0.23={frac {-J}{omega C_{2}Z_{0},}$	${displaystyle C_{2}=138mathrm {pF} ,}$
${displaystyle Q_{3}rightarrow O,}$	Y	${displaystyle +j1.14,}$	Saludos	${displaystyle +j1.14={frac {jomega ¿Qué?$	${displaystyle C_{3}=36mathrm {pF} ,}$

Gráfico de Smith 3D

Müller, et al en 2011 propuso una generalización de la carta de Smith a una esfera tridimensional, basada en el plano complejo extendido (esfera de Riemann) y la geometría inversiva.

El gráfico unifica el diseño del circuito pasivo y activo en círculos pequeños y grandes en la superficie de una esfera unitaria, utilizando un mapa conforme estereográfico del plano generalizado del coeficiente de reflexión. Considerando el punto en el infinito, el espacio de la nueva carta incluye todas las cargas posibles: el polo norte es el punto que coincide perfectamente, mientras que el polo sur es el punto que no coincide en absoluto.

El gráfico 3D Smith se ha ampliado aún más fuera de la superficie esférica, para trazar varios parámetros escalares, como retraso de grupo, factores de calidad u orientación de frecuencia. La orientación de la frecuencia visual (en sentido horario o antihorario) permite diferenciar entre negativo/capacitancia y positivo/inductivo cuyos coeficientes de reflexión son los mismos cuando se trazan en un gráfico Smith 2D, pero cuyas orientaciones divergen a medida que aumenta la frecuencia.