Cardioide

En geometría, una cardioide (de griego) (kardiá)"corazón") es una curva de plano trazada por un punto en el perímetro de un círculo que está rodando alrededor de un círculo fijo del mismo radio. También se puede definir como epicicloide teniendo un solo cusp. También es un tipo de espiral sinusoidal, y una curva inversa de la parabola con el enfoque como el centro de la inversión. Un cardioide también se puede definir como el conjunto de puntos de reflexión de un punto fijo sobre un círculo a través de todos los tangentes al círculo.

El nombre fue acuñado por Giovanni Salvemini en 1741, pero el cardioide había sido objeto de estudio décadas antes. Aunque recibe su nombre por su forma de corazón, su forma se parece más al contorno de la sección transversal de una manzana redonda sin el tallo.

Un micrófono cardioide exhibe un patrón de captación acústica que, cuando se representa gráficamente en dos dimensiones, se asemeja a un cardioide (cualquier plano 2D que contenga la línea recta 3D del cuerpo del micrófono). En tres dimensiones, el cardioide tiene forma de manzana centrada alrededor del micrófono, que es el "tallo" del micrófono. de la manzana.

Ecuaciones

Vamos. ${displaystyle a}$ ser el radio común de los dos círculos generadores con puntos intermedios ${displaystyle (-a,0),(a,0)}$, ${displaystyle varphi }$ el ángulo de rodadura y el origen el punto de partida (ver imagen). Uno consigue el

• Representación paramétrica:
  $${displaystyle {begin{aligned}x(varphi) implica=2a(1-cos varphi)cdot cos varphi \y(varphi) implica=2a(1-cos varphi)cdot sin varphi \qquad 0leq varphi <2pendiente {alignado}}$$

  
  y aquí de la representación en
• coordenadas polares:
  $${displaystyle r(varphi)=2a(1-cos varphi).}$$

  
• Introducción de las sustituciones ${displaystyle cos varphi =x/r}$ y ${textstyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ se obtiene después de eliminar la raíz cuadrada la representación implícita en las coordenadas cartesianas:
  $${displaystyle left(x^{2}+y^{2}right)^{2}+4axleft(x^{2}+y^{2}right)-4a^{2}y^{2}=0. }$$

  

Prueba de la representación paramétrica

Una prueba se puede establecer utilizando números complejos y su descripción común como el plano complejo. El movimiento rodante del círculo negro en el azul puede dividirse en dos rotaciones. En el plano complejo una rotación alrededor del punto ${displaystyle 0}$ (el origen) por un ángulo ${displaystyle varphi }$ se puede realizar multiplicando un punto ${displaystyle z}$ (número complejo) por ${displaystyle e^{ivarphi }$. Por lo tanto

la rotación ${displaystyle Phi _{+}$ alrededor del punto ${displaystyle a}$ es${displaystyle:zmapsto a+(z-a)e^{ivarphi }$,

la rotación ${displaystyle Phi _{-}}$ alrededor del punto ${displaystyle -a}$ es: ${displaystyle zmapsto -a+(z+a)e^{ivarphi}$.

Un punto ${displaystyle p(varphi)}$ de la cardioide se genera girando el origen alrededor del punto ${displaystyle a}$ y posteriormente girando alrededor ${displaystyle -a}$ por el mismo ángulo ${displaystyle varphi }$:

$${displaystyle p(varphi)= Phi _{-}(Phi _{+}(0)= Phi _{-}left(a-ae^{ivarphi }right)=-a+left(a-ae^{ivarphi }+aright)e^{ivarphi }=a;left(-e^{i2varphi }+2e^{ivarphi }-1right). }$$

$${begin{array}{cclcc}x(varphi) tendrían una relación;(-cos(2varphi)+2cos varphi -1) correspond= implica2a(1-cos varphi)cdot cos varphiy(varphia)$$

${displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi (cos varphi)^{2}+(sin varphi)^{2}=1,}$

${displaystyle cos(2varphi)=(cos varphi)^{2}-(sin varphi)^{2},}$

${displaystyle sin(2varphi)=2sin varphi cos varphi }$

Propiedades métricas

Para el cardioide definido anteriormente se cumplen las siguientes fórmulas:

• zona ${displaystyle A=6pi a^{2}$,
• longitud de arco ${displaystyle L=16a}$ y
• radio de curvatura ${displaystyle rho (varphi)={tfrac {8}{3}asin {tfrac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fnfn}}}ab}afn}af}unsin {\fnfnfnfnfn}fnfn}\fn}fn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fn}fn}fnfnb}fnfnfn}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fnfn}b}fn } {2},.}$

Las pruebas de estas declaraciones utilizan en ambos casos la representación polar del cardioide. Para fórmulas adecuadas ver sistema de coordenadas polares (longitud del arco) y sistema de coordenadas polares (rea)

Prueba de la fórmula de área

$${displaystyle A=2cdot {tfrac {1}{2}int _{0}{pi}{(r(varphi)};dvarphi =int ¿Qué? {4a^{2}(1-cos varphi)};dvarphi =cdots =4a^{2}cdot {3}pi =6pi a^{2}$$

Prueba de la fórmula de longitud del arco

$${displaystyle L=2int _{0}{pi }{sqrt {r(varphi)^{2}+(r'(varphi)}};dvarphi =cdots =8aint ¿Qué? }{sqrt {{tfrac {1} {2} {1-cos varphi};dvarphi =8aint ################################################################################################################################################################################################################################################################ } {2}right)dvarphi =16a.}$$

Prueba para el radio de curvatura

El radio de curvatura ${displaystyle rho }$ de una curva en coordenadas polares con ecuación ${displaystyle r=r(varphi)}$ es (s. curvatura)

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}cH0f}fnMicrosigually}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrosigual]}f}cH0f}cH0cH0f}cH0f}cH0fnMinMinKfnKcH0cH0f}f}fnMi$$

Para el cardioide ${displaystyle r(varphi)=2a(1-cos varphi)=4asin ^{2}left({tfrac {varphi }{2}right)}$ uno se pone

$${displaystyle rho (varphi)=cdots ={frac {left[16a^{2}sin ^{2}{frac {varphi } {2}derecha] {3}{2}}{24a^{2}sin } {2}}={frac {}{3}asin {frac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}fn}f}fnf}fn}fnfnf}fnfn}f}fnfn}fn}fn}fnfn}fnfnfn}fnfnfn}f}fnfnfn}fnfn}f}fnfnfn}fn}fnfnfn}fnfn}fnfn}fnfnfnfn}fnfn}fn}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn} } {2}.}$$

Propiedades

Acordes a través de la cúspide

C1

Chords a través de la cuspa de la cardioide tiene la misma longitud ${displaystyle 4a}$.

C2

El punto medio de los acordes a través de la cusp mienten en el perímetro del círculo del generador fijo (ver imagen).

Prueba de C1

Los puntos ${displaystyle P:p(varphi),;Q:p(varphi +pi)}$ están en un acorde a través del cusp (=origin). Por lo tanto

$${displaystyle {begin{aligned}Sobrevivir pQ implicar=r(varphi)+r(varphi +pi)\cdots=2a(1-cos varphi)+2a(1-cos(varphi +pi))=cdots =4aend{aligned}}}$$

Prueba para C2

Para la prueba se utiliza la representación en el plano complejo (ver arriba). Por los puntos

$${displaystyle P: p(varphi)=a,left(-e^{i2varphi }+2e^{ivarphi }-1right)}$$

$${displaystyle Q: p(varphi +pi)=a,left(-e^{i2(varphi +pi)}+2e^{i(varphi +pi)}-1right)=a,left(-e^{i2varphi - Sí.$$

el punto medio del acorde ${displaystyle PQ}$ es

$${displaystyle M: {tfrac {1}{2}(p(varphi)+p(varphi +pi)=cdots =-a-ae^{i2varphi }$$

${displaystyle -a}$

${displaystyle a}$

Cardioide como curva inversa de una parábola

Un cardioide es la curva inversa de una parabola con su enfoque en el centro de la inversión (ver gráfico)

Por ejemplo en el gráfico los círculos del generador tienen radio ${textstyle a={frac {1}{2}}}$. Por lo tanto el cardioide tiene la representación polar

$${displaystyle r(varphi)=1-cos varphi }$$

$${displaystyle r(varphi)={1}{1-cos varphi }}$$

${textstyle x={tfrac {2}left(y^{2}-1right)}$

Observación: No todas las curvas inversas de una parábola son cardioides. Por ejemplo, si una parábola se invierte a lo largo de un círculo cuyo centro se encuentra en el vértice de la parábola, entonces el resultado es una cisoide de Diocles.

Cardioide como envoltura de un lápiz de círculos

En la sección anterior, si se invierten adicionalmente las tangentes de la parábola, se obtiene un lápiz de círculos que pasa por el centro de inversión (origen). Una consideración detallada muestra que: Los puntos medios de los círculos se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo. (El círculo generador es la curva inversa de la directriz de la parábola).

Esta propiedad da lugar al siguiente método simple para dibujar un cardioide:

1. Elija un círculo ${displaystyle c}$ y un punto ${displaystyle O.$ en su perímetro,
2. círculos de dibujo que contienen ${displaystyle O.$ con centros en ${displaystyle c}$, y
3. dibuja el sobre de estos círculos.

Prueba con condición de sobre

El sobre del lápiz de curvas implícitamente dadas

$${displaystyle F(x,y,t)=0}$$

con parámetro ${displaystyle t}$ consta de tales puntos ${displaystyle (x,y)}$ que son soluciones del sistema no lineal

$${displaystyle F(x,y,t)=0,quad F_{t}(x,y,t)=0,}$$

que es la condición del sobre. Note que ${displaystyle F_{t}$ significa el derivado parcial para el parámetro ${displaystyle t}$.

Vamos. ${displaystyle c}$ ser el círculo con punto medio ${displaystyle (-1,0)}$ y radio ${displaystyle 1}$. Entonces... ${displaystyle c}$ tiene representación paramétrica ${displaystyle (-1+cos t,sin t)}$. El lápiz de círculos con centros en ${displaystyle c}$ punto ${displaystyle O=(0,0)}$ puede ser representado implícitamente por

$${displaystyle F(x,y,t)=(x+1-cos t)^{2}+(y-sin t)^{2}-(2-2cos t)=0,}$$

que equivale a

$${displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x;(1-cos t)-2y;sin t=0;.}$$

La segunda condición del sobre es

$${displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x;sin t-2y;cos t=0.}$$

Se comprueba fácilmente que los puntos de la cardioide con la representación paramétrica

$${displaystyle x(t)=2(1-cos t)cos t,quad y(t)=2(1-cos t)sin t}$$

cumplir el sistema no lineal arriba. El parámetro ${displaystyle t}$ es idéntico al parámetro de ángulo del cardioide.

Cardioide como envoltura de un lápiz de líneas

Un método similar y sencillo para dibujar un cardioide utiliza un lápiz de líneas. Se debe a L. Cremona:

1. Dibujar un círculo, dividir su perímetro en partes iguales con espacio ${displaystyle 2N}$ puntos (s. cuadro) y numerarlos consecutivamente.
2. Dibuja los acordes: ${displaystyle (1,2),(2,4),dots(n,2n),dots(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),dots }$. (Es decir, el segundo punto se mueve por doble velocidad.)
3. El sobre de estos acordes es un cardioide.

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para ${displaystyle cos alpha +cos beta }$, ${displaystyle sin alpha +sin beta }$, ${displaystyle 1+cos 2alpha }$, ${displaystyle cos 2alpha }$, y ${displaystyle sin 2alpha }$. Para mantener los cálculos simples, se da la prueba para el cardioide con representación polar ${displaystyle r=2(1mathbin {color {red}+} cos varphi)}$ ()Cardioides en diferentes posiciones).

Ecuación de la tangente del cardioide con representación polar r = 2(1 + cos 𝜑)

De la representación paramétrica

$${displaystyle {begin{aligned}x(varphi) implica=2(1+cos varphi)cos varphi\y(varphi) conlleva=2(1+cos varphi)sin varphiend{aligned}}$$

uno consigue el vector normal ${displaystyle {vec {}=left({dot {y},-{dot {x}right)}{mathsf {T}}}$. La ecuación del tangente ${displaystyle {dot {} {varphi)cdot (x-x(varphi))-{dot {x}}(varphi)cdot (y-y-y(varphi)=0}$ es:

$${displaystyle (cos 2varphi +cos varphi)cdot x+(sin 2varphi +sin varphi)cdot y=2(1+cos varphi)^{2},}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas y posterior división por ${textstyle cos {frac}varphi }$, la ecuación del tangente puede ser reescrita como:

$${displaystyle cos({tfrac {3}{2}varphi)cdot x+sin left({tfrac {3}{2}varphiright)cdot y=4left(cos {1}{2}}varphiright)}quad 0 {2}varphi2cddvarphi]$$

Ecuación del acorde del círculo con punto medio (1, 0) y radio 3

Para la ecuación de la línea de secant pasando los dos puntos ${displaystyle (1+3cos theta3sin theta), (1+3cos {color {red}2}theta3sin {color {red}2}theta)}}$ uno consigue:

$${displaystyle (sin theta -sin 2theta)x+(cos 2theta -sin theta)y=-2cos theta -sin(2theta),.}$$

Con la ayuda de fórmulas trigonométricas y la división posterior por ${textstyle sin {frac {2}theta}$ la ecuación de la línea secant puede ser reescrita por:

$${displaystyle cos left({tfrac {3}{2}theta right)cdot x+sin left({tfrac {3}{2}theta right)cdot y=4left(cos {tfrac {1}{2}}thetaright)}Thetathed}thetathed 0}thetfrad 0}ta {}cdotfrad {}thetfrad {}c]cdotfrad}c]cdotfrad {c]c]cdotfrag}c]cdotfrad {cdotfrac]cdotfracdotseccc}cdotfrac}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}c}cdotfracdotfracdots {f}c - No.$$

Conclusión

A pesar de los dos ángulos ${displaystyle varphitheta }$ tiene diferentes significados (s. imagen) uno consigue para ${displaystyle varphi =theta }$ la misma línea. Por lo tanto, cualquier línea de secant del círculo, definida anteriormente, es un tangente de la cardioide, también:

El cardioide es el sobre de los acordes de un círculo.

Observación:
La prueba se puede realizar con ayuda de la condiciones del sobre (ver sección anterior) de un lápiz implícito de curvas:

$${displaystyle F(x,y,t)=cos left({tfrac {3}{2}tright)x+sin left({tfrac {3} {2}tright)y-4left(cos {tfrac {1} {2}tright)}tright)}{3}=0}=0}$$

es el lápiz de las rectas secantes de un círculo (ver arriba) y

$${displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{tfrac {3}{2}sin left({tfrac {3}{2}tright)x+{tfrac {3}{2}}cos left({tfrac {3}{2}tright)y+3cos left({tfrac {1} {2}tright)sin t=0,}$$

Para el parámetro fijo t, ambas ecuaciones representan líneas. Su punto de intersección es

$${displaystyle x(t)=2(1+cos t)cos t,quad y(t)=2(1+cos t)sin t,}$$

que es un punto de la cardioide con ecuación polar ${displaystyle r=2(1+cos t).}$

Cardioide como cáustica de un círculo

Las consideraciones hechas en la sección anterior dan una prueba de que la cáustica de un círculo con una fuente de luz en el perímetro del círculo es un cardioide.

Si en el avión hay una fuente de luz en un punto ${displaystyle Z}$ en el perímetro de un círculo que refleja cualquier rayo, entonces los rayos reflejados dentro del círculo son tangentes de un cardioide.

Prueba

Como en la sección anterior, el círculo puede tener punto medio ${displaystyle (1,0)}$ y radio ${displaystyle 3}$. Su representación paramétrica es

$${displaystyle c(varphi)=(1+3cos varphi3sin varphi).}$$

El tangente en punto círculo ${displaystyle C: k(varphi)}$ tiene un vector normal ${displaystyle {vec {n}_{t}=(cos varphisin varphi)^{mathsf {T}}}$. Por lo tanto, el rayo reflejado tiene el vector normal ${displaystyle {vec {fn} {fn}=cH00} {cos {fn} {fn} {\fn}fn}fn}fnfn}fnfnK} {f}fnfnf}fnfnKfnf}fnKfnh}fn}fn}fn}fn}fnh}fnfnKfnKfnKfn}fnKfnKfnK}fnKfnKfnKfn}fn}fnKfn}}fn}fn}fn}cH00}cfnKfnKfn}fnKfn}fnKfnKfnK}\cH00}fn}fn}cc} {3}{2}}varphisin {color {red}{tfrac} {c}}}varphisin {color {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}} {c}}}}c}c}c}cH0}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}ccccccccccccccccccccccccccccccccccccc}c}ccccccccc}c}c {3} {2}}varphi right)} {Mathsf {T}}$ (ver gráfico) y contiene punto ${displaystyle C: (1+3cos varphi3sin varphi)}$. El rayo reflejado es parte de la línea con la ecuación (ver sección anterior)

$${displaystyle cos left({tfrac {3}{2}varphi right)x+sin left({tfrac {3}{2}varphi right)y=4left(cos {1}{2}varphi right)}{3},}$$

que es tangente del cardioide con ecuación polar

$${displaystyle r=2(1+cos varphi)}$$

de la sección anterior.

Observación: Por tales consideraciones, normalmente se desprecian las reflexiones múltiples en el círculo.

Cardioide como curva de pedal de un círculo

La generación Cremona de un cardioide no debe confundirse con la siguiente generación:

Vamos. ${displaystyle k}$ un círculo y ${displaystyle O.$ un punto en el perímetro de este círculo. Lo siguiente es cierto:

Los pies de perpendiculares desde el punto ${displaystyle O.$ sobre los tangentes del círculo ${displaystyle k}$ son puntos de cardioide.

Por lo tanto, un cardioide es una curva de pedal especial de un círculo.

Prueba

En un círculo de sistema de coordenadas cartesiano ${displaystyle k}$ puede tener punto medio ${displaystyle (2a,0)}$ y radio ${displaystyle 2a}$. El tangente en punto círculo ${displaystyle (2a+2acos varphi2asin varphi)}$ tiene la ecuación

$${displaystyle (x-2a)cdot cos varphi +ycdot sin varphi =2a,}$$

${displaystyle O.$

${displaystyle (rcos varphirsin varphi)}$

${displaystyle r}$

${displaystyle O.$

$${displaystyle (rcos varphi -2a)cos varphi +rsin ^{2}varphi =2aquad rightarrow quad r=2a(1+cos varphi)}$$

Observación: Si punto ${displaystyle O.$ no está en el perímetro del círculo ${displaystyle k}$Uno tiene un limazón de Pascal.

La evolución de una cardioide

El evoluto de una curva es el locus de los centros de curvatura. En detalle: Para una curva ${displaystyle {vec {x}(s)={vec}(s)}$ con radio de curvatura ${displaystyle rho (s)}$ el evolute tiene la representación

$${displaystyle {vec {}(s)={vec}(s)+rho (s){vec {n}(s)}$$

${displaystyle {vec}(s)}$

Para un cardioide se obtiene:

El evolute de un cardioide es otro cardioide, un tercio como grande, y frente a la dirección opuesta (s. imagen).

Prueba

Para el cardioide con representación paramétrica

$${displaystyle x(varphi)=2a(1-cos varphi)cos varphi =4asin ^{2}{tfrac {varphi } {2}cos varphi ,}$$

$${displaystyle y(varphi)=2a(1-cos varphi)sin varphi =4asin ^{2}{tfrac {varphi } {2}sin varphi }$$

$$[displaystyle {vec {} {varphi)=(sin {tfrac {3}{2}varphicos {tfrac {3}{2}varphi)}}}$$

$${displaystyle rho (varphi)={tfrac {8}{3}asin {tfrac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fnfn}}}ab}afn}af}unsin {\fnfnfnfnfn}fnfn}\fn}fn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fnfn}fn}fn}fn}fnfnb}fnfnfn}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fnfn}b}fn } {2},.}$$

$${displaystyle X(varphi)=4asin ^{2}{tfrac {varphi {}{2}cos varphi -{}{3}asin {tfrac {varphi {}{2}cdot sin {tfrac} {3}{2}varphi =cdots ={tfrac {4}{3}acos ^{2}{tfrac {varphi }{2}cos varphi -{tfrac {4}{3}a,}$$

$${displaystyle Y(varphi)=4asin ^{2}{tfrac {varphi {}{2}sin varphi +{8}{3}asin {tfrac {varphi }{2}cdot cos {tfrac {3}{2}varphi =cdots ={tfrac {4}{3}acos ^{2}{tfrac {varphi }sin varphi ,}$$

${displaystyle -{tfrac {4}{3}a}$

(Se utilizaron fórmulas trigonométricas: ${displaystyle sin {tfrac {3}{2}varphi =sin {tfrac {fnMicroc}varphi }{2}cos varphi +cos {tfrac {varphi }{2}sin varphi \cos {tfrac {3}{2}}varphi =cdots\sin varphi =2sin {tfrac {varphi}cdotfrac {ccH0} }{2}cos {tfrac {varphi }{2},cos varphi =cdots .}$)

Trayectorias ortogonales

Una trayectoria ortogonal de un lápiz de curvas es una curva que corta ortogonalmente cualquier curva del lápiz. Para los cardioides se cumple lo siguiente:

Las trayectorias ortogonales del lápiz de cardioides con ecuaciones

$${displaystyle r=2a(1-cos varphi)\;a consist0\\ }$$

son los cardioides con ecuaciones

$${displaystyle r=2b(1+cos varphi)\;b confidencial0.}$$

(El segundo lápiz puede considerarse como reflejos en el eje y del primero. Ver diagrama).

Prueba

Para una curva dada en coordenadas polares por una función ${displaystyle r(varphi)}$ la siguiente conexión con las coordenadas cartesianas:

$${displaystyle {begin{aligned}x(varphi) recur=r(varphi)cos varphi ,\y(varphi) recur=r(varphi)sin varphi end{aligned}}}$$

y para los derivados

$${displaystyle {begin{aligned}{frac {dx}{dvarphi } {=r'(varphi)cos varphi -r(varphi)sin varphi ,\frac {frac {}{dvarphi }} {varphi]en varphi +r(varphicos)$$

Dividiendo la segunda ecuación por el primero produce la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto ${displaystyle (r(varphi),varphi)}$:

$${displaystyle {frac {y}={frac {r'(varphi)sin varphi +r(varphi)cos varphi }{r'(varphi)cos varphi -r(varphi)sin varphi }}$$

Para los cardioides con las ecuaciones ${displaystyle r=2a(1-cos varphi);}$ y ${displaystyle r=2b(1+cos varphi)}$ respectivamente uno obtiene:

$${displaystyle {frac {fnK}{dx}={frac} {cos(varphi)-cos(2varphi)}{sin(2varphi)-sin(varphi)}}}$$

$${fnMicroc} {fnK} {fnMicroc} {cos(varphi)+cos(2varphi)}{sin(2varphi)+sin(varphi)}}.}$$

(La pendiente de cualquier curva depende de ${displaystyle varphi }$ sólo, y no en los parámetros ${displaystyle a}$ o ${displaystyle b}$!

Por lo tanto

$${displaystyle {frac {}{dx}cdot} {fnMicroc {y_{b} {dx}=cdots =-{frac {cos ^{2}varphi -cos ^{2} {2varphi)}{2}(2varphi)-sin ^{2}varphi }=-{frac {-1+cos ^{2}varphi +1-cos ^{2}2varphi }{2}(2varphi)-sin ^{2}}=-1,}$$

En diferentes posiciones

Elegir otras posiciones del cardioide dentro del sistema de coordenadas da como resultado ecuaciones diferentes. La imagen muestra las 4 posiciones más comunes de un cardioide y sus ecuaciones polares.

En análisis complejos

En análisis complejos, la imagen de cualquier círculo a través del origen bajo el mapa ${displaystyle zto z^{2}$ es un cardioide. Una aplicación de este resultado es que el límite del componente del período central-1 del conjunto Mandelbrot es un cardioide dado por la ecuación

$${displaystyle c,=,{frac {1-left(e^{it}1right)}{2}}}}}}$$

El conjunto de Mandelbrot contiene un número infinito de copias ligeramente distorsionadas de sí mismo y el bulbo central de cualquiera de estas copias más pequeñas es un cardioide aproximado.

Cáusticas

Ciertas cáusticas pueden tomar la forma de cardioides. La catacáustica de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es cardioide. Además, la catacáustica de un cono respecto de los rayos paralelos a una línea generadora es una superficie cuya sección transversal es cardioide. Esto se puede ver, como en la fotografía de la derecha, en una copa cónica parcialmente llena de líquido cuando una luz brilla desde una distancia y en un ángulo igual al ángulo del cono. La forma de la curva en el fondo de una copa cilíndrica es la mitad de una nefroide, que parece bastante similar.