Cardinalidad

El set ${displaystyle S.$ de todos los sólidos platónicos tiene 5 elementos. Así el cardenalismo ${displaystyle S.$ es 5 o, en símbolos, ${displaystyle Silencioso$.

En matemáticas, la cardinalidad de un conjunto es una medida del número de elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto ${displaystyle A={2,4,6}$ contiene 3 elementos, y por lo tanto ${displaystyle A}$ tiene una cardenalidad de 3. A finales del siglo XIX, este concepto fue generalizado a conjuntos infinitos, lo que permite distinguir entre diferentes tipos de infinito, y realizar aritmética sobre ellos. Hay dos enfoques de la cardinalidad: uno que compara los conjuntos directamente utilizando bijetos e inyecciones, y otro que utiliza números cardinales. La cardenalidad de un conjunto también se llama su tamaño, cuando no hay confusión con otras nociones de tamaño es posible.

La cardinalidad de un conjunto ${displaystyle A}$ es generalmente denotado ${displaystyle Silencioso$, con una barra vertical en cada lado; esta es la misma notación como valor absoluto, y el significado depende del contexto. La cardinalidad de un conjunto ${displaystyle A}$ puede ser denotado por ${displaystyle n(A)}$, ${displaystyle A}$, ${displaystyle operatorname {card} (A)}$, o ${displaystyle#A}$.

Historia

Un sentido crudo de cardinalidad, una conciencia de que los grupos de cosas o eventos se comparan con otros grupos al contener más, menos o el mismo número de instancias, se observa en una variedad de especies animales actuales, lo que sugiere un origen millones de hace años La expresión humana de la cardinalidad se ve desde 40000 hace años, al equiparar el tamaño de un grupo con un grupo de muescas grabadas, o una colección representativa de otras cosas, como palos y conchas. La abstracción de la cardinalidad como número es evidente hacia el 3000 a. C., en las matemáticas sumerias y la manipulación de números sin referencia a un grupo específico de cosas o eventos.

Desde el siglo VI a. C., los escritos de los filósofos griegos muestran los primeros indicios de la cardinalidad de los conjuntos infinitos. Si bien consideraban la noción de infinito como una serie interminable de acciones, como sumar 1 a un número repetidamente, no consideraban que el tamaño de un conjunto infinito de números fuera una cosa. La antigua noción griega de infinito también consideraba la división de las cosas en partes repetidas sin límite. En los Elementos de Euclides, la conmensurabilidad se describía como la capacidad de comparar la longitud de dos segmentos de línea, a y b, como una proporción, siempre que hubiera un tercer segmento, por pequeño que fuera, que pudiera colocarse de extremo a extremo un número entero de veces tanto en a como en b. Pero con el descubrimiento de los números irracionales, se vio que incluso el conjunto infinito de todos los números racionales no era suficiente para describir la longitud de cada segmento de línea posible. Aún así, no existía el concepto de conjuntos infinitos como algo que tuviera cardinalidad.

Para comprender mejor los conjuntos infinitos, Georg Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, formuló una noción de cardinalidad alrededor de 1880. Examinó el proceso de equiparar dos conjuntos con biyección, una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos basada en una relación única. En 1891, con la publicación del argumento de la diagonal de Cantor, demostró que existen conjuntos de números que no pueden colocarse en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales, es decir, conjuntos incontables que contienen más elementos que los que existen. están en el conjunto infinito de los números naturales.

Comparando conjuntos

Función bijeactiva de N al conjunto E incluso números. Aunque E es un subconjunto adecuado N, ambos conjuntos tienen la misma cardenalidad.

N no tiene la misma cardinalidad que su sistema de poder P()N): Por cada función f desde N a P()N), el set T =n▪N: n∉f()n)} discrepa con cada conjunto en el rango de f, por lo tanto f no puede ser subjetivo. La imagen muestra un ejemplo f y el correspondiente T; rojo: n▪f()n)T, azul:n▪Tf()n).

Si bien la cardinalidad de un conjunto finito es solo el número de sus elementos, extender la noción a conjuntos infinitos generalmente comienza con la definición de la noción de comparación de conjuntos arbitrarios (algunos de los cuales posiblemente sean infinitos).

Definición 1: |A| = |B|

Dos sets A y B tienen la misma cardinalidad si existe una bijeción (a.k.a., correspondencia de uno a uno) A a B, es decir, una función de A a B eso es inyector y subjetivo. Se dice que tales grupos son equipo, equipollent, o equinumerous. Esta relación también se puede denotar A. B o A ~ B.

Por ejemplo, el conjunto E = {0, 2, 4, 6,...} de números no negativos incluso tiene la misma cardinalidad que el conjunto N = {0, 1, 2, 3,...} de números naturales, desde la función f()n) = 2n es una bijeción de N a E (ver imagen).

Para conjuntos finitos A y B, si algunos bijeción existe A a B, entonces cada uno función inyectable o subjetiva de A a B es una bijeción. Esto ya no es verdad para infinito A y B. Por ejemplo, la función g desde N a E, definida por g()n) = 4n es inyectable, pero no subjetivo, y h desde N a E, definida por h()n) n -n mod 2) es subjetivo, pero no inyectable. Ni tampoco g ni h puede desafiar aESilencioNtención, que fue establecida por la existencia de f.

Definición 2: |A| ≤ |B|

A tiene la cardenalidad menos que o igual a la cardinalidad B, si existe una función inyectable A en B.

Definición 3: |A| < |B|

A tiene la cardenalidad estrictamente menos que el cardenalismo B, si hay una función inyectable, pero ninguna función bijeactiva, A a B.

Por ejemplo, el conjunto N de todos los números naturales tiene la cardenalidad estrictamente menos que su conjunto de poder P()N), porque g()n♪♪ n } es una función inyectable de N a P()N), y se puede demostrar que ninguna función de N a P()N) puede ser bijetivo (ver imagen). Por un argumento similar, N tiene la cardenalidad estrictamente menos que la cardinalidad del conjunto R de todos los números reales. Para pruebas, vea el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba incontable de Cantor.

Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, luego |A| = |B| (un hecho conocido como teorema de Schröder-Bernstein). El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que |A| ≤ |B| o |B| ≤ |A| para cada A, B.

Números cardinales

En la sección anterior, "cardinalidad" de un conjunto fue definido funcionalmente. En otras palabras, no se definió como un objeto específico en sí mismo. Sin embargo, dicho objeto se puede definir de la siguiente manera.

La relación de tener la misma cardinalidad se llama equinumerosidad, y esta es una relación de equivalencia sobre la clase de todos los conjuntos. La clase de equivalencia de un conjunto A bajo esta relación, entonces, consiste en todos aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad que A. Hay dos formas de definir la "cardinalidad de un conjunto":

1. La cardinalidad de un conjunto A se define como su clase de equivalencia bajo equinumerosidad.
2. Se designa un conjunto representativo para cada clase de equivalencia. La elección más común es el ordinal inicial en esa clase. Esto se toma generalmente como la definición del número cardenal en la teoría del conjunto axiomático.

Asumiendo el axioma de elección, las cardinalidades de los conjuntos infinitos se denotan

${displaystyle aleph _{0}traducidoaleph _{1} buscadoaleph _{2}$

Para cada ordinal ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle aleph _{alpha #$ es el menor número cardenal más grande que ${displaystyle aleph _{alpha }$.

La cardinalidad de los números naturales se denota aleph-null (${displaystyle aleph _{0}$), mientras que la cardinalidad de los números reales es denotado por "${displaystyle {Mathfrak}}$" (un guión de fraktur de minúsculas "c"), y también se denomina cardenalidad del continuum. Cantor mostró, usando el argumento diagonal, que ${displaystyle {Mathfrak {c}aleph} ¿Qué?$. Podemos demostrarlo. ${displaystyle {Mathfrak}=2^{aleph - Sí.$, esto también es la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales.

La hipótesis continua dice que ${displaystyle aleph _{1}=2^{aleph - Sí.$, es decir. ${displaystyle 2^{aleph - Sí.$ es el número cardenal más pequeño que ${displaystyle aleph _{0}$, es decir, no hay un conjunto cuyo cardenalismo es estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales. La hipótesis continuum es independiente de ZFC, una axiomatización estándar de la teoría de conjuntos; es decir, es imposible probar la hipótesis continuum o su negación de ZFC, siempre que ZFC sea consistente. Para más detalles, vea § Cardinalidad del continuum a continuación.

Conjuntos finitos, contables e incontables

Si se cumple el axioma de elección, se cumple la ley de la tricotomía para la cardinalidad. Así podemos hacer las siguientes definiciones:

• Cualquier juego X con la cardenalidad menos que la de los números naturales, oXSilencioNSilencio, se dice que es un conjunto finito.
• Cualquier juego X que tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales, oXSilencioNSilencio ${displaystyle aleph _{0}$, se dice que es un conjunto contablemente infinito.
• Cualquier juego X con cardenalidad mayor que la de los números naturales, oXSilencio.NSilencio, por ejemplo,RSilencio ${displaystyle {Mathfrak}}$ √≥n √≥NSilencio, se dice que es incontable.

Conjuntos infinitos

Nuestra intuición obtenida de conjuntos finitos se descompone al tratar con conjuntos infinitos. A finales del siglo XIX Georg Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind y otros rechazaron la opinión de que todo el mundo no puede ser el mismo tamaño que la parte. Un ejemplo de esto es la paradoja de Hilbert del Gran Hotel. De hecho, Dedekind definió un conjunto infinito como uno que puede ser colocado en una correspondencia de uno a uno con un subconjunto estricto (es decir, teniendo el mismo tamaño en el sentido de Cantor); esta noción de infinito se llama Dedekind infinito. Cantor introdujo los números cardinales, y mostró —según su definición de tamaño basada en la bijeción— que algunos conjuntos infinitos son mayores que otros. La más pequeña cardenalidad infinita es la de los números naturales (${displaystyle aleph _{0}$).

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que el cardenalismo del continuum (${displaystyle {Mathfrak}}$) es mayor que el de los números naturales (${displaystyle aleph _{0}$); es decir, hay más números reales R que números naturales N. Es decir, Cantor mostró que ${displaystyle {Mathfrak}=2^{aleph ¿Qué? ¿Qué?$ (ver Beth uno) satisfies:

${displaystyle 2^{aleph ¿Qué? ¿Qué?$

(ver el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba incontable de Cantor).

La hipótesis del continuo afirma que no existe un número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir,

${displaystyle 2^{aleph ¿Qué? ¿Qué?$

Sin embargo, esta hipótesis no se puede probar ni refutar dentro de la teoría axiomática de conjuntos ZFC ampliamente aceptada, si ZFC es consistente.

La aritmética cardinal se puede usar para mostrar no solo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta, sino que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita. Estos resultados son altamente contraintuitivos, porque implican que existen subconjuntos propios y superconjuntos propios de un conjunto infinito S que tienen el mismo tamaño que S, aunque S< /i> contiene elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los superconjuntos de S contienen elementos que no están incluidos en él.

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente, que proporciona una correspondencia uno a uno entre el intervalo (−½π, ½π) y R (ver también La paradoja de Hilbert del Grand Hotel).

El segundo resultado fue demostrado por primera vez por Cantor en 1878, pero se hizo más evidente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio, líneas curvas que giran y giran lo suficiente como para llenar la totalidad de cualquier cuadrado o cubo. o hipercubo, o espacio de dimensión finita. Estas curvas no son una prueba directa de que una línea tiene el mismo número de puntos que un espacio de dimensión finita, pero pueden usarse para obtener tal prueba.

Cantor también mostró que conjuntos con la cardenalidad estrictamente mayor que ${displaystyle {Mathfrak}}$ existen (ver su argumento diagonal generalizado y teorema). Incluyen, por ejemplo:

• el conjunto de todos los subconjuntos R, es decir, el conjunto de poder R, escrito P()R) o 2^R
• el conjunto R^R de todas las funciones R a R

Ambos tienen cardinalidad

${displaystyle 2^{Mathfrak {c}=beth ¿Qué?$

(ver Beth dos).

Las igualdades cardinales ${displaystyle {Mathfrak {c} {2}={mthfrak {c}}$ ${displaystyle {Mathfrak {c} {\cH00}} {\cH00}} {\\cH00}}}\\\\cH00}\\cH0}}}\\\cH0}\\cH0}}\\cH0}}}}}}}}}\\\displaystyle {displaystyle {displaystyle { ¿Qué?$ y ${displaystyle {Mathfrak {c} {c}=2} {\cHFF} {\cHFF}} {\fnK}}} {\f}}}}}\\\\fnK} {c}}$ puede ser demostrado usando aritmética cardenal:

${displaystyle {mathfrak} {2}=left(2^{aleph} ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?$

${displaystyle {Mathfrak {c} {\cH00}} {\\cH00}\\\cH00}}\\\cH3}\cH3}\cH0} ¿Por qué? ¿Qué? ####times {aleph ¿Qué? ¿Qué?$

${displaystyle {mathfrak {} {\c}=left(2^{aleph} {m}}=m} ¿Por qué? ¿Qué? {c}}$

Ejemplos y propiedades

• Si X =a, b, c} y Y = {apples, oranges, peaches}, donde a, b, y c son distintos, luego SilencioXSilencioYSilencio porquea, manzanas), (b, naranjas), (c, melocotones)} es una bijección entre los conjuntos X y Y. El cardenalismo de cada uno de X y Y 3.
• Si viviéramosXØ ≤ latitudYSilencio, entonces existe Z tales queXSilencioZSilencio Z ⊆ Y.
• Si viviéramosXØ ≤ latitudYSilencio y sufrimientoYØ ≤ latitudXSilencio, entonces SilencioXSilencioYSilencio. Esto es incluso para cardenales infinitos, y se conoce como Cantor – Bernardstein–Schroeder teorem.
• Los conjuntos con cardenalidad del continuum incluyen el conjunto de todos los números reales, el conjunto de todos los números irracionales y el intervalo ${displaystyle [0,1]}$.

Unión e intersección

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces

${displaystyle leftvert Acup Brightvert =leftvert Arightvert +leftvert Brightvert.$

A partir de esto, se puede demostrar que, en general, las cardinalidades de uniones e intersecciones están relacionadas por la siguiente ecuación:

${displaystyle leftvert Ccup Drightvert +leftvert Ccap Drightvert =leftvert Crightvert +leftvert Drightvert.$