Cardenal medible

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Concepto teórico de conjunto

En matemáticas, un cardinal medible es un cierto tipo de número cardinal grande. Para definir el concepto, se introduce una medida de dos valores en un cardinal $κ$ , o más generalmente en cualquier conjunto. Para un cardinal $κ$ , se puede describir como una subdivisión de todos sus subconjuntos en conjuntos grandes y pequeños, de modo que $κ$ en sí mismo es grande, $\emptyset$ y todos los singletons ${α}, α \in κ$ son pequeños, los complementos de conjuntos pequeños son grandes y viceversa. La intersección de menos de $κ$ conjuntos grandes vuelve a ser grande.

Resulta que los cardenales incontables dotados de una medida de dos valores son cardenales grandes cuya existencia no puede probarse a partir de ZFC.

El concepto de cardenal medible fue introducido por Stanislaw Ulam en 1930.

Definición

Formalmente, un cardinal medible es un número cardinal incontable κ tal que existe una medida κ-aditiva, no trivial, de valor 0-1 en el conjunto de potencias de κ. (Aquí el término κ-aditivo significa que, para cualquier secuencia A_α, α<λ de cardinalidad λ < κ, siendo A_α conjuntos separados por pares de ordinales menores que κ, la medida de la unión de las A_α es igual a la suma de las medidas de las A_α.)

Equivalentemente, κ es medible significa que es el punto crítico de una incrustación elemental no trivial del universo V en una clase transitiva M. Esta equivalencia se debe a Jerome Keisler y Dana Scott, y utiliza la construcción de ultrapotencia de la teoría de modelos. Dado que V es una clase adecuada, es necesario abordar un problema técnico que no suele estar presente cuando se consideran los ultrapoderes, mediante lo que ahora se conoce como el truco de Scott.

Equivalentemente, κ es un cardenal medible si y solo si es un cardenal incontable con un $κ-completo, no principal. Nuevamente, esto significa que la intersección de cualquier conjunto estrictamente menor que κ -muchos en el ultrafiltro, también está en el ultrafiltro.$

Propiedades

Aunque de ZFC se deduce que todo cardenal medible es inaccesible (y es inefable, Ramsey, etc.), es coherente con ZF que un cardenal medible puede ser un cardenal sucesor. Del axioma de determinación ZF + se sigue que ω₁ es medible, y que cada subconjunto de ω₁ contiene o es disjunto de un subconjunto cerrado e ilimitado.

Ulam demostró que el cardinal κ más pequeño que admite una medida de dos valores contablemente aditiva no trivial debe admitir de hecho una medida κ-aditiva. (Si hubiera una colección de menos de κ subconjuntos de medida-0 cuya unión fuera κ, entonces la medida inducida en esta colección sería un contraejemplo de la minimalidad de κ). A partir de ahí, se puede probar (con el axioma de elección) que el menor de esos cardenales debe ser inaccesible.

Es trivial notar que si κ admite una medida κ-aditiva no trivial, entonces κ debe ser regular. (Por no trivialidad y κ-aditividad, cualquier subconjunto de cardinalidad menor que κ debe tener medida 0, y luego por κ-aditividad nuevamente, esto significa que el conjunto completo no debe ser una unión de menos de κ conjuntos de cardinalidad menor que κ.) Finalmente, si λ < κ, entonces no puede ser que κ ≤ 2^λ. Si este fuera el caso, entonces podríamos identificar κ con alguna colección de secuencias 0-1 de longitud λ. Para cada posición en la secuencia, el subconjunto de secuencias con 1 en esa posición o el subconjunto con 0 en esa posición tendrían que tener la medida 1. La intersección de estos λ-muchos subconjuntos de medida 1 sería así también tendría que tener la medida 1, pero contendría exactamente una secuencia, lo que contradiría la no trivialidad de la medida. Así, asumiendo el Axioma de Elección, podemos inferir que κ es un cardinal límite fuerte, lo que completa la prueba de su inaccesibilidad.

Si κ es medible y p∈V_κ y M (la ultrapotencia de V) satisface ψ(κ,p), entonces el conjunto de α < κ tal que V satisface ψ(α,p) es estacionario en κ (en realidad un conjunto de medida 1). En particular, si ψ es una fórmula Π₁ y V satisface ψ(κ,p), entonces M lo satisface y por tanto V satisface ψ(α,p) para un conjunto estacionario de α < κ. Esta propiedad se puede usar para mostrar que κ es un límite de la mayoría de los tipos de cardenales grandes que son más débiles que los medibles. Tenga en cuenta que el ultrafiltro o medida que atestigua que κ es medible no puede estar en M ya que el cardinal medible más pequeño tendría que tener otro cardinal debajo, lo cual es imposible.

Si uno comienza con una incrustación elemental j₁ de V en M₁ con punto crítico κ, entonces se puede definir un ultrafiltro U en κ como { S⊆κ: κ∈j₁(S) }. Entonces tomando una ultrapotencia de V sobre U podemos obtener otra incrustación elemental j₂ de V en M₂. Sin embargo, es importante recordar que j₂ ≠ j₁. Por lo tanto, también se pueden medir otros tipos de cardenales grandes, como los cardenales fuertes, pero sin usar la misma incrustación. Se puede demostrar que un cardenal fuerte κ es medible y también tiene κ-muchos cardinales medibles debajo de él.

Todo cardenal medible κ es un cardinal 0-enorme porque ^κM⊆M, es decir, cada función de κ a M está en M. En consecuencia, V_κ+1⊆M.

Implicaciones de la existencia

Si existe un cardenal mensurable, ${displaystyle {boldsymbol {Sigma }}_{2}^{1}}$ (con respecto a la jerarquía Borel) conjunto de reales tiene una medida Lebesgue. En particular, cualquier conjunto de bienes no mensurables no debe ser ${displaystyle {boldsymbol {Sigma }}_{2}^{1}}$ .

Valor real medible

Un cardenal κ se llama valor real measurable si hay una medida de probabilidad κ-additiva en el conjunto de potencia de κ que desaparece en singletons. Los cardenales medibles de valor real fueron introducidos por Stefan Banach (1930). Banach " Kuratowski (1929) mostró que la hipótesis continua implica que ${mathfrak c}$ no es medible de valor real. Stanislaw Ulam (1930) mostró (ver abajo para partes de la prueba de Ulam) que cardenales medibles de valor real son débilmente inaccesibles (de hecho son débilmente Mahlo). Todos los cardenales mensurables son medibles de valor real, y un cardenal medible de valor real κ es medible si y sólo si κ es mayor que ${mathfrak c}$ . Así un cardenal es mensurable si y sólo si es medible y fuertemente inaccesible. Un cardenal medible de valor real inferior o igual a ${mathfrak c}$ existe si y sólo si hay una extensión aditiva contable de la medida Lebesgue a todos los conjuntos de números reales si y sólo si hay una medida de probabilidad sin átomos en el conjunto de poder de algún conjunto no vacío.

Solovay (1971) demostró que la existencia de cardinales medibles en ZFC, cardinales medibles de valor real en ZFC y cardinales medibles en ZF son equiconsistentes.

Inaccesibilidad débil de cardenales medibles de valor real

Digamos que un número cardinal $α$ es un número Ulam si

cuando sea

μ

es una medida externa en un conjunto

X

()1)

<math alttext="{displaystyle mu (X)μ μ ()X).JUEGO JUEGO ,{displaystyle mu (X) se llevó a cabo <img alt="{displaystyle mu (X)

()2)

{displaystyle mu ({x})=0,xin X,}

()3)

Todos

Asubset X

son μ-measurable,

()4)

entonces

{displaystyle operatorname {card} Xleq alpha Rightarrow mu (X)=0.}

De manera equivalente, un número cardinal $α$ es un número Ulam si

cuando sea

$.$ es una medida externa en un conjunto $Y$ , y $F$ a disjoint family of subsets of $Y$ ,
$<math alttext="{displaystyle nu left(bigcup Fright).. ()⋃ ⋃ F).JUEGO JUEGO ,{displaystyle nu left(bigcup Fright) <img alt="{displaystyle nu left(bigcup Fright)$
${displaystyle nu (A)=0}$ para ${displaystyle Ain F,}$
$bigcup G$ es $.$ - mensurable para todos ${displaystyle Gsubset F}$

entonces

{displaystyle operatorname {card} Fleq alpha Rightarrow nu left(bigcup Fright)=0.}

El cardenal infinito más pequeño $aleph _{0}$ es un número de Ulam. La clase de números Ulam está cerrada bajo la operación cardenal sucesor. Si un cardenal infinito $β$ tiene un antecesor inmediato $α$ que es un número de Ulam, asumir $μ$ propiedades satisfechas (1)4Con ${displaystyle X=beta }$ . En el modelo von Neumann de ordinals y cardenales, elija funciones inyectables

{displaystyle f_{x}:xrightarrow alphaquad forall xin beta}

y definir los conjuntos

{displaystyle U(b,a)={xin beta:f_{x}(b)=a},quad ain alphabin beta.}

Desde $f_{x}$ son uno a uno, los juegos

{displaystyle left{U(b,a),bin beta right}{text{(}}a{text{ fixed)}},}

{displaystyle left{U(b,a),ain alpha right}{text{(}}b{text{ fixed)}}}

son disjuntos. Por propiedad (2) de $μ$ , el conjunto

0right}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}b▪ ▪ β β :μ μ ()U()b,a))■0}{displaystyle left{bin beta:mu (U(b,a)]0right}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab5ffdc2cec6c39befaea72d15ea8d70234efe3" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.757ex; height:2.843ex;"/>

es contable, y por lo tanto

0right}leq aleph _{0}cdot alpha =alpha.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">tarjeta⁡ ⁡ {}()b,a)▪ ▪ β β × × α α Silencioμ μ ()U()b,a))■0}≤ ≤ א א 0⋅ ⋅ α α =α α .{displaystyle operatorname {card} left{(b,a)in beta times alpha tenciónmu (U(b,a))] Confío0right}leq aleph _{0}cdot alpha =alpha.}0right}leq aleph _{0}cdot alpha =alpha.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d7aaa22a4b61b57656e4c66bbfaaad893b8e3d" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.24ex; height:2.843ex;"/>

Así hay un $b_{0}$ tales que

{displaystyle mu (U(b_{0},a))=0quad forall ain alpha }

implicando, desde $α$ es un número Ulam y utiliza la segunda definición (con ${displaystyle nu =mu }$ y condiciones (1)4) cumplida),

{displaystyle mu left(bigcup _{ain alpha }U(b_{0},a)right)=0.}

Si $<math alttext="{displaystyle b_{0}<xb0.x.β β ,{displaystyle b_{0}Seguido<img alt="{displaystyle b_{0}<x$ entonces ${displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}Rightarrow xin U(b_{0},a_{x}).}$ Así

{displaystyle beta =b_{0}cup {b_{0}}cup bigcup _{ain alpha }U(b_{0},a),}

Por propiedad2), ${displaystyle mu {b_{0}}=0,}$ y desde ${displaystyle operatorname {card} b_{0}leq alpha }$ , por (4), (2) y (3), ${displaystyle mu (b_{0})=0.}$ De ello se desprende que ${displaystyle mu (beta)=0.}$ La conclusión es que $β$ es un número de Ulam.

Hay una prueba similar de que el supremum de un conjunto $S$ de números Ulam con ${displaystyle operatorname {card} S}$ un número de Ulam es otra vez un número de Ulam. Junto con el resultado anterior, esto implica que un cardenal que no es un número Ulam es débilmente inaccesible.

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