Cardenal mahló

En matemáticas, un cardenal de Mahlo es un cierto tipo de número cardinal grande. Los cardenales Mahlo fueron descritos por primera vez por Paul Mahlo (1911, 1912, 1913). Al igual que con todos los cardenales grandes, ZFC no puede demostrar que exista ninguna de estas variedades de cardenales Mahlo (suponiendo que ZFC sea consistente).

Un número cardenal κ κ {displaystyle kappa } se llama con fuerza Mahlo si κ κ {displaystyle kappa } es fuertemente inaccesible y el conjunto <math alttext="{displaystyle U={lambda U={}λ λ .κ κ ▪ ▪ λ λ es fuertemente inaccesible}{displaystyle U={lambda <kappa mid lambda {text{ is strongly inaccessible}}}<img alt="{displaystyle U={lambda es estacionario en κ.

Un cardenal κ κ {displaystyle kappa } se llama débilmente Mahlo si κ κ {displaystyle kappa } es débilmente inaccesible y el conjunto de cardenales débilmente inaccesibles menos que κ κ {displaystyle kappa } es estacionario en κ κ {displaystyle kappa }.

El término "Mahlo cardenal" ahora generalmente significa "cardenal fuertemente Mahlo", aunque los cardenales originalmente considerados por Mahlo eran cardenales débilmente Mahlo.

Condición mínima suficiente para un cardenal Mahlo

• Si κ es un límite ordinal y el conjunto de ordinal regulares menos que κ es estacionario en κ, entonces κ es débilmente Mahlo.

La principal dificultad para probar esto es demostrar que κ es regular. Supondremos que no es regular y construiremos un club set que nos dé un μ tal que:

μ = cf(μ) < cf(κ) < μ = κ que es una contradicción.

Si κ no fuera regular, entonces cf(κ) < k. Podríamos elegir una sucesión cf(κ) estrictamente creciente y continua que comienza con cf(κ)+1 y tiene κ como límite. Los límites de esa sucesión serían club en κ. Entonces debe haber un μ regular entre esos límites. Entonces μ es un límite de una subsecuencia inicial de la secuencia cf(κ). Así su cofinalidad es menor que la cofinalidad de κ y mayor que ella al mismo tiempo; lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la suposición de que κ no es regular debe ser falsa, es decir, κ es regular.

No existe un conjunto estacionario abajo א א 0{displaystyle aleph _{0} con la propiedad requerida porque {2,3,4,...} es club en ω pero no contiene ordinals regulares; por lo tanto κ es incontable. Y es un límite regular de cardenales regulares, por lo que es débilmente inaccesible. Luego se utiliza el conjunto de cardenales límite incontables debajo de κ como un club establecido para demostrar que el conjunto estacionario se puede suponer que consiste en inaccesibles débiles.

• Si κ es débilmente Mahlo y también un límite fuerte, entonces κ es Mahlo.

κ es débilmente inaccesible y un límite fuerte, por lo que es fuertemente inaccesible.

Demostramos que el conjunto de cardinales de límite fuerte incontables por debajo de κ es trébol en κ. Sea μ₀ el mayor del umbral y ω₁. Para cada n finito, sea μ_n+1 = 2^μ_n que es menor que κ porque es un cardinal límite fuerte. Entonces su límite es un límite cardinal fuerte y es menor que κ por su regularidad. Los límites de los cardinales de límite fuerte incontables también son cardinales de límite fuerte incontables. Entonces el conjunto de ellos es trébol en κ. Interseque ese conjunto de tréboles con el conjunto estacionario de cardinales débilmente inaccesibles menores que κ para obtener un conjunto estacionario de cardinales fuertemente inaccesibles menores que κ.

Ejemplo: mostrar que los cardenales κ de Mahlo son κ-inaccesibles (hiper-inaccesibles)

El término "hiper-inaccesible" es ambiguo. En esta sección, un κ cardinal se denomina hiperinaccesible si es κ-inaccesible (a diferencia del significado más común de 1-inaccesible).

Supongamos que κ es Mahlo. Procedemos por inducción transfinita en α para mostrar que κ es α-inaccesible para cualquier α ≤ κ. Dado que κ es Mahlo, κ es inaccesible; y por tanto 0-inaccesible, que es lo mismo.

Si κ es α-inaccesible, entonces hay β-inaccesibles (para β < α) arbitrariamente cerca de κ. Considere el conjunto de límites simultáneos de tales β-inaccesibles mayores que algún umbral pero menores que κ. No está acotado en κ (imagine girar a través de β-inaccesibles para β < α ω-veces eligiendo un cardinal más grande cada vez, luego tome el límite que es menor que κ por regularidad (esto es lo que falla si α ≥ κ)). Está cerrado, por lo que es un club en κ. Entonces, por la Mahlo-ness de κ, contiene algo inaccesible. Ese inaccesible es en realidad un α-inaccesible. Entonces κ es α+1-inaccesible.

Si λ ≤ κ es un ordinal límite y κ es α-inaccesible para todo α < λ, entonces cada β < λ también es menor que α para algunos α < λ. Así que este caso es trivial. En particular, κ es κ-inaccesible y, por lo tanto, híper-inaccesible.

Para mostrar que κ es un límite de hiperinaccesibles y, por lo tanto, 1 hiperinaccesible, debemos demostrar que el conjunto diagonal de cardinales μ < κ que son α-inaccesibles para cada α < μ es trébol en κ. Elija un 0-inaccesible por encima del umbral, llámelo α₀. Luego elige un α₀-inaccesible, llámalo α₁. Sigue repitiendo esto y tomando límites en límites hasta llegar a un punto fijo, llámalo μ. Entonces μ tiene la propiedad requerida (siendo un límite simultáneo de α-inaccesibles para todos los α < μ) y es menor que κ por regularidad. Los límites de dichos cardenales también tienen la propiedad, por lo que el conjunto de ellos es trébol en κ. Por Mahlo-ness de κ, hay un inaccesible en este conjunto y es hiperinaccesible. Entonces κ es 1-hiper-inaccesible. Podemos cruzar este mismo conjunto club con el conjunto estacionario menor que κ para obtener un conjunto estacionario de hiper-inaccesibles menores que κ.

El resto de la prueba de que κ es α-hiper-inaccesible imita la prueba de que es α-inaccesible. Entonces κ es hiper-hiper-inaccesible, etc.

Α-Mahlo, hiper-Mahlo y cardenales en gran medida Mahlo

El término α-Mahlo es ambiguo y diferentes autores dan definiciones no equivalentes. Una definición es que un cardenal κ se llama α-Mahlo para algún ordinal α si κ es fuertemente inaccesible y para todo ordinal β<α, el conjunto de β-Mahlo cardinales por debajo de κ es estacionario en κ. Sin embargo, la condición "κ es fuertemente inaccesible" a veces se reemplaza por otras condiciones, como "κ es regular" o "κ es débilmente inaccesible" o "κ es Mahlo". Podemos definir "hiper-Mahlo", "α-hiper-Mahlo", "hiper-hiper-Mahlo", "débilmente α-Mahlo";, "débilmente hiper-Mahlo", "débilmente α-hiper-Mahlo", y así sucesivamente, por analogía con las definiciones de inaccesibles, así por ejemplo un cardinal κ se llama hiper- Mahlo si es κ-Mahlo.

Un cardenal κ es mucho Mahlo o κ⁺-Mahlo si y sólo si es inaccesible y hay un filtro normal (es decir, notrivial y cerrado bajo intersección diagonal) κ-complete en el conjunto de potencia de κ que se cierra bajo la operación Mahlo, que mapea el conjunto de ordinals S a {α▪ ▪ {displaystyle in }S: α tiene cofinalidad incontable y S∩α es estacionario en α}

Las propiedades de ser inaccesible, Mahlo, débilmente Mahlo, α-Mahlo, grandemente Mahlo, etc. se conservan si reemplazamos el universo por un modelo interno.

Cada cardenal reflectante tiene estrictamente más fuerza de consistencia que un gran Mahlo, pero los cardenales reflectantes inaccesibles no son en general Mahlo -- consulta https://mathoverflow.net/q/212597

La operación Mahlo

Si X es una clase de ordinales, entonces podemos formar una nueva clase de ordinales M(X) que consta de los ordinales α de cofinalidad incontable tal que α∩X es estacionario en α. Esta operación M se denomina operación Mahlo. Se puede usar para definir cardenales de Mahlo: por ejemplo, si X es la clase de cardenales regulares, entonces M(X) es la clase de cardenales débilmente Mahlo. La condición de que α tiene una cofinalidad incontable asegura que los subconjuntos cerrados ilimitados de α estén cerrados bajo la intersección y así formen un filtro; en la práctica, los elementos de X a menudo ya tienen una cofinalidad incontable en cuyo caso esta condición es redundante. Algunos autores añaden la condición de que α esté en X, lo que en la práctica suele hacer poca diferencia ya que a menudo se cumple automáticamente.

Para un cardinal incontable regular fijo κ, la operación de Mahlo induce una operación en el álgebra booleana de todos los subconjuntos de κ módulo el ideal no estacionario.

La operación de Mahlo se puede iterar de forma transfinita de la siguiente manera:

• M⁰()X) X
• M^α+1()X) M()M^α()X)
• Si α es un ordinal límite entonces M^α()X) es la intersección de M^β()X) para β

Estas operaciones iteradas de Mahlo producen las clases de cardenales α-Mahlo comenzando con la clase de cardenales fuertemente inaccesibles.

También es posible diagonalizar este proceso definiendo

• M^Δ()X) es el conjunto de ordinals α que están en M^β()X) para β significación alfa.

Y, por supuesto, este proceso de diagonalización también se puede repetir. La operación de Mahlo en diagonal produce los cardenales hiper-Mahlo, y así sucesivamente.

Cardenales de Mahlo y principios de reflexión

El axioma F es la afirmación de que toda función normal en los ordinales tiene un punto fijo regular. (Este no es un axioma de primer orden ya que cuantifica todas las funciones normales, por lo que puede considerarse como un axioma de segundo orden o como un esquema de axioma). Un cardinal se llama Mahlo si cada función normal en él tiene un punto fijo regular, por lo que el axioma F en cierto sentido dice que la clase de todos los ordinales es Mahlo. Un cardinal κ es Mahlo si y solo si una forma de segundo orden del axioma F se cumple en V_κ. El axioma F es a su vez equivalente a la afirmación de que para cualquier fórmula φ con parámetros existen ordinales α inaccesibles arbitrariamente grandes tales que V_α refleja φ (en otras palabras, φ se cumple en V_α si y solo si se cumple en todo el universo) (Drake 1974, capítulo 4).

Apariencia en diagonalización de Borel

Harvey Friedman (1981) ha demostrado que la existencia de cardinales de Mahlo es una suposición necesaria en cierto sentido para probar ciertos teoremas sobre funciones de Borel en productos del intervalo unitario cerrado.

Vamos Q{displaystyle Q} Ser [0,1]⋅ ⋅ {displaystyle [0,1], el ⋅ ⋅ {displaystyle omega }- producto cartesiano iterado del intervalo de unidad cerrada con sí mismo. El grupo ()H,⋅ ⋅ ){displaystyle (H,cdot)} de todas las permutaciones N{displaystyle mathbb {N} que mueven sólo finitamente muchos números naturales pueden ser vistos como Q{displaystyle Q} permutando coordenadas. The group action ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } también actúa diagonalmente en cualquiera de los productos Qn{displaystyle Q^{n}, definiendo un abuso de notación g⋅ ⋅ ()x1,...... ,xn)=()g⋅ ⋅ x1,...... ,g⋅ ⋅ xn){displaystyle gcdot (x_{1},ldotsx_{n}=(gcdot x_{1},ldotsgcdot x_{n})}. Para x,Sí.▪ ▪ Qn{displaystyle x,yin Q^{n}, vamos x♪ ♪ Sí.{displaystyle xsim y} si x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} están en la misma órbita bajo esta acción diagonal.

Vamos F:Q× × Qn→ → [0,1]{displaystyle F:Qtimes Q^{n}to [0,1]} ser una función Borel tal que para cualquier x▪ ▪ Qn{displaystyle xin Q^{n} y Sí.,z▪ ▪ Q{displaystyle y,zin Q}, si Sí.♪ ♪ z{displaystyle ysim z} entonces F()x,Sí.)=F()x,z){displaystyle F(x,y)=F(x,z)}. Entonces hay una secuencia ()xk)0≤ ≤ k≤ ≤ m{displaystyle (x_{k})_{0leq kleq m} tal que para todas las secuencias de índices <math alttext="{displaystyle s<t_{1}<ldots s.t1....... .tn≤ ≤ m{displaystyle s wont_{1} {ldots}<img alt="{displaystyle s<t_{1}<ldots , F()xs,()xt1,...... ,xtn)){displaystyle F(x_{s},(x_{t_{1},ldotsx_{t_{n})}} es la primera coordinación de xs+1{displaystyle x_{s+1}}. Este teorema es provable en <math alttext="{displaystyle ZFC+forall (nZFC+О О ()n.⋅ ⋅ )∃ ∃ κ κ ()κ κ esn-Mahlo){displaystyle ZFC+forall (n·omega)exists kappa (kappa ;{textrm {is};n{textrm {-Mahlo}}}<img alt="{displaystyle ZFC+forall (n, pero no en ninguna teoría ZFC+∃ ∃ κ κ ()κ κ esn-Mahlo){displaystyle ZFC+exists kappa (kappa ;{textrm {is};n{textrm {-Mahlo}}} para algunos fijos <math alttext="{displaystyle nn.⋅ ⋅ {displaystyle n madeomega }<img alt="n.