Cardenal débilmente compacto

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En matemáticas, un cardinal débilmente compacto es un cierto tipo de número cardinal introducido por Erdős & Tarski (1961); los cardenales débilmente compactos son cardenales grandes, lo que significa que su existencia no puede probarse a partir de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. (Tarski originalmente los llamó cardenales 'no fuertemente incompactos').

Formalmente, un cardinal κ se define como débilmente compacto si es incontable y para cada función f: [κ] ² → {0, 1} hay un conjunto de cardinalidad κ homogéneo para f. En este contexto, [κ] ² significa el conjunto de subconjuntos de 2 elementos de κ, y un subconjunto S de κ es homogéneo para f si y solo si todo [S]² se asigna a 0 o todo se asigna a 1.

Did you mean:

The name "weakly compact#34; refers to the fact that if a cardinal is weakly compact then a certain related infinitary language satisfies a version of the compactness theorem; see below.

Formulaciones equivalentes

Los siguientes son equivalentes para cualquier cardinal incontable κ:

κ es débilmente compacto.
para cada λ observadoκ, número natural n ≥ 2, y función f: [κ]ⁿ → λ, hay un conjunto de cardenalidad κ que es homogéneo para f. (Drake 1974, capítulo 7 teorema 3.5)
κ is inaccessible and has the tree property, that is, every tree of height κ has either a level of size κ or a branch of size κ.
Cada orden lineal de la cardenalidad κ tiene una secuencia ascendente o descendente del tipo de orden κ.
κ is $Pi _{1}^{1}$ - indescriptible.
κ tiene la propiedad de extensión. En otras palabras, para todos U ⊂ V_κ existe un conjunto transitivo X con κ X, y un subconjunto S ⊂ X, tal que (V_κ,, U) es una subestructura elemental de (X,, S). Aquí, U y S son considerados como predicados no molestos.
Para cada conjunto S of Cardinality κ of subsets of κ, hay un filtro no trivial κ-complete que decide S.
κ es κ-unfoldable.
κ es inaccesible y el lenguaje infinito L_κ,κ satisfice el teorema débil de compactidad.
κ es inaccesible y el lenguaje infinito L_κ,ω satisfice el teorema débil de compactidad.
κ is inaccessible and for every transitive set $M$ cardenalidad κ with κ ${displaystyle in M}$ , $<math alttext="{displaystyle {}^{.κ κ M⊂ ⊂ M{displaystyle {} {ccccH003}Msubset M.<img alt="{displaystyle {}^{$ , y satisfacer un fragmento suficientemente grande de ZFC, hay una incrustación elemental $j$ desde $M$ a un conjunto transitivo $N$ de la cardenalidad κ tal que $<math alttext="{displaystyle ^{.κ κ N⊂ ⊂ N{displaystyle }Nsubset N.<img alt="{displaystyle ^{$ , con punto crítico ${displaystyle crit(j)=}$ κ. (Hauser 1991, Theorem 1.3)

Se dice que un lenguaje L_κ,κ satisface el teorema de compacidad débil si siempre que Σ es un conjunto de oraciones de cardinalidad como máximo κ y cada subconjunto con menos de κ elementos tiene un modelo, entonces Σ tiene un modelo. Los cardenales fuertemente compactos se definen de manera similar sin la restricción de la cardinalidad del conjunto de oraciones.

Propiedades

Todo cardenal débilmente compacto es un cardenal reflector, y también es un límite de cardenales reflectores. Esto significa también que los cardenales débilmente compactos son cardenales de Mahlo, y el conjunto de cardenales de Mahlo menor que un cardenal débilmente compacto dado es estacionario.

Si $kappa$ es débilmente compacto, entonces hay cadenas de extensiones primarias bien fundadas de extremo ${displaystyle (V_{kappa },in)}$ de longitud arbitraria $<math alttext="{displaystyle .κ κ +{displaystyle } <img alt="{displaystyle$ .^p.6

Los cardenales débilmente compactos permanecen débilmente compactos en $L$ . Asumiendo V = L, un cardenal es débilmente compacto si es 2-estacionario.

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