Característica de Euler

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Invariante topológico en matemáticas

En matemáticas, y más específicamente en topología algebraica y combinatoria poliedral, la Función de Euler (o Número de Euler, o Función Euler-Poincaré) es un invariante topológico, un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico independientemente de la forma en que se dobla. Es comúnmente denotado por $chi$ (Carta baja griega chi).

La característica de Euler se definió originalmente para los poliedros y se usó para probar varios teoremas sobre ellos, incluida la clasificación de los sólidos platónicos. Se estableció para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico. Leonhard Euler, por quien se nombra el concepto, lo introdujo para poliedros convexos de manera más general, pero no pudo probar rigurosamente que sea un invariante. En las matemáticas modernas, la característica de Euler surge de la homología y, de manera más abstracta, del álgebra homológica.

Poliedros

Vertex, borde y cara de un cubo

El Función de Euler $chi$ se definió clásicamente para las superficies de polihedra, según la fórmula

{displaystyle chi =V-E+F}

donde V, E y F son respectivamente los números de vértices (esquinas), aristas y caras en el poliedro dado. La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler

{displaystyle V-E+F=2.}

Esta ecuación, formulada por Leonhard Euler en 1758, se conoce como fórmula del poliedro de Euler. Corresponde a la característica de Euler de la esfera (es decir, χ = 2) y se aplica de manera idéntica a los poliedros esféricos. A continuación se muestra una ilustración de la fórmula en todos los poliedros platónicos.

Nombre	Vertices V	Edges E	Caras F	Características de Euler: V − E + F
Tetraedro	4	6	4	2
Hexahedron o cube	8	12	6	2
Octahedron	6	12	8	2
Dodecahedron	20	30	12	2
Icosahedron	12	30	20	2

Las superficies de poliedros no convexos pueden tener varias características de Euler:

Nombre	Vertices V	Edges E	Caras F	Características de Euler: V − E + F
Tetrahemihexahedron	6	12	7	1
Octahemioctaedron	12	24	12	0
Cubohemioctaedron	12	24	10	−2
Pequeño dodecaedro estelar	12	30	12	−6
Gran dodecaedro estelar	20	30	12	2

Para polihedra regular, Arthur Cayley obtuvo una forma modificada de la fórmula de Euler usando la densidad D, densidad de la figura del vértice d_v, y densidad de la cara $d_{f}$ :

d_{v}V-E+d_{f}F=2D.

Esta versión es válida tanto para poliedros convexos (donde las densidades son todas 1) como para los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot.

Todos los poliedros proyectivos tienen la característica de Euler 1, como el plano proyectivo real, mientras que las superficies de los poliedros toroidales tienen todas la característica de Euler 0, como el toro.

Gráficos planos

La característica Euler se puede definir para gráficos de plano conectados por la misma $V-E+F$ fórmula en cuanto a superficies poliedral, donde F es el número de caras en el gráfico, incluyendo la cara exterior.

La característica de Euler de cualquier plano conectado gráfico G es 2. Esto se demuestra fácilmente por la inducción en el número de caras determinadas por G, comenzando con un árbol como el caso base. Para los árboles, ${displaystyle E=V-1}$ y ${displaystyle F=1}$ . Si G tiene componentes C (grafos desconectados), el mismo argumento por inducción en F muestra que $V-E+F-C=1$ . Uno de los pocos papeles de teoría gráfica de Cauchy también demuestra este resultado.

A través de la proyección estereográfica, el plano se asigna a la esfera 2, de modo que un gráfico conectado se asigna a una descomposición poligonal de la esfera, que tiene la característica 2 de Euler. Este punto de vista está implícito en la prueba de Euler de Cauchy.;s fórmula dada a continuación.

Prueba de la fórmula de Euler

Primeros pasos de la prueba en el caso de un cubo

Hay muchas pruebas de la fórmula de Euler. Uno fue dado por Cauchy en 1811, como sigue. Se aplica a cualquier poliedro convexo y, más generalmente, a cualquier poliedro cuyo límite sea topológicamente equivalente a una esfera y cuyas caras sean topológicamente equivalentes a discos.

Elimina una cara de la superficie poliédrica. Separando entre sí las aristas de la cara que falta, se deforma todo el resto en una gráfica plana de puntos y curvas, de tal forma que el perímetro de la cara que falta se coloca en el exterior, rodeando la gráfica obtenida, como ilustra la primera de las tres gráficas para el caso especial del cubo. (La suposición de que la superficie poliédrica es homeomorfa a la esfera al principio es lo que hace que esto sea posible). Después de esta deformación, las caras regulares generalmente ya no son regulares. El número de vértices y aristas sigue siendo el mismo, pero el número de caras se ha reducido en 1. Por lo tanto, probar la fórmula de Euler para el poliedro se reduce a probar V − E + F = 1 para este objeto plano deformado.

Si hay una cara con más de tres lados, dibuja una diagonal, es decir, una curva a través de la cara que conecta dos vértices que aún no están conectados. Cada nueva diagonal agrega una arista y una cara y no cambia el número de vértices, por lo que no cambia la cantidad V − E + F. (La suposición de que todas las caras son discos es necesaria aquí, para mostrar mediante el teorema de la curva de Jordan que esta operación aumenta el número de caras en uno). Continúe agregando aristas de esta manera hasta que todas las caras sean triangulares.

Aplique repetidamente cualquiera de las siguientes dos transformaciones, manteniendo la invariante de que el límite exterior es siempre un ciclo simple:

Quitar un triángulo con sólo un borde adyacente al exterior, como lo ilustra el segundo gráfico. Esto disminuye el número de bordes y caras por uno cada uno y no cambia el número de vértices, por lo que preserva V−E+F.
Eliminar un triángulo con dos bordes compartidos por el exterior de la red, como lo ilustra el tercer gráfico. Cada eliminación del triángulo elimina un vértice, dos bordes y una cara, por lo que preserva V − E + F.

Estas transformaciones finalmente reducen el gráfico plano a un solo triángulo. (Sin el invariante de ciclo simple, eliminar un triángulo podría desconectar los triángulos restantes, invalidando el resto del argumento. Una orden de eliminación válida es un ejemplo elemental de un bombardeo).

En este punto, el triángulo solitario tiene V = 3, E = 3 y F = 1, de modo que V − E + F = 1. Dado que cada uno de los dos pasos de transformación anteriores conservó esta cantidad, hemos mostrado V − E + F = 1 para el objeto plano deformado, demostrando así V − E + F = 2 para el poliedro. Esto prueba el teorema.

Para ver pruebas adicionales, consulte Twenty-one Proofs of Euler's Formula de David Eppstein. Pruebas múltiples, incluidos sus defectos y limitaciones, se utilizan como ejemplos en Pruebas y refutaciones de Imre Lakatos.

Definición topológica

Las superficies poliédricas discutidas anteriormente son, en lenguaje moderno, complejos CW finitos bidimensionales. (Cuando solo se usan caras triangulares, son complejos simpliciales finitos bidimensionales). En general, para cualquier complejo CW finito, la característica de Euler se puede definir como la suma alterna

{displaystyle chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+cdots}

donde k_n denota el número de celdas de dimensión n en el complejo.

Del mismo modo, para un complejo simplicial, la característica de Euler es igual a la suma alterna

{displaystyle chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+cdots}

donde k_n denota el número de n-simples en el complejo.

Número Betti alternativo

Más generalmente aún, para cualquier espacio topológico, podemos definir el nésimo número de Betti b_n como el rango del n-ésimo grupo de homología singular. La característica de Euler se puede definir como la suma alterna

{displaystyle chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+cdots.}

Esta cantidad está bien definida si los números Betti son todos finitos y si son cero más allá de un determinado índicen₀. Para los complejos simpliciales, esta no es la misma definición que en el párrafo anterior, pero un cálculo de homología muestra que las dos definiciones darán el mismo valor para $chi$ .

Propiedades

La característica de Euler se comporta bien con respecto a muchas operaciones básicas en espacios topológicos, de la siguiente manera.

Invariancia de homotopía

La homología es una invariante topológica y, además, una invariante de homotopía: dos espacios topológicos que son homotópicos equivalentes tienen grupos de homología isomórficos. De ello se deduce que la característica de Euler es también un invariante de homotopía.

Por ejemplo, cualquier espacio contractual (es decir, un homotopy equivalente a un punto) tiene una homología trivial, lo que significa que el número 0 de Betti es 1 y los otros Por lo tanto, su característica de Euler es 1. Este caso incluye espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ de cualquier dimensión, así como la bola de unidad sólida en cualquier espacio euclidiano —el intervalo unidimensional, el disco bidimensional, la bola tridimensional, etc.

Para otro ejemplo, cualquier poliedro convexo es homeomorfo a la bola tridimensional, por lo que su superficie es homeomorfa (por lo tanto, equivalente a la homotopía) a la esfera bidimensional, que tiene la característica de Euler 2. Esto explica por qué los poliedros convexos tienen la característica de Euler. 2.

Principio de inclusión-exclusión

Si M y N son dos espacios topológicos cualesquiera, entonces la característica de Euler de su unión disjunta es la suma de sus características de Euler, ya que la homología es aditiva bajo unión disjunta:

chi (Msqcup N)=chi (M)+chi (N).

Más generalmente, si M y N son subespacios de un espacio mayor X, entonces también lo son su unión e intersección. En algunos casos, la característica de Euler obedece a una versión del principio de inclusión-exclusión:

chi (Mcup N)=chi (M)+chi (N)-chi (Mcap N).

Esto es cierto en los siguientes casos:

si M y N son una pareja excisiva. En particular, si los interiores de M y N dentro del sindicato todavía cubren el sindicato.
si X es un espacio localmente compacto, y uno utiliza Características de Euler con soportes compactos, sin hipótesis sobre M o N son necesarios.
si X es un espacio estratificado todos cuyos estratos son incluso dimensionales, el principio de inclusión-exclusión sostiene si M y N son sindicatos de estratos. Esto se aplica en particular si M y N son subvarieties de una variedad algebraica compleja.

En general, el principio de inclusión-exclusión es falso. Se da un contraejemplo tomando X como la línea real, M un subconjunto que consta de un punto y N el complemento de M .

Suma conectada

Para dos conexiones cerradas n-manifolds $M,N$ uno puede obtener un nuevo múltiple conectado ${displaystyle M#N}$ a través de la operación de suma conectada. La característica de Euler está relacionada con la fórmula

{displaystyle chi (M#N)=chi (M)+chi (N)-chi (S^{n}).}

Propiedad del producto

Además, la característica de Euler de cualquier espacio producto M × N es

chi (Mtimes N)=chi (M)cdot chi (N).

Estas propiedades de suma y multiplicación también las disfruta la cardinalidad de conjuntos. De esta forma, la característica de Euler puede verse como una generalización de la cardinalidad; ver [1].

Cubrir espacios

Del mismo modo, para un k-que cubrió el espacio ${tilde {M}}to M,$ uno tiene

chi ({tilde {M}})=kcdot chi (M).

De manera más general, para un espacio de cobertura ramificado, la característica de Euler de la cobertura se puede calcular a partir de lo anterior, con un factor de corrección para los puntos de ramificación, lo que produce la fórmula de Riemann-Hurwitz.

Propiedad de fibración

La propiedad del producto es mucho más general, para fibraciones con ciertas condiciones.

Si $pcolon Eto B$ es una fibra con fibra F, con la base B conectado con el camino, y la fibra es orientable sobre un campo K, entonces la característica Euler con coeficientes en el campo K satisface la propiedad del producto:

chi (E)=chi (F)cdot chi (B).

Esto incluye espacios de productos y espacios de cobertura como casos especiales, y puede probarse mediante la secuencia espectral de Serre sobre la homología de una fibración.

Para los paquetes de fibra, esto también se puede entender en términos de un mapa de transferencia $tau colon H_{*}(B)to H_{*}(E)$ – note que esto es un levantamiento y va "el camino equivocado" – cuya composición con el mapa de proyección $p_{*}colon H_{*}(E)to H_{*}(B)$ es multiplicación por la clase Euler de la fibra:

p_{*}circ tau =chi (F)cdot 1.

Ejemplos

Superficies

La característica de Euler se puede calcular fácilmente para superficies generales encontrando una poligonización de la superficie (es decir, una descripción como un complejo CW) y usando las definiciones anteriores.

Nombre	Imagen	χ
Interval		01
Circle		00
Disk		01
Sphere		02
Torus (Producto de dos círculos)		00
Doble torus		−2
Triple torus		−4
Plano de proyecto real		01
Möbius strip		00
Klein bottle		00
Dos esferas (no conectado) (Unión descomunal de dos esferas)		2 + 2 = 4
Tres esferas (no conectado) (Unión descomunal de tres esferas)		2 + 2 + 2 = 6
$n$ esferas (no conectado) (Unión descomunal de n esferas)	...	2 +... + 2 = 2n

Balón de fútbol

Es común construir balones de fútbol uniendo piezas pentagonales y hexagonales, con tres piezas reunidas en cada vértice (ver, por ejemplo, el Adidas Telstar). Si se usan pentágonos P y hexágonos H, entonces hay F = P + H caras, V = (5 P + 6 H) / 3 vértices, y E = (5 P + 6 H) / 2 aristas. La característica de Euler es así

{displaystyle V-E+F={frac {5P+6H}{3}}-{frac {5P+6H}{2}}+P+H={frac {P}{6}}.}

Como la esfera tiene la característica de Euler 2, se deduce que P = 12. Es decir, un balón de fútbol construido de esta forma siempre tiene 12 pentágonos. El número de hexágonos puede ser cualquier número entero no negativo excepto 1. Este resultado es aplicable a fullerenos y poliedros de Goldberg.

Dimensiones arbitrarias

Comparación de las características de Euler de hipercubos y simplices de dimensiones 1 a 4

Características de Euler de los seis análogos 4-dimensionales de la poliedad regular
Recursos ordinarios 4-polytope	V ()k₀)	E ()k₁)	F ()k₂)	C ()k₃)
5 celdas	5	10	10	5
8 celdas	16	32	24	8
16 celdas	8	24	32	16
24 horas	24	96	96	24
120 celdas	600	1200	720	120
600 celdas	120	720	1200	600

La esfera n-dimensional tiene grupos de homología singulares iguales a

{displaystyle H_{k}(S^{n})={begin{cases}mathbb {Z} &k=0,n\{0}&{text{otherwise,}}end{cases}}}

por lo tanto tiene el número Betti 1 en las dimensiones 0 y n, y todos los demás números Betti son 0. Su característica de Euler es entonces 1 + (−1)ⁿ, es decir, 0 o 2.

El espacio proyectivo real n-dimensional es el cociente de la esfera n por el mapa antípoda. De ello se deduce que su característica de Euler es exactamente la mitad de la esfera correspondiente, ya sea 0 o 1.

El toro n-dimensional es el espacio producto de n círculos. Su característica de Euler es 0, por la propiedad del producto. De manera más general, cualquier variedad compacta paralelizable, incluido cualquier grupo de Lie compacto, tiene la característica de Euler 0.

La característica de Euler de cualquier variedad impar cerrada también es 0. El caso de los ejemplos orientables es un corolario de la dualidad de Poincaré. Esta propiedad se aplica de manera más general a cualquier espacio estratificado compacto cuyos estratos tengan dimensiones impares. También se aplica a colectores cerrados no orientables de dimensión impar, a través de la doble cubierta orientable dos a uno.

Relaciones con otras invariantes

La característica de Euler de una superficie orientable cerrada se puede calcular a partir de su género g (el número de toros en una descomposición de suma conectada de la superficie; intuitivamente, el número de "asas&# 34;) como

chi =2-2g.

La característica de Euler de una superficie cerrada no orientable se puede calcular a partir de su género no orientable k (el número de planos proyectivos reales en una descomposición de suma conectada de la superficie) como

{displaystyle chi =2-k.}

Para variedades suaves cerradas, la característica de Euler coincide con el número de Euler, es decir, la clase de Euler de su fibra tangente evaluada sobre la clase fundamental de una variedad. La clase de Euler, a su vez, se relaciona con todas las demás clases características de fibrados vectoriales.

Para variedades de Riemann cerradas, la característica de Euler también se puede encontrar integrando la curvatura; consulte el teorema de Gauss-Bonnet para el caso bidimensional y el teorema generalizado de Gauss-Bonnet para el caso general.

Un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet es el de Descartes. teorema de que el "defecto total" de un poliedro, medido en círculos completos, es la característica de Euler del poliedro; ver defecto (geometría).

El teorema de Hadwiger caracteriza la característica de Euler como la función de conjunto única (hasta la multiplicación escalar) invariante en traducción, finitamente aditiva, no necesariamente no negativa definida en uniones finitas de convexas compactas conjuntos en Rⁿ que es "homogéneo de grado 0".

Generalizaciones

Para cada complejo combinatorio de celdas, se define la característica de Euler como el número de celdas 0, menos el número de celdas 1, más el número de celdas 2, etc., si esta suma alterna es finita. En particular, la característica de Euler de un conjunto finito es simplemente su cardinalidad, y la característica de Euler de un gráfico es el número de vértices menos el número de aristas.

De manera más general, se puede definir la característica de Euler de cualquier cadena compleja como la suma alterna de los rangos de los grupos de homología del complejo de cadenas, asumiendo que todas estas filas son finitas.

Una versión de Euler característica utilizada en la geometría algebraica es como sigue. Para cualquier hoja coherente ${mathcal {F}}$ sobre un plan adecuado X, uno define su Eufler característica de ser

{displaystyle chi ({mathcal {F}})=sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{mathcal {F}}),}

Donde ${displaystyle h^{i}(X,{mathcal {F}})}$ es la dimensión de la i- el grupo de cohomología de hoja ${mathcal {F}}$ . En este caso, las dimensiones son todas finitas por el teorema de la finicidad de Grothendieck. Este es un ejemplo de la característica de Euler de un complejo de cadena, donde el complejo de cadena es una resolución finita ${mathcal {F}}$ por jersey acíclico.

Otra generalización del concepto de característica de Euler en variedades proviene de orbifolds (ver característica de Euler de un orbifold). Si bien cada variedad tiene una característica de Euler entera, un orbifold puede tener una característica de Euler fraccionaria. Por ejemplo, el orbifold en forma de lágrima tiene la característica de Euler 1 + 1/p, donde p es un número primo correspondiente al ángulo del cono 2 $π$ / p.

El concepto de Euler característico de la homología reducida de un poset finito acotado es otra generalización, importante en combinatoria. Una pose está "acotada" si tiene elementos más pequeños y más grandes; llámelos 0 y 1. La característica de Euler de tal poset se define como el número entero μ(0,1), donde μ es la función de Möbius en ese poset's álgebra de incidencia.

Esto se puede generalizar aún más definiendo una característica de Euler con valor Q para ciertas categorías finitas, una noción compatible con las características de Euler de grafos, orbifolds y posets mencionadas anteriormente. En este contexto, la característica de Euler de un grupo finito o monoide G es 1/|G|, y la característica de Euler de un grupoide finito es la suma de 1/| G_i|, donde elegimos un grupo representativo G_i para cada componente conectado del grupoide.

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