Caos cuántico

El caos cuántico es una rama de la física que estudia cómo se pueden describir los sistemas dinámicos clásicos caóticos en términos de teoría cuántica. La pregunta principal que el caos cuántico busca responder es: "¿Cuál es la relación entre la mecánica cuántica y el caos clásico?" El principio de correspondencia establece que la mecánica clásica es el límite clásico de la mecánica cuántica, concretamente en el límite como la relación entre la constante de Planck y la acción del sistema tiende a cero. Si esto es cierto, entonces debe haber mecanismos cuánticos subyacentes al caos clásico (aunque esta puede no ser una forma fructífera de examinar el caos clásico). Si la mecánica cuántica no demuestra una sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales, ¿cómo puede surgir sensibilidad exponencial a las condiciones iniciales en el caos clásico, que debe ser el límite del principio de correspondencia de la mecánica cuántica?

Al tratar de abordar la cuestión básica del caos cuántico, se han empleado varios enfoques:

1. Desarrollo de métodos para resolver problemas cuánticos donde la perturbación no puede considerarse pequeña en la teoría de la perturbación y donde los números cuánticos son grandes.
2. Correlacionando descripciones estadísticas de eigenvalues (nivel de energía) con el comportamiento clásico del mismo Hamiltonian (sistema).
3. Estudio de la distribución de probabilidad de eigenstates individuales (ver cicatrices y ergodicidad cuántica).
4. Métodos semiclásicos como la teoría de órbitas periódicas que conecta las trayectorias clásicas del sistema dinámico con características cuánticas.
5. Aplicación directa del principio de correspondencia.

Historia

Durante la primera mitad del siglo XX, se reconoció el comportamiento caótico en la mecánica (como en el problema de los tres cuerpos en la mecánica celeste), pero no se entendió bien. En ese período se sentaron las bases de la mecánica cuántica moderna, dejando esencialmente de lado el tema de la correspondencia cuántica-clásica en sistemas cuyo límite clásico presenta caos.

Enfoques

Las preguntas relacionadas con el principio de correspondencia surgen en muchas ramas diferentes de la física, desde la física nuclear hasta la atómica, molecular y del estado sólido, e incluso hasta la acústica, las microondas y la óptica. Sin embargo, la correspondencia clásica-cuántica en la teoría del caos no siempre es posible. Por lo tanto, algunas versiones del efecto mariposa clásico no tienen equivalentes en la mecánica cuántica.

Las observaciones importantes que a menudo se asocian con los sistemas cuánticos caóticos clásicos son la repulsión del nivel espectral, la localización dinámica en la evolución del tiempo (por ejemplo, las tasas de ionización de los átomos) y las intensidades de onda estacionarias mejoradas en regiones del espacio donde la dinámica clásica exhibe solo trayectorias inestables (como en la dispersión). En el enfoque semiclásico del caos cuántico, los fenómenos se identifican en espectroscopia analizando la distribución estadística de las líneas espectrales y conectando las periodicidades espectrales con las órbitas clásicas. Otros fenómenos aparecen en la evolución temporal de un sistema cuántico, o en su respuesta a varios tipos de fuerzas externas. En algunos contextos, como la acústica o las microondas, los patrones de onda son directamente observables y exhiben distribuciones de amplitud irregulares.

El caos cuántico generalmente se relaciona con sistemas cuyas propiedades deben calcularse mediante técnicas numéricas o esquemas de aproximación (consulte, por ejemplo, la serie de Dyson). Las soluciones simples y exactas quedan excluidas por el hecho de que los constituyentes del sistema se influyen entre sí de manera compleja o dependen de fuerzas externas que varían temporalmente.

Mecánica cuántica en regímenes no perturbativos

Para sistemas conservativos, el objetivo de la mecánica cuántica en regímenes no perturbativos es encontrar los valores propios y los vectores propios de un hamiltoniano de la forma

H=Hs+ε ε Hns,{displaystyle H=H_{s}+varepsilon H_{ns},,}

Donde Hs{displaystyle H_{s} es separable en algún sistema de coordenadas, Hns{displaystyle H_{ns} no es estable en el sistema de coordenadas en el que Hs{displaystyle H_{s} está separado, y ε ε {displaystyle epsilon } es un parámetro que no se puede considerar pequeño. Los físicos han abordado históricamente los problemas de esta naturaleza tratando de encontrar el sistema de coordenadas en el que el no estable Hamiltoniano es más pequeño y luego tratar al no separable Hamiltoniano como una perturbación.

Encontrar constantes de movimiento para que se pueda realizar esta separación puede ser una tarea analítica difícil (a veces imposible). Resolver el problema clásico puede brindar información valiosa para resolver el problema cuántico. Si hay soluciones clásicas regulares de el mismo hamiltoniano, entonces hay (al menos) constantes de movimiento aproximadas, y al resolver el problema clásico, obtenemos pistas sobre cómo encontrarlas.

En los últimos años se han desarrollado otros enfoques. Una es expresar el hamiltoniano en diferentes sistemas de coordenadas en diferentes regiones del espacio, minimizando la parte no separable del hamiltoniano en cada región. Las funciones de onda se obtienen en estas regiones y los valores propios se obtienen haciendo coincidir las condiciones de contorno.

Otro enfoque es la diagonalización de matriz numérica. Si la matriz Hamiltoniana se calcula en cualquier base completa, los eigenvalues y los eigenvectores se obtienen diagonalizando la matriz. Sin embargo, todos los conjuntos de bases completos son infinitos, y necesitamos ajustar la base y obtener resultados precisos. Estas técnicas se reducen a elegir una base truncada desde la cual se pueden construir funciones de onda exactas. El tiempo computacional requerido para diagonalizar una escala de matriz como N3{displaystyle N^{3}, donde N{displaystyle N} es la dimensión de la matriz, por lo que es importante elegir la base más pequeña posible de la que se pueden construir las funciones de onda pertinentes. También es conveniente elegir una base en la que la matriz es escasa y/o los elementos de la matriz se dan por simples expresiones algebraicas porque los elementos de la matriz informática también pueden ser una carga computacional.

Un hamiltoniano dado comparte las mismas constantes de movimiento tanto para el clásico como para el cuántico dinámica. Los sistemas cuánticos también pueden tener números cuánticos adicionales correspondientes a simetrías discretas (como la conservación de la paridad a partir de la simetría de reflexión). Sin embargo, si simplemente encontramos soluciones cuánticas de un hamiltoniano que no es abordable por la teoría de la perturbación, podemos aprender mucho sobre las soluciones cuánticas, pero hemos aprendido poco sobre el caos cuántico. Sin embargo, aprender a resolver tales problemas cuánticos es una parte importante para responder a la pregunta del caos cuántico.

Correlacionar las descripciones estadísticas de la mecánica cuántica con el comportamiento clásico

Las medidas estadísticas del caos cuántico surgieron del deseo de cuantificar las características espectrales de los sistemas complejos. La teoría de matrices aleatorias se desarrolló en un intento de caracterizar espectros de núcleos complejos. El notable resultado es que las propiedades estadísticas de muchos sistemas con hamiltonianos desconocidos se pueden predecir utilizando matrices aleatorias de la propiedad clase de simetría. Además, la teoría de matrices aleatorias también predice correctamente las propiedades estadísticas de los valores propios de muchos sistemas caóticos con hamiltonianos conocidos. Esto lo hace útil como herramienta para caracterizar espectros que requieren grandes esfuerzos numéricos para calcular.

Hay varias medidas estadísticas disponibles para cuantificar las características espectrales de forma sencilla. Es de gran interés si existen o no comportamientos estadísticos universales de los sistemas caóticos clásicos. Las pruebas estadísticas mencionadas aquí son universales, al menos para sistemas con pocos grados de libertad (Berry y Tabor han presentado fuertes argumentos a favor de una distribución de Poisson en el caso de movimiento regular y Heusler et al. presentan una explicación semiclásica de la llamada conjetura de Bohigas-Giannoni-Schmit que afirma la universalidad de las fluctuaciones espectrales en la dinámica caótica). La distribución del vecino más próximo (NND, por sus siglas en inglés) de los niveles de energía es relativamente sencilla de interpretar y se ha utilizado ampliamente para describir el caos cuántico.

Las observaciones cualitativas de las repulsiones de nivel se pueden cuantificar y relacionar con la dinámica clásica utilizando el NND, que se cree que es una firma importante de la dinámica clásica en los sistemas cuánticos. Se cree que la dinámica clásica regular se manifiesta mediante una distribución de niveles de energía de Poisson:

P()s)=e− − s.{displaystyle P(s)=e^{-s}

Además, se espera que los sistemas que muestran movimiento clásico caótico se caractericen por las estadísticas de conjuntos de matriz eigenvalue aleatoria. Para los sistemas invariantes en reversión de tiempo, las estadísticas de nivel energético de varios sistemas caóticos han demostrado estar de acuerdo con las predicciones del conjunto ortogonal gausiano (GOE) de matrices aleatorias, y se ha sugerido que este fenómeno es genérico para todos los sistemas caóticos con esta simetría. Si el espaciamiento normalizado entre dos niveles de energía es s{displaystyle s}, la distribución normalizada de espaciados está bien aproximada por

P()s)=π π 2se− − π π s2/4.{displaystyle P(s)={frac {pi }se^{-pi s^{2}/4}

Se ha encontrado que muchos sistemas hamiltonianos que son clásicamente integrables (no caóticos) tienen soluciones cuánticas que generan distribuciones de vecinos más cercanos que siguen las distribuciones de Poisson. De manera similar, se han encontrado muchos sistemas que exhiben caos clásico con soluciones cuánticas que producen una distribución de Wigner-Dyson, lo que respalda las ideas anteriores. Una excepción notable es el litio diamagnético que, aunque exhibe un caos clásico, demuestra estadísticas de Wigner (caóticas) para los niveles de energía de paridad par y estadísticas casi de Poisson (regulares) para la distribución de niveles de energía de paridad impar.

Métodos semiclásicos

Teoría de órbitas periódicas

La teoría de las órbitas periódicas ofrece una receta para calcular espectros a partir de las órbitas periódicas de un sistema. En contraste con el método de cuantización de acción de Einstein-Brillouin-Keller, que se aplica solo a sistemas integrables o casi integrables y calcula valores propios individuales de cada trayectoria, la teoría de la órbita periódica es aplicable tanto a sistemas integrables como no integrables y afirma que cada La órbita periódica produce una fluctuación sinusoidal en la densidad de estados.

The principal result of this development is an expression for the density of states which is the trace of the semiclassical Green 's function and is given by the Gutzwiller trace formula:

gc()E)=.. kTk.. n=1JUEGO JUEGO 12pecado⁡ ⁡ ()χ χ nk/2)ei()nSk− − α α nkπ π /2).{displaystyle g_{c}(E)=sum - No. ¿Por qué?

Recientemente hubo una generalización de esta fórmula para los Hamiltonianos de matriz arbitraria que implica un término de fase Berry derivado de la columna vertebral u otros grados internos de libertad. El índice k{displaystyle k} distingue las órbitas periódicas primitivas: las órbitas de período más corto de un determinado conjunto de condiciones iniciales. Tk{displaystyle T_{k} es el período de la órbita periódica primitiva y Sk{displaystyle S_{k} es su acción clásica. Cada órbita primitiva se retrata, llevando a una nueva órbita con acción nSk{displaystyle nS_{k} y un período que es un múltiple integral n{displaystyle n} del período primitivo. Por lo tanto, toda repetición de una órbita periódica es otra órbita periódica. Estas repeticiones se clasifican por separado por la suma intermedia sobre los índices n{displaystyle n}. α α nk{displaystyle alpha _{nk} es el índice de Maslov de la órbita. El factor de amplitud, 1/pecado⁡ ⁡ ()χ χ nk/2){displaystyle 1/sinh {chi _{nk}/2}}, representa la raíz cuadrada de la densidad de órbitas vecinas. Las trayectorias vecinas de una órbita periódica inestable se divergen exponencialmente a tiempo de la órbita periódica. La cantidad χ χ nk{displaystyle chi _{nk} caracteriza la inestabilidad de la órbita. Una órbita estable se mueve sobre un toro en el espacio de fase, y las trayectorias vecinas lo rodean. Para órbitas estables, pecado⁡ ⁡ ()χ χ nk/2){displaystyle sinh {chi _{nk}/2)} se convierte en pecado⁡ ⁡ ()χ χ nk/2){displaystyle sin {chi _{nk}/2)}, donde χ χ nk{displaystyle chi _{nk} es el viento Número de la órbita periódica. χ χ nk=2π π m{displaystyle chi _{nk}=2pi m}, donde m{displaystyle m} es el número de veces que las órbitas vecinas intersectan la órbita periódica en un período. Esto presenta una dificultad porque pecado⁡ ⁡ ()χ χ nk/2)=0{displaystyle sin {}=0} en una bifurcación clásica. Esto hace que la contribución de esa órbita a la densidad energética se desplace. Esto también ocurre en el contexto del espectro fotoabsorción.

Usar la fórmula de seguimiento para calcular un espectro requiere sumar todas las órbitas periódicas de un sistema. Esto presenta varias dificultades para los sistemas caóticos: 1) El número de órbitas periódicas prolifera exponencialmente en función de la acción. 2) Hay un número infinito de órbitas periódicas y se desconocen las propiedades de convergencia de la teoría de órbitas periódicas. Esta dificultad también está presente cuando se aplica la teoría de órbitas periódicas a sistemas regulares. 3) Las órbitas de período largo son difíciles de calcular porque la mayoría de las trayectorias son inestables y sensibles a errores de redondeo y detalles de la integración numérica.

Gutzwiller aplicó la fórmula de traza para abordar el problema anisotrópico de Kepler (una sola partícula en una 1/r{displaystyle 1/r} potencial con un tensor de masa anisotrópico) semiclásicamente. Encontró acuerdo con cálculos cuánticos para la mentira baja (hasta n=6{displaystyle n=6}) estados para pequeñas anisotropías utilizando sólo un pequeño conjunto de órbitas periódicas fácilmente calculadas, pero el acuerdo era pobre para grandes anisotropías.

Las figuras anteriores utilizan un enfoque invertido para probar la teoría de la órbita periódica. La fórmula de la traza afirma que cada órbita periódica contribuye con un término sinusoidal al espectro. En lugar de lidiar con las dificultades computacionales que rodean las órbitas de período largo para tratar de encontrar la densidad de los estados (niveles de energía), uno puede usar la teoría estándar de la perturbación mecánica cuántica para calcular los valores propios (niveles de energía) y usar la transformada de Fourier para buscar el estado periódico. modulaciones del espectro que son la firma de órbitas periódicas. Interpretar el espectro equivale entonces a encontrar las órbitas que corresponden a los picos en la transformada de Fourier.

Bosquejo aproximado de cómo llegar a la fórmula de trazas de Gutzwiller

1. Comience con la aproximación semiclásica de la función de Green dependiente del tiempo (el propagador Van Vleck).
2. Realice que para los causticos la descripción se divierte y utilice la penetración por Maslov (aproximadamente Fourier transformando al espacio de impulso (aproximación de fase estecionaria con h un pequeño parámetro) para evitar tales puntos y después transformarse en espacio de posición puede curar tal divergencia, sin embargo da un factor de fase).
3. Transformar la función Greens en el espacio energético para conseguir la función Greens dependiente de energía (de nuevo, aproximadamente Fourier se transforma utilizando la aproximación de fase estacionaria). Nuevas divergencias podrían surgir que necesitan ser curadas utilizando el mismo método que el paso 3
4. Uso d()E)=− − 1π π I I ()Tr⁡ ⁡ ()G()x,x.. ,E)){displaystyle d(E)=-{frac {1}{pi} }Im (operatorname {Tr} (G(x,x^{prime },E)} (tracing sobre posiciones) y calcularlo de nuevo en la aproximación de fase estacionaria para obtener una aproximación para la densidad de estados d()E){displaystyle d(E)}.

Nota: Tomar la traza te dice que solo contribuyen las órbitas cerradas, la aproximación de fase estacionaria te da condiciones restrictivas cada vez que lo haces. En el paso 4, lo restringe a órbitas donde el momento inicial y final son iguales, es decir, órbitas periódicas. A menudo es bueno elegir un sistema de coordenadas paralelo a la dirección del movimiento, como se hace en muchos libros.

Teoría de la órbita cerrada

La teoría de la órbita cerrada fue desarrollada por J.B. Delos, M.L. Du, J. Gao y J. Shaw. Esto es similar a teoría de la órbita periódica, excepto que la teoría de la órbita cerrada es aplicable solo a espectros atómicos y moleculares y produce la densidad de fuerza del oscilador (espectro de fotoabsorción observable) a partir de un estado inicial específico, mientras que la teoría de la órbita periódica produce la densidad de estados.

Solo las órbitas que comienzan y terminan en el núcleo son importantes en la teoría de órbita cerrada. Físicamente, estos están asociados con las ondas salientes que se generan cuando un electrón estrechamente unido se excita a un estado elevado. Para los átomos y moléculas de Rydberg, cada órbita que está cerrada en el núcleo también es una órbita periódica cuyo período es igual al tiempo de cierre o al doble del tiempo de cierre.

Según la teoría de los órbitas cerradas, la densidad de fuerza osciladora promedio en constante ε ε {displaystyle epsilon } se da por un fondo suave más una suma oscilatoria de la forma

f()w)=.. k.. n=1JUEGO JUEGO Dnkipecado⁡ ⁡ ()2π π nwSk~ ~ − − φ φ nk).{displaystyle f(w)=sum _{k}sum ¿Qué? nw{tilde {S_{k}}-phi _{it {nk}}

φ φ nk{displaystyle phi _{it {}} es una fase que depende del índice Maslov y otros detalles de las órbitas. Dnki{displaystyle D_{it {nk}{i} es la amplitud de recurrencia de una órbita cerrada para un estado inicial dado (marcado i{displaystyle i}). Contiene información sobre la estabilidad de la órbita, sus direcciones iniciales y finales, y el elemento matriz del operador dipole entre el estado inicial y una onda Coulomb de cero energía. Para sistemas de escalado como los átomos de Rydberg en campos fuertes, la transformación Fourier de un espectro de fuerza oscilador computado a fijos ε ε {displaystyle epsilon } como función de w{displaystyle w} se llama espectro de recurrencia, porque da picos que corresponden a la acción escalada de órbitas cerradas y cuyas alturas corresponden a Dnki{displaystyle D_{it {nk}{i}.

La teoría de órbita cerrada ha encontrado un amplio acuerdo con varios sistemas caóticos, incluyendo hidrógeno diamagnético, hidrógeno en campos eléctricos y magnéticos paralelos, litio diamagnético, litio en un campo eléctrico, el H− − {displaystyle H^{-} iones en campos eléctricos y magnéticos cruzados y paralelos, bario en un campo eléctrico y helio en un campo eléctrico.

Sistemas unidimensionales y potencial

Para el caso del sistema unidimensional con la condición de límite Sí.()0)=0{displaystyle y(0)=0} la densidad de los estados obtenidos de la fórmula Gutzwiller está relacionada con el inverso del potencial del sistema clásico por d1/2dx1/2V− − 1()x)=2π π dN()x)dx{displaystyle {frac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} {f}} {f}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} Aquí. dN()x)dx{displaystyle {frac {dN(x)}{dx}}} es la densidad de estados y V(x) es el potencial clásico de la partícula, la media derivada del inverso del potencial se relaciona con la densidad de estados como en el potencial Wu-Sprung.

Direcciones recientes

Queda una pregunta abierta sobre la comprensión del caos cuántico en sistemas que tienen espacios de Hilbert locales de dimensión finita para los que no se aplican los límites semiclásicos estándar. Trabajos recientes permitieron estudiar analíticamente tales sistemas cuánticos de muchos cuerpos.

Los temas tradicionales del caos cuántico se refieren a las estadísticas espectrales (características universales y no universales) y al estudio de las funciones propias de varios hamiltonianos caóticos. Por ejemplo, antes de que se informara sobre la existencia de cicatrices, se conjeturó que los estados propios de un sistema caótico clásico llenaban el espacio de fase disponible de manera uniforme, hasta fluctuaciones aleatorias y conservación de energía (ergodicidad cuántica). Sin embargo, un estado propio cuántico de un sistema caótico clásico se puede marcar: la densidad de probabilidad del estado propio se mejora en la vecindad de una órbita periódica, por encima de la densidad esperada estadísticamente clásica a lo largo de la órbita (cicatrices). En particular, las cicatrices son tanto un ejemplo visual sorprendente de la correspondencia cuántica clásica fuera del límite clásico habitual, como un ejemplo útil de una supresión cuántica del caos. Por ejemplo, esto es evidente en la cicatrización cuántica inducida por la perturbación: más específicamente, en los puntos cuánticos perturbados por golpes de potencial locales (impurezas), algunos de los estados propios están fuertemente marcados a lo largo de las órbitas periódicas de la contraparte clásica no perturbada.

Otros estudios se refieren al paramétrico (R{displaystyle R.) dependencia del Hamiltonian, como se refleja en las estadísticas de los cruces evitados, y la mezcla asociada como se refleja en la densidad local (paramétrica) de los estados (LDOS). Hay una vasta literatura sobre dinámicas del paquete de ondas, incluyendo el estudio de fluctuaciones, recurrences, problemas de irreversibilidad cuántica, etc. El lugar especial está reservado al estudio de la dinámica de los mapas cuantificados: el mapa estándar y el rotador de patadas se consideran problemas prototipo.

Las obras también se centran en el estudio de sistemas caóticos impulsados, donde el Hamiltonian H()x,p;R()t)){displaystyle H(x,p;R(t)} depende del tiempo, en particular en los regímenes de respuesta adiabática y lineal. También hay un esfuerzo significativo centrado en la formulación de ideas de caos cuántico para una interacción fuerte muchos-cuerpo sistemas cuánticos lejos de regímenes semi-clásicos, así como un gran esfuerzo en la dispersión caótica cuántica.

Conjetura de Berry-Tabor

En 1977, Berry y Tabor hicieron un "genérico" conjetura matemática que, en términos generales, es: En el "genérico" En el caso de la dinámica cuántica de un flujo geodésico en una superficie compacta de Riemann, los valores propios de la energía cuántica se comportan como una secuencia de variables aleatorias independientes siempre que la dinámica clásica subyacente sea completamente integrable.

Más recursos

• Martin C. Gutzwiller (1971). "Orbits períodicos y condiciones de cuantificación clásica". Journal of Mathematical Physics. 12 (3): 343-358. Bibcode:1971JMP....12..343G. doi:10.1063/1.1665596.
• Martin C. Gutzwiller, Caos en Mecánica Clásica y Cuántica, (1990) Springer-Verlag, New York ISBN 0-387-97173-4.
• Hans-Jürgen Stöckmann, Quantum Caos: Una introducción, (1999) Cambridge University Press ISBN 0-521-59284-4.
• Eugene Paul Wigner; Dirac, P. A. M. (1951). "En la distribución estadística de los anchos y espaciados de los niveles de resonancia nuclear". Proceedings Matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge. 47 (4): 790. Bibcode:1951PCPS...47..790W. doi:10.1017/S0305004100027237. S2CID 120852535.
• Fritz Haake, Signaturas cuánticas de Caos 2a edición, (2001) Springer-Verlag, Nueva York ISBN 3-540-67723-2.
• Karl-Fredrik Berggren y Sven Aberg, "Quantum Chaos Y2K Proceedings of Nobel Symposium 116" (2001) ISBN 978-981-02-4711-9
• L. E. Reichl, "La transición al caos: en sistemas conservadores clásicos: Manifestaciones cuánticas", Springer (2004), ISBN 978-0387987880