Cantidad de movimiento

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En la mecánica newtoniana, el momento lineal, momento de traslación, cantidad de movimiento o simplemente el momentum es el producto de la masa y la velocidad de un objeto. Es una cantidad vectorial, que posee una magnitud y una dirección. Si m es la masa de un objeto y v es su velocidad (también una cantidad vectorial), entonces el momento p del objeto es: $mathbf{p} = m mathbf{v}.$

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de medida del momento es el kilogramo metro por segundo (kg⋅m/s), que es equivalente al newton-segundo.

La segunda ley del movimiento de Newton establece que la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre él. El momento depende del marco de referencia, pero en cualquier marco inercial es una cantidad conservada, lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento lineal total no cambia. El momento también se conserva en la relatividad especial (con una fórmula modificada) y, en una forma modificada, en electrodinámica, mecánica cuántica, teoría cuántica de campos y relatividad general. Es una expresión de una de las simetrías fundamentales del espacio y el tiempo: la simetría traslacional.

Formulaciones avanzadas de mecánica clásica, mecánica lagrangiana y hamiltoniana, permiten elegir sistemas de coordenadas que incorporan simetrías y restricciones. En estos sistemas, la cantidad conservada es el momento generalizado y, en general, es diferente del momento cinético definido anteriormente. El concepto de impulso generalizado se traslada a la mecánica cuántica, donde se convierte en un operador de una función de onda. Los operadores de momento y posición están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

En sistemas continuos como campos electromagnéticos, dinámica de fluidos y cuerpos deformables, se puede definir una densidad de momento, y una versión continua de la conservación del momento conduce a ecuaciones como las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos o la ecuación de momento de Cauchy para sólidos deformables. o fluidos.

Newtoniano

El momento es una cantidad vectorial: tiene tanto magnitud como dirección. Dado que el impulso tiene una dirección, se puede utilizar para predecir la dirección resultante y la velocidad de movimiento de los objetos después de que chocan. A continuación, las propiedades básicas del impulso se describen en una dimensión. Las ecuaciones vectoriales son casi idénticas a las ecuaciones escalares (ver dimensiones múltiples).

Partícula única

El momento de una partícula se representa convencionalmente con la letra p. Es el producto de dos cantidades, la masa de la partícula (representada por la letra m) y su velocidad (v): $p=mv.$

La unidad de cantidad de movimiento es el producto de las unidades de masa y velocidad. En unidades SI, si la masa está en kilogramos y la velocidad está en metros por segundo, entonces el impulso está en kilogramos metros por segundo (kg⋅m/s). En unidades cgs, si la masa está en gramos y la velocidad en centímetros por segundo, entonces el impulso está en gramos centímetros por segundo (g⋅cm/s).

Al ser un vector, el impulso tiene magnitud y dirección. Por ejemplo, un modelo de avión de 1 kg, que viaja hacia el norte a 1 m/s en vuelo recto y nivelado, tiene un impulso de 1 kg⋅m/s hacia el norte medido con referencia al suelo.

Muchas partículas

El momento de un sistema de partículas es la suma vectorial de sus momentos. Si dos partículas tienen masas respectivas m ₁ y m ₂, y velocidades v ₁ y v ₂, el momento total es ${displaystyle {begin{alineado}p&=p_{1}+p_{2}\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2},.end{alineado}} }$

Los momentos de más de dos partículas se pueden sumar de manera más general con lo siguiente: ${displaystyle p=sum_{i}m_{i}v_{i}.}$

Un sistema de partículas tiene un centro de masa, un punto determinado por la suma ponderada de sus posiciones: ${displaystyle r_{text{cm}}={frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+cdots }{m_{1}+m_{2}+cdots }}={frac {sum_{i}m_{i}r_{i}}{sum_{i}m_{i}}}.}$

Si una o más de las partículas se está moviendo, el centro de masa del sistema generalmente se moverá también (a menos que el sistema esté en rotación pura a su alrededor). Si la masa total de las partículas es $metro$ y el centro de masa se mueve a una velocidad v _cm, la cantidad de movimiento del sistema es: $p=mv_{texto{cm}}.$

Esto se conoce como la primera ley de Euler.

Relación con la fuerza

Si la fuerza neta F aplicada a una partícula es constante y se aplica durante un intervalo de tiempo Δ t, la cantidad de movimiento de la partícula cambia en una cantidad $Delta p=FDelta t,.$

En forma diferencial, esta es la segunda ley de Newton; la tasa de cambio del momento de una partícula es igual a la fuerza instantánea F que actúa sobre ella, ${displaystyle F={frac {dp}{dt}}.}$

Si la fuerza neta experimentada por una partícula cambia en función del tiempo, F (t), el cambio en la cantidad de movimiento (o impulso J) entre los tiempos t ₁ y t ₂ es ${displaystyle Delta p=J=int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t),dt,.}$

El impulso se mide en las unidades derivadas del newton segundo (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) o dina segundo (1 dina⋅s = 1 g⋅cm/s)

Bajo el supuesto de masa constante m, es equivalente a escribir ${displaystyle F={frac {d(mv)}{dt}}=m{frac {dv}{dt}}=ma,}$

por tanto, la fuerza neta es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración.

Ejemplo: un modelo de avión de 1 kg de masa acelera desde el reposo hasta una velocidad de 6 m/s hacia el norte en 2 s. La fuerza neta requerida para producir esta aceleración es de 3 newtons hacia el norte. El cambio en la cantidad de movimiento es de 6 kg⋅m/s hacia el norte. La tasa de cambio del impulso es de 3 (kg⋅m/s)/s hacia el norte, lo que equivale numéricamente a 3 newtons.

Conservación

En un sistema cerrado (aquel que no intercambia materia con su entorno y sobre el que no actúan fuerzas externas) la cantidad de movimiento total permanece constante. Este hecho, conocido como la ley de conservación de la cantidad de movimiento, está implícito en las leyes del movimiento de Newton. Supongamos, por ejemplo, que dos partículas interactúan. Como explica la tercera ley, las fuerzas entre ellos son iguales en magnitud pero de dirección opuesta. Si las partículas están numeradas 1 y 2, la segunda ley establece que F ₁ =doble penetración ₁/dty F2 = _{_}doble penetración ₂/dt. Por lo tanto, ${frac{dp_{1}}{dt}}=-{frac {dp_{2}}{dt}},$

con el signo negativo indicando que las fuerzas se oponen. Equivalentemente, ${frac{d}{dt}}left(p_{1}+p_{2}right)=0.$

Si las velocidades de las partículas son u ₁ y u ₂ antes de la interacción, y después son v ₁ y v ₂, entonces $m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

Esta ley se cumple sin importar cuán complicada sea la fuerza entre las partículas. De manera similar, si hay varias partículas, la cantidad de movimiento intercambiada entre cada par de partículas suma cero, por lo que el cambio total en la cantidad de movimiento es cero. Esta ley de conservación se aplica a todas las interacciones, incluidas las colisiones y separaciones causadas por fuerzas explosivas. También se puede generalizar a situaciones en las que las leyes de Newton no se cumplen, por ejemplo, en la teoría de la relatividad y en la electrodinámica.

Dependencia del marco de referencia

El impulso es una cantidad medible, y la medida depende del marco de referencia. Por ejemplo: si un avión de masa m kg vuela por el aire a una velocidad de 50 m/s, se puede calcular que su momento es de 50 m kg.m/s. Si el avión vuela con un viento en contra de 5 m/s, su velocidad relativa a la superficie de la Tierra es de solo 45 m/s y su impulso puede calcularse en 45 m kg.m/s. Ambos cálculos son igualmente correctos. En ambos marcos de referencia, se encontrará que cualquier cambio en el impulso es consistente con las leyes de la física relevantes.

Supongamos que una partícula tiene la posición x en un marco de referencia estacionario. Desde el punto de vista de otro marco de referencia, moviéndose a una velocidad uniforme u, la posición (representada por una coordenada prima) cambia con el tiempo como $x'=x-ut,.$

Esto se llama una transformación de Galileo. Si la partícula se mueve a una velocidaddx/dt= v en el primer marco de referencia, en el segundo, se mueve a velocidad $v'={frac {dx'}{dt}}=vu,.$

Como u no cambia, las aceleraciones son las mismas: $a'={frac{dv'}{dt}}=a,.$

Por lo tanto, el impulso se conserva en ambos marcos de referencia. Además, mientras la fuerza tenga la misma forma, en ambos marcos, la segunda ley de Newton no cambia. Fuerzas como la gravedad newtoniana, que dependen únicamente de la distancia escalar entre los objetos, satisfacen este criterio. Esta independencia del marco de referencia se llama relatividad newtoniana o invariancia galileana.

Un cambio de marco de referencia puede, a menudo, simplificar los cálculos de movimiento. Por ejemplo, en una colisión de dos partículas, se puede elegir un marco de referencia, donde una partícula comienza en reposo. Otro marco de referencia de uso común es el marco del centro de masa, uno que se mueve con el centro de masa. En este marco, el impulso total es cero.

Aplicación a las colisiones

Si dos partículas, cada una con momento conocido, chocan y se unen, se puede usar la ley de conservación del momento para determinar el momento del cuerpo fusionado. Si el resultado de la colisión es que las dos partículas se separan, la ley no es suficiente para determinar el momento de cada partícula. Si se conoce la cantidad de movimiento de una partícula después de la colisión, se puede usar la ley para determinar la cantidad de movimiento de la otra partícula. Alternativamente, si se conoce la energía cinética combinada después de la colisión, la ley se puede usar para determinar el momento de cada partícula después de la colisión. La energía cinética generalmente no se conserva. Si se conserva, la colisión se llama colisión elástica; si no, es una colisión inelástica.

Colisiones elásticas

Una colisión elástica es aquella en la que ninguna energía cinética se transforma en calor o en alguna otra forma de energía. Las colisiones perfectamente elásticas pueden ocurrir cuando los objetos no se tocan entre sí, como por ejemplo en la dispersión atómica o nuclear donde la repulsión eléctrica mantiene a los objetos separados. Una maniobra de tirachinas de un satélite alrededor de un planeta también puede verse como una colisión perfectamente elástica. Una colisión entre dos bolas de billar es un buen ejemplo de colisión casi totalmente elástica, debido a su gran rigidez, pero cuando los cuerpos entran en contacto siempre hay algo de disipación.

Una colisión elástica frontal entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son u ₁ y u ₂ antes del choque y v ₁ y v ₂ después, las ecuaciones que expresan la conservación de la cantidad de movimiento y la energía cinética son: ${begin{alineado}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\{tfrac {1} {2}}m_{1}u_{1}^{2}+{tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={tfrac {1}{2} }m_{1}v_{1}^{2}+{tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2},.end{alineado}}$

Un cambio de marco de referencia puede simplificar el análisis de una colisión. Por ejemplo, suponga que hay dos cuerpos de igual masa m, uno estacionario y uno que se acerca al otro con una velocidad v (como en la figura). El centro de masa se mueve a una velocidadv/2y ambos cuerpos se mueven hacia ella a gran velocidadv/2. Debido a la simetría, después de la colisión, ambos deben alejarse del centro de masas a la misma velocidad. Sumando la velocidad del centro de masa a ambos, encontramos que el cuerpo que se movía ahora está detenido y el otro se aleja con velocidad v. Los cuerpos han intercambiado sus velocidades. Independientemente de las velocidades de los cuerpos, un cambio al marco del centro de masa nos lleva a la misma conclusión. Por lo tanto, las velocidades finales están dadas por ${begin{alineado}v_{1}&=u_{2}\v_{2}&=u_{1},.end{alineado}}$

En general, cuando se conocen las velocidades iniciales, las velocidades finales vienen dadas por $v_{1}=left({frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}right)u_{1}+left({frac {2m_ {2}}{m_{1}+m_{2}}}right)u_{2},$ $v_{2}=left({frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}right)u_{2}+left({frac {2m_ {1}}{m_{1}+m_{2}}}right)u_{1},.$

Si un cuerpo tiene una masa mucho mayor que el otro, su velocidad se verá poco afectada por una colisión, mientras que el otro cuerpo experimentará un gran cambio.

Colisiones inelásticas

En una colisión inelástica, parte de la energía cinética de los cuerpos que chocan se convierte en otras formas de energía (como calor o sonido). Los ejemplos incluyen colisiones de tráfico, en las que el efecto de la pérdida de energía cinética se puede ver en los daños a los vehículos; electrones que pierden algo de su energía en los átomos (como en el experimento de Franck-Hertz); y aceleradores de partículas en los que la energía cinética se convierte en masa en forma de nuevas partículas.

En una colisión perfectamente inelástica (como un insecto que golpea un parabrisas), ambos cuerpos tienen el mismo movimiento después. Una colisión frontal inelástica entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son u ₁yu ₂ antes del choque, entonces en un choque perfectamente inelástico ambos cuerpos viajarán con velocidad v después del choque. La ecuación que expresa la conservación de la cantidad de movimiento es: ${displaystyle {begin{alineado}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=left(m_{1}+m_{2}right)v,.end{ alineado}}}$

Si un cuerpo está inmóvil para empezar (p. ej ${ estilo de visualización u_ {2} = 0}$ .), la ecuación para la conservación de la cantidad de movimiento es $m_{1}u_{1}=izquierda(m_{1}+m_{2}derecha)v,,$

asi que $v={frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1},.$

En una situación diferente, si el marco de referencia se mueve a la velocidad final tal que ${ estilo de visualización v = 0}$ , los objetos se detendrían por una colisión perfectamente inelástica y el 100% de la energía cinética se convierte en otras formas de energía. En este caso, las velocidades iniciales de los cuerpos serían distintas de cero, o los cuerpos tendrían que ser sin masa.

Una medida de la inelasticidad de la colisión es el coeficiente de restitución C _R, definido como la relación entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación. Al aplicar esta medida a una pelota que rebota en una superficie sólida, se puede medir fácilmente usando la siguiente fórmula: $C_{text{R}}={sqrt {frac {text{altura de rebote}}{text{altura de caída}}}},.$

Las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía también se aplican a los movimientos de objetos que comienzan juntos y luego se separan. Por ejemplo, una explosión es el resultado de una reacción en cadena que transforma la energía potencial almacenada en forma química, mecánica o nuclear en energía cinética, energía acústica y radiación electromagnética. Los cohetes también hacen uso de la conservación del impulso: el propulsor se empuja hacia afuera, ganando impulso, y se imparte al cohete un impulso igual y opuesto.

Múltiples dimensiones

El movimiento real tiene dirección y velocidad y debe representarse mediante un vector. En un sistema de coordenadas con ejes x, y, z, la velocidad tiene componentes v _x en la dirección x, v _y en la dirección y, v _z en la dirección z. El vector está representado por un símbolo en negrita: $mathbf {v} =left(v_{x},v_{y},v_{z}right).$

De manera similar, el impulso es una cantidad vectorial y se representa con un símbolo en negrita: $mathbf {p} =left(p_{x},p_{y},p_{z}right).$

Las ecuaciones de las secciones anteriores funcionan en forma vectorial si los escalares p y v se reemplazan por vectores p y v. Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. Por ejemplo, $mathbf {p} =mmathbf {v}$

representa tres ecuaciones: ${begin{alineado}p_{x}&=mv_{x}\p_{y}&=mv_{y}\p_{z}&=mv_{z}.end{alineado}}$

Las ecuaciones de energía cinética son excepciones a la regla de reemplazo anterior. Las ecuaciones siguen siendo unidimensionales, pero cada escalar representa la magnitud del vector, por ejemplo, $v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2},.$

Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. A menudo, las coordenadas se pueden elegir de modo que solo se necesiten dos componentes, como en la figura. Cada componente se puede obtener por separado y los resultados se pueden combinar para producir un resultado vectorial.

Se puede usar una construcción simple que involucre el marco del centro de masa para mostrar que si una esfera elástica estacionaria es golpeada por una esfera en movimiento, las dos se separarán en ángulo recto después de la colisión (como en la figura).

Objetos de masa variable

El concepto de cantidad de movimiento juega un papel fundamental en la explicación del comportamiento de objetos de masa variable, como un cohete que expulsa combustible o una estrella que acumula gas. Al analizar tal objeto, uno trata la masa del objeto como una función que varía con el tiempo: m (t). La cantidad de movimiento del objeto en el tiempo t es por lo tanto p (t) = m (t) v (t). Entonces se podría tratar de invocar la segunda ley del movimiento de Newton diciendo que la fuerza externa F sobre el objeto está relacionada con su cantidad de movimiento p (t) por F=doble penetración/dt, pero esto es incorrecto, al igual que la expresión relacionada que se encuentra al aplicar la regla del producto ad (mv)/dt: ${displaystyle F=m(t){frac {dv}{dt}}+v(t){frac {dm}{dt}}.}$ (incorrecto)

Esta ecuación no describe correctamente el movimiento de objetos de masa variable. La ecuación correcta es $F=m(t){frac {dv}{dt}}-u{frac {dm}{dt}},$

donde u es la velocidad de la masa expulsada/acumulada como se ve en el marco de reposo del objeto. Esto es distinto de v, que es la velocidad del objeto mismo como se ve en un marco inercial.

Esta ecuación se obtiene al realizar un seguimiento tanto del impulso del objeto como del impulso de la masa expulsada/acretada (dm). Cuando se consideran juntos, el objeto y la masa (dm) constituyen un sistema cerrado en el que se conserva el momento total. ${displaystyle P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(vu)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm}$

Relativista

Invariancia de Lorentz

La física newtoniana asume que el tiempo y el espacio absolutos existen fuera de cualquier observador; esto da lugar a la invariancia de Galileo. También da como resultado una predicción de que la velocidad de la luz puede variar de un marco de referencia a otro. Esto es contrario a la observación. En la teoría especial de la relatividad, Einstein mantiene el postulado de que las ecuaciones de movimiento no dependen del marco de referencia, pero asume que la velocidad de la luz c es invariante. Como resultado, la posición y el tiempo en dos marcos de referencia están relacionados por la transformación de Lorentz en lugar de la transformación de Galileo.

Considere, por ejemplo, un marco de referencia que se mueve con respecto a otro a una velocidad v en la dirección x. La transformación de Galileo da las coordenadas del marco móvil como ${displaystyle {begin{alineado}t'&=t\x'&=x-vtend{alineado}}}$

mientras que la transformación de Lorentz da ${displaystyle {begin{alineado}t'&=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}right)\x'&=gamma left(x- vtright),end{alineado}}}$

donde γ es el factor de Lorentz: ${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

La segunda ley de Newton, con masa fija, no es invariante bajo una transformación de Lorentz. Sin embargo, puede hacerse invariante haciendo que la masa inercial m de un objeto sea una función de la velocidad: $m=gamma m_{0},;$

m ₀ es la masa invariante del objeto.

El impulso modificado, $mathbf {p} =gamma m_{0}mathbf {v} ,,$

obedece la segunda ley de Newton: $mathbf {F} ={frac {dmathbf {p} }{dt}},.$

Dentro del dominio de la mecánica clásica, el momento relativista se aproxima mucho al momento newtoniano: a baja velocidad, γm ₀v es aproximadamente igual a m ₀v, la expresión newtoniana del momento.

Formulación de cuatro vectores

En la teoría de la relatividad especial, las cantidades físicas se expresan en términos de cuatro vectores que incluyen el tiempo como cuarta coordenada junto con las tres coordenadas espaciales. Estos vectores generalmente se representan con letras mayúsculas, por ejemplo R para posición. La expresión para los cuatro impulsos depende de cómo se expresen las coordenadas. El tiempo puede expresarse en sus unidades normales o multiplicarse por la velocidad de la luz, de modo que todos los componentes del cuadrivector tengan dimensiones de longitud. Si se usa la última escala, un intervalo de tiempo propio, τ, definido por $c^{2}dtau^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},,$

es invariante bajo transformaciones de Lorentz (en esta expresión y en lo que sigue se ha usado la firma métrica (+ − − −), diferentes autores usan diferentes convenciones). Matemáticamente, esta invariancia se puede asegurar de una de dos maneras: tratando los cuatro vectores como vectores euclidianos y multiplicando el tiempo por √ −1; o manteniendo el tiempo como una cantidad real e incrustando los vectores en un espacio de Minkowski. En un espacio de Minkowski, el producto escalar de dos cuatro vectores U = (U ₀, U ₁, U ₂, U ₃) y V = (V ₀,V ₁, V ₂, V ₃) se define como $mathbf {U} cdot mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3},.$

En todos los sistemas de coordenadas, la cuatro velocidades relativista (contravariante) se define por $mathbf {U} equiv {frac {dmathbf {R} }{dtau }}=gamma {frac {dmathbf {R} }{dt}},,$

y el cuatro impulso (contravariante) es $mathbf {P} =m_{0}mathbf {U} ,,$

donde m ₀ es la masa invariante. Si R = (ct, x, y, z) (en el espacio de Minkowski), entonces ${displaystyle mathbf {P} =gamma m_{0}left(c,mathbf {v} right)=(mc,mathbf {p}),.}$

Usando la equivalencia masa-energía de Einstein, E = mc, esto se puede reescribir como $mathbf {P} =left({frac {E}{c}},mathbf {p} right),.$

Por lo tanto, la conservación de cuatro impulsos es invariante de Lorentz e implica la conservación tanto de la masa como de la energía.

La magnitud del cuatro vector de impulso es igual a m ₀c: ${displaystyle |mathbf {P} |^{2}=mathbf {P} cdot mathbf {P} =gamma ^{2}m_{0}^{2}left(c^{ 2}-v^{2}derecha)=(m_{0}c)^{2},,}$

y es invariable en todos los marcos de referencia.

La relación energía-momento relativista se mantiene incluso para partículas sin masa como los fotones; haciendo m ₀ = 0 se sigue que $E=pc,.$

En un juego de "billar" relativista, si una partícula estacionaria es golpeada por una partícula en movimiento en una colisión elástica, los caminos formados por las dos después formarán un ángulo agudo. Esto es diferente al caso no relativista donde viajan en ángulo recto.

El cuatro impulso de una onda plana se puede relacionar con un cuatro vector de onda ${displaystyle mathbf {P} =left({frac {E}{c}},{vec {mathbf {p} }}right)=hbar mathbf {K} =hbar left ({frac {omega {c}},{vec {mathbf {k} }}right)}$

Para una partícula, la relación entre los componentes temporales, E = ħ ω, es la relación de Planck-Einstein, y la relación entre los componentes espaciales, p = ħ k, describe una onda de materia de De Broglie.

Generalizado

Las leyes de Newton pueden ser difíciles de aplicar a muchos tipos de movimiento porque el movimiento está limitado por restricciones. Por ejemplo, una cuenta de un ábaco está obligada a moverse a lo largo de su alambre y la lenteja de un péndulo está obligada a oscilar a una distancia fija del pivote. Muchas de estas restricciones se pueden incorporar cambiando las coordenadas cartesianas normales a un conjunto de coordenadas generalizadas que pueden ser menos numerosas. Se han desarrollado métodos matemáticos refinados para resolver problemas de mecánica en coordenadas generalizadas. Introducen un impulso generalizado, también conocido como impulso canónico o conjugado., que amplía los conceptos de momento lineal y momento angular. Para distinguirlo del momento generalizado, el producto de la masa y la velocidad también se conoce como momento mecánico, cinético o cinemático. Los dos métodos principales se describen a continuación.

Mecánica lagrangiana

En mecánica lagrangiana, un lagrangiano se define como la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V: ${mathcal {L}}=TV,.$

Si las coordenadas generalizadas se representan como un vector q = (q ₁, q ₂,..., q _N) y la diferenciación temporal se representa con un punto sobre la variable, entonces las ecuaciones de movimiento (conocidas como Lagrange o Euler- ecuaciones de Lagrange) son un conjunto de N ecuaciones: ${frac {d}{dt}}left({frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {q}}_{j}}}right)-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q_{j}}}=0,.$

Si una coordenada q _i no es una coordenada cartesiana, el componente de momento generalizado asociado p _i no tiene necesariamente las dimensiones del momento lineal. Incluso si q _i es una coordenada cartesiana, p _i no será lo mismo que el momento mecánico si el potencial depende de la velocidad. Algunas fuentes representan el momento cinemático con el símbolo Π.

En este marco matemático, un momento generalizado está asociado con las coordenadas generalizadas. Sus componentes se definen como $p_{j}={frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {q}}_{j}}},.$

Se dice que cada componente p _j es el momento conjugado para la coordenada q _j.

Ahora bien, si una coordenada dada q _i no aparece en el Lagrangiano (aunque sí podría aparecer su derivada temporal), entonces $p_{j}={text{constante}},.$

Esta es la generalización de la conservación de la cantidad de movimiento.

Incluso si las coordenadas generalizadas son solo las coordenadas espaciales ordinarias, los momentos conjugados no son necesariamente las coordenadas de momento ordinarias. Un ejemplo se encuentra en la sección sobre electromagnetismo.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana, el lagrangiano (una función de las coordenadas generalizadas y sus derivadas) se reemplaza por un hamiltoniano que es una función de las coordenadas generalizadas y el momento. El hamiltoniano se define como ${mathcal {H}}left(mathbf {q},mathbf {p},tright)=mathbf {p} cdot {dot {mathbf {q} }}-{mathcal { L}}left(mathbf {q},{dot {mathbf {q} }},tright),,$

donde el impulso se obtiene diferenciando el Lagrangiano como se indicó anteriormente. Las ecuaciones hamiltonianas de movimiento son ${begin{alineado}{dot {q}}_{i}&={frac {parcial {mathcal {H}}}{partial p_{i}}}\-{dot {p }}_{i}&={frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q_{i}}}\-{frac {parcial {mathcal {L}}}{ t parcial}}&={frac {d{mathcal {H}}}{dt}},.end{alineado}}$

Como en la mecánica lagrangiana, si una coordenada generalizada no aparece en el hamiltoniano, se conserva su componente de momento conjugado.

Simetría y conservación

La conservación del impulso es una consecuencia matemática de la homogeneidad (cambio de simetría) del espacio (la posición en el espacio es la cantidad conjugada canónica del impulso). Es decir, la conservación de la cantidad de movimiento es consecuencia del hecho de que las leyes de la física no dependen de la posición; este es un caso especial del teorema de Noether. Para los sistemas que no tienen esta simetría, puede que no sea posible definir la conservación del momento. Los ejemplos en los que no se aplica la conservación del momento incluyen los espaciotiempos curvos en la relatividad general o los cristales de tiempo en la física de la materia condensada.

Electromagnético

Partícula en un campo

En las ecuaciones de Maxwell, las fuerzas entre partículas están mediadas por campos eléctricos y magnéticos. La fuerza electromagnética (fuerza de Lorentz) sobre una partícula con carga q debido a una combinación de campo eléctrico E y campo magnético B es $mathbf {F} =q(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B}).$

(en unidades SI). Tiene un potencial eléctrico φ (r, t) y un potencial vectorial magnético A (r, t). En el régimen no relativista, su impulso generalizado es ${displaystyle mathbf {P} =mmathbf {mathbf {v} } +qmathbf {A},}$

mientras que en la mecánica relativista esto se convierte en

{displaystyle mathbf {P} =gamma mmathbf {mathbf {v} } +qmathbf {A}.}

La cantidad ${displaystyle V=qmathbf {A} }$ a veces se denomina impulso potencial. Es el momento debido a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. El nombre es una analogía con la energía potencial ${displaystyle U=qvarfi}$ , que es la energía debida a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. Estas cantidades forman un vector de cuatro, por lo que la analogía es consistente; además, el concepto de momento potencial es importante para explicar el llamado momento oculto de los campos electromagnéticos.

Conservación

En la mecánica newtoniana, la ley de conservación del momento puede derivarse de la ley de acción y reacción, que establece que cada fuerza tiene una fuerza alternativa igual y opuesta. En algunas circunstancias, las partículas cargadas en movimiento pueden ejercer fuerzas entre sí en direcciones no opuestas. Sin embargo, se conserva el momento combinado de las partículas y el campo electromagnético.

Vacío

La fuerza de Lorentz imparte un impulso a la partícula, por lo que según la segunda ley de Newton, la partícula debe impartir un impulso a los campos electromagnéticos.

En el vacío, la cantidad de movimiento por unidad de volumen es $mathbf {g} ={frac {1}{mu _{0}c^{2}}}mathbf {E} times mathbf {B} ,,$

donde μ ₀ es la permeabilidad al vacío y c es la velocidad de la luz. La densidad de momento es proporcional al vector de Poynting S que da la tasa direccional de transferencia de energía por unidad de área: $mathbf {g} ={frac {mathbf {S} }{c^{2}}},.$

Si se va a conservar la cantidad de movimiento sobre el volumen V sobre una región Q, los cambios en la cantidad de movimiento de la materia a través de la fuerza de Lorentz deben equilibrarse con los cambios en la cantidad de movimiento del campo electromagnético y la salida de cantidad de movimiento. Si P _mech es la cantidad de movimiento de todas las partículas en Q, y las partículas se tratan como un continuo, entonces la segunda ley de Newton da ${displaystyle {frac {dmathbf {P}_{text{mech}}}{dt}}=iiint limits_{Q}left(rho mathbf {E} +mathbf {J } times mathbf {B} right)dV,.}$

El momento electromagnético es ${displaystyle mathbf {P}_{text{campo}}={frac {1}{mu_{0}c^{2}}}iiint limits_{Q}mathbf {E} times mathbf {B} ,dV,,}$

y la ecuación para la conservación de cada componente i del impulso es ${displaystyle {frac {d}{dt}}left(mathbf {P}_{text{mec}}+mathbf {P}_{text{campo}}right)_{i} =iint limits _{sigma }left(sum limits _{j}T_{ij}n_{j}right)dSigma ,.}$

El término de la derecha es una integral sobre el área superficial Σ de la superficie σ que representa el flujo de cantidad de movimiento que entra y sale del volumen, y n _j es un componente de la superficie normal de S. La cantidad T _ij se denomina tensor de tensión de Maxwell, definido como $T_{ij}equiv epsilon _{0}left(E_{i}E_{j}-{frac {1}{2}}delta_{ij}E^{2}right)+{ frac{1}{mu _{0}}}left(B_{i}B_{j}-{frac {1}{2}}delta_{ij}B^{2}right) ,.$

Medios de comunicación

Los resultados anteriores son para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, aplicables a las fuerzas electromagnéticas en el vacío (oa una escala muy pequeña en los medios). Es más difícil definir la densidad de cantidad de movimiento en los medios porque la división en electromagnética y mecánica es arbitraria. La definición de densidad de momento electromagnético se modifica para $mathbf {g} ={frac {1}{c^{2}}}mathbf {E} times mathbf {H} ={frac {mathbf {S} }{c^{2}} },,$

donde el campo H H está relacionado con el campo B y la magnetización M por $mathbf {B} =mu _{0}left(mathbf {H} +mathbf {M} right),.$

El tensor de esfuerzo electromagnético depende de las propiedades del medio.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica, el momento se define como un operador autoadjunto en la función de onda. El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se pueden conocer a la vez el momento y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas.

Para una sola partícula descrita en la base de posición, el operador de momento se puede escribir como $mathbf {p} ={hbar over i}nabla =-ihbar nabla ,,$

donde ∇ es el operador de gradiente, ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria. Esta es una forma común del operador de momento, aunque el operador de momento en otras bases puede tomar otras formas. Por ejemplo, en el espacio de cantidad de movimiento, el operador de cantidad de movimiento se representa como $mathbf {p} psi (p)=ppsi (p),,$

donde el operador p que actúa sobre una función de onda ψ (p) da como resultado esa función de onda multiplicada por el valor p, de manera análoga a la forma en que el operador de posición que actúa sobre una función de onda ψ (x) da como resultado esa función de onda multiplicada por el valor valor x.

Tanto para objetos masivos como para objetos sin masa, el momento relativista está relacionado con la constante de fase $beta$ por ${displaystyle p=hbarbeta}$

La radiación electromagnética (incluida la luz visible, la luz ultravioleta y las ondas de radio) es transportada por fotones. Aunque los fotones (el aspecto de partícula de la luz) no tienen masa, todavía tienen impulso. Esto conduce a aplicaciones como la vela solar. El cálculo del impulso de la luz dentro de los medios dieléctricos es algo controvertido (ver la controversia de Abraham-Minkowski).

En cuerpos y fluidos deformables

Conservación en un continuo

En campos como la dinámica de fluidos y la mecánica de sólidos, no es factible seguir el movimiento de átomos o moléculas individuales. En cambio, los materiales deben aproximarse mediante un continuo en el que hay una partícula o una parcela de fluido en cada punto a la que se le asigna el promedio de las propiedades de los átomos en una pequeña región cercana. En particular, tiene una densidad ρ y una velocidad v que dependen del tiempo t y la posición r. El impulso por unidad de volumen es ρ v.

Considere una columna de agua en equilibrio hidrostático. Todas las fuerzas sobre el agua están en equilibrio y el agua está inmóvil. En cualquier gota de agua dada, se equilibran dos fuerzas. El primero es la gravedad, que actúa directamente sobre cada átomo y molécula de su interior. La fuerza gravitacional por unidad de volumen es ρ g, donde g es la aceleración gravitacional. La segunda fuerza es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre su superficie por el agua circundante. La fuerza desde abajo es mayor que la fuerza desde arriba en la cantidad necesaria para equilibrar la gravedad. La fuerza normal por unidad de área es la presión p. La fuerza promedio por unidad de volumen dentro de la gota es el gradiente de presión, por lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas es $-nabla p+rho mathbf {g} =0,.$

Si las fuerzas no están equilibradas, la gota se acelera. Esta aceleración no es simplemente la derivada parcial∂v _/∂tporque el fluido en un volumen dado cambia con el tiempo. En su lugar, se necesita la derivada material: ${frac {D}{Dt}}equiv {frac {parcial }{parcial t}}+mathbf {v} cdot {boldsymbol {nabla }},.$

Aplicada a cualquier cantidad física, la derivada material incluye la tasa de cambio en un punto y los cambios debidos a la advección cuando el fluido pasa por el punto. Por unidad de volumen, la tasa de cambio en el momento es igual a ρD v/Dt. Esto es igual a la fuerza neta sobre la gota.

Las fuerzas que pueden cambiar el impulso de una gota incluyen el gradiente de presión y la gravedad, como se indicó anteriormente. Además, las fuerzas superficiales pueden deformar la gota. En el caso más simple, un esfuerzo cortante τ, ejercido por una fuerza paralela a la superficie de la gota, es proporcional a la tasa de deformación o tasa de deformación. Tal esfuerzo cortante ocurre si el fluido tiene un gradiente de velocidad porque el fluido se mueve más rápido en un lado que en el otro. Si la velocidad en la dirección x varía con z, la fuerza tangencial en la dirección x por unidad de área normal a la dirección z es ${displaystyle sigma _{zx}=-mu {frac {parcial v_{x}}{parcial z}},,}$

donde μ es la viscosidad. Este es también un flujo, o flujo por unidad de área, de cantidad de movimiento x a través de la superficie.

Incluyendo el efecto de la viscosidad, las ecuaciones de balance de cantidad de movimiento para el flujo incompresible de un fluido newtoniano son $rho {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}=-{boldsymbol {nabla }}p+mu nabla ^{2}mathbf {v} +rho mathbf {g}. ,$

Estas se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de balance de cantidad de movimiento se pueden extender a materiales más generales, incluidos los sólidos. Para cada superficie con dirección normal i y fuerza en la dirección j, existe una componente de tensión σ _ij. Los nueve componentes forman el tensor de tensión de Cauchy σ, que incluye tanto la presión como el corte. La conservación local del impulso se expresa mediante la ecuación del impulso de Cauchy: $rho {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}={boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {sigma }}+mathbf {f} ,,$

donde f es la fuerza del cuerpo.

La ecuación del momento de Cauchy es ampliamente aplicable a las deformaciones de sólidos y líquidos. La relación entre las tensiones y la velocidad de deformación depende de las propiedades del material (ver Tipos de viscosidad).

Ondas acústicas

Una perturbación en un medio da lugar a oscilaciones u ondas que se propagan alejándose de su fuente. En un fluido, los pequeños cambios en la presión p a menudo se pueden describir mediante la ecuación de onda acústica: ${frac {parcial ^{2}p}{parcial t^{2}}}=c^{2}nabla ^{2}p,,$

donde c es la velocidad del sonido. En un sólido, se pueden obtener ecuaciones similares para la propagación de presión (ondas P) y corte (ondas S).

El flujo, o transporte por unidad de área, de una componente de cantidad de movimiento ρv _j por una velocidad v _i es igual a ρ v _j v _j. En la aproximación lineal que conduce a la ecuación acústica anterior, el promedio de tiempo de este flujo es cero. Sin embargo, los efectos no lineales pueden dar lugar a un promedio distinto de cero. Es posible que se produzca un flujo de cantidad de movimiento aunque la onda en sí no tenga una cantidad de movimiento media.

Historia del concepto

Aproximadamente en el año 530 d. C., trabajando en Alejandría, el filósofo bizantino John Philoponus desarrolló un concepto de impulso en su comentario a la Física de Aristóteles. Aristóteles afirmó que todo lo que se mueve debe ser mantenido en movimiento por algo. Por ejemplo, una pelota lanzada debe mantenerse en movimiento gracias a los movimientos del aire. La mayoría de los escritores continuaron aceptando la teoría de Aristóteles hasta la época de Galileo, pero algunos se mostraron escépticos. Philoponus señaló lo absurdo de la afirmación de Aristóteles de que el movimiento de un objeto es promovido por el mismo aire que se resiste a su paso. En cambio, propuso que se impartiera un ímpetu al objeto en el acto de lanzarlo. Ibn Sīnā (también conocido por su nombre latinizado Avicena) leyó Philoponus y publicó su propia teoría del movimiento en The Book of Healingen 1020. Estuvo de acuerdo en que el lanzador imparte un impulso a un proyectil; pero a diferencia de Philoponus, que creía que era una virtud temporal que declinaría incluso en el vacío, la veía como una virtud persistente que requería fuerzas externas como la resistencia del aire para disiparla. El trabajo de Philoponus, y posiblemente el de Ibn Sīnā, fue leído y refinado por los filósofos europeos Peter Olivi y Jean Buridan. Buridan, quien hacia 1350 fue nombrado rector de la Universidad de París, se refirió a que el ímpetu es proporcional al peso por la velocidad. Además, la teoría de Buridan era diferente de la de su predecesor en que no consideraba que el ímpetu se disipara por sí mismo, afirmando que un cuerpo sería detenido por las fuerzas de la resistencia del aire y la gravedad que podrían oponerse a su ímpetu.

René Descartes creía que la "cantidad de movimiento" total (en latín: quantitas motus) en el universo se conserva, donde la cantidad de movimiento se entiende como el producto del tamaño y la velocidad. Esto no debe interpretarse como una declaración de la ley moderna del impulso, ya que no tenía un concepto de masa distinto del peso y el tamaño y, lo que es más importante, creía que lo que se conserva es la velocidad en lugar de la velocidad. Entonces, para Descartes, si un objeto en movimiento rebotara en una superficie, cambiando su dirección pero no su velocidad, no habría cambio en su cantidad de movimiento. Galileo, en sus Dos nuevas ciencias, usó la palabra italiana impeto para describir de manera similar la cantidad de movimiento de Descartes.

Leibniz, en su "Discurso sobre la metafísica", dio un argumento en contra de la construcción de Descartes de la conservación de la "cantidad de movimiento" usando un ejemplo de dejar caer bloques de diferentes tamaños a diferentes distancias. Señala que la fuerza se conserva pero la cantidad de movimiento, interpretada como el producto del tamaño y la velocidad de un objeto, no se conserva.

Christiaan Huygens llegó a la conclusión bastante pronto de que las leyes de Descartes para el choque elástico de dos cuerpos debían ser incorrectas y formuló las leyes correctas. Un paso importante fue su reconocimiento de la invariancia galileana de los problemas. Sus puntos de vista tardaron muchos años en circular. Se los pasó en persona a William Brouncker y Christopher Wren en Londres, en 1661. Lo que Spinoza le escribió a Henry Oldenburg sobre ellos, en 1666, durante la Segunda Guerra Anglo-Holandesa, fue guardado. De hecho, Huygens los había elaborado en un manuscrito De motu corporum ex percussione en el período 1652-1656. La guerra terminó en 1667 y Huygens anunció sus resultados a la Royal Society en 1668. Los publicó en el Journal des sçavans en 1669.

El primer enunciado correcto de la ley de conservación del momento fue el del matemático inglés John Wallis en su obra de 1670, Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus: "el estado inicial del cuerpo, ya sea de reposo o de movimiento, persistirá" y " Si la fuerza es mayor que la resistencia, se producirá movimiento". Wallis usó el impulso para la cantidad de movimiento y vis para la fuerza. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de Newton, cuando se publicó por primera vez en 1687, mostró una búsqueda similar de palabras para usar para el impulso matemático. Su Definición II define quantitas motus, "cantidad de movimiento", como "que surge de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente", lo que lo identifica como impulso. Así, cuando en la Ley II se refiere a mutatio motus, "cambio de movimiento", siendo proporcional a la fuerza aplicada, generalmente se entiende que significa cantidad de movimiento y no movimiento. Sólo quedaba asignar un término estándar a la cantidad de movimiento. El primer uso de "momentum" en su sentido matemático apropiado no está claro, pero en la época de Miscellanea de Jennings en 1721, cinco años antes de la edición final de Principia Mathematica de Newton, el momento M o "cantidad de movimiento" se definía para los estudiantes como "un rectángulo",, donde Q es "cantidad de material" y V es "velocidad",s/t.

En 1728, la Enciclopedia afirma:

"El impulso, el ímpetu o la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es el factum [es decir, el producto] de su velocidad (o el espacio que mueve en un tiempo dado, véase movimiento) multiplicado por su masa".

Contenido relacionado

Más resultados...