Cantidad adimensional

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Cantidad sin dimensión física

Una cantidad adimensional (también conocida como cantidad básica, cantidad pura o cantidad escalar también como cantidad de dimensión uno) es una cantidad a la que no se le asigna ninguna dimensión física, con una unidad de medida SI correspondiente de uno (o 1), que no se muestra explícitamente. Las cantidades adimensionales se utilizan ampliamente en muchos campos, como las matemáticas, la física, la química, la ingeniería y la economía. Las cantidades adimensionales son distintas de las cantidades que tienen dimensiones asociadas, como el tiempo (medido en segundos). Las unidades adimensionales son valores adimensionales que sirven como unidades de medida para expresar otras cantidades, como radianes (rad) o estereorradianes (sr) para ángulos planos y ángulos sólidos, respectivamente. Por ejemplo, la extensión óptica se define como unidades de metros multiplicadas por estereorradianes.

Historia

Las cantidades que tienen dimensión uno, cantidades adimensionales, ocurren regularmente en las ciencias y se tratan formalmente dentro del campo del análisis dimensional. En el siglo XIX, el matemático francés Joseph Fourier y el físico escocés James Clerk Maxwell lideraron desarrollos significativos en los conceptos modernos de dimensión y unidad. El trabajo posterior de los físicos británicos Osborne Reynolds y Lord Rayleigh contribuyó a la comprensión de los números adimensionales en la física. Sobre la base del método de análisis dimensional de Rayleigh, Edgar Buckingham demostró el teorema π (independientemente del trabajo anterior del matemático francés Joseph Bertrand) para formalizar la naturaleza de estas cantidades.

A principios del siglo XX se acuñaron numerosos números adimensionales, en su mayoría proporciones, especialmente en las áreas de mecánica de fluidos y transferencia de calor. La medición de ratios en la unidad (derivada) dB (decibelios) encuentra un uso generalizado en la actualidad.

Ha habido propuestas periódicas para "parchar" el sistema SI para reducir la confusión con respecto a las dimensiones físicas. Por ejemplo, un artículo de opinión de 2017 en Nature abogó por formalizar el radián como una unidad física. La idea fue refutada sobre la base de que tal cambio generaría inconsistencias tanto para grupos adimensionales establecidos, como el número de Strouhal, como para entidades matemáticamente distintas que tienen las mismas unidades, como torque (un producto vectorial) versus energía (un escalar). producto). En otro caso, a principios de la década de 2000, el Comité Internacional de Pesos y Medidas discutió nombrar la unidad de 1 como 'uno', pero se descartó la idea de simplemente introducir un nuevo nombre SI para 1.

Enteros

Los números enteros se pueden usar para representar cantidades adimensionales discretas. Más específicamente, los números de conteo se pueden usar para expresar cantidades contables, como el número de partículas y el tamaño de la población. En matemáticas, el "número de elementos" en un conjunto se denomina cardinalidad. Sustantivos contables es un concepto lingüístico relacionado. Los números de conteo, como el número de bits, se pueden combinar con unidades de frecuencia (segundo inverso) para derivar unidades de tasa de conteo, como bits por segundo. Contar datos es un concepto relacionado en estadística.

Razones, proporciones y ángulos

Las cantidades adimensionales a menudo se obtienen como proporciones de cantidades que no son adimensionales, pero cuyas dimensiones se anulan en la operación matemática. Los ejemplos incluyen el cálculo de pendientes o factores de conversión de unidades. Un ejemplo más complejo de tal relación es la tensión de ingeniería, una medida de deformación física definida como un cambio en la longitud dividida por la longitud inicial. Dado que ambas cantidades tienen la dimensión longitud, su relación es adimensional. Otro conjunto de ejemplos son las fracciones de masa o las fracciones molares, que a menudo se escriben en notación de partes por, como ppm (= 10⁻⁶), ppb (= 10⁻⁹) y ppt (= 10⁻¹²), o quizás de manera confusa como proporciones de dos unidades idénticas (kg/kg o mol/mol). Por ejemplo, el alcohol por volumen, que caracteriza la concentración de etanol en una bebida alcohólica, podría escribirse como mL / 100 mL.

Otras proporciones comunes son los porcentajes % (= 0.01), ‰ (= 0.001) y las unidades angulares como giro, radián, grado (° = π/180) y graduado (= $π$ /200). En estadística, el coeficiente de variación es la relación entre la desviación estándar y la media y se utiliza para medir la dispersión de los datos.

Se ha argumentado que las cantidades definidas como proporciones Q = A/B tener las mismas dimensiones en el numerador y el denominador son en realidad solo cantidades sin unidades y todavía tienen una dimensión física definida como dim Q = dim A × dim B⁻¹. Por ejemplo, el contenido de humedad se puede definir como una relación de volúmenes (humedad volumétrica, m³⋅m⁻³, dimensión L³⋅L ⁻³) o como una relación de masas (humedad gravimétrica, unidades kg⋅kg⁻¹, dimensión M⋅M⁻¹); ambas serían cantidades sin unidad, pero de diferente dimensión.

Teorema π de Buckingham

El $π$ teorema de Buckingham indica que la validez de las leyes de la física no depende de un sistema de unidades específico. Un enunciado de este teorema es que cualquier ley física puede expresarse como una identidad que involucra solo combinaciones adimensionales (razones o productos) de las variables vinculadas por la ley (p. ej., la presión y el volumen están vinculados por la Ley de Boyle: son inversamente proporcional). Si las combinaciones adimensionales' los valores cambiaron con los sistemas de unidades, entonces la ecuación no sería una identidad y el teorema de Buckingham no se cumpliría.

Otra consecuencia del teorema es que la dependencia funcional entre un cierto número (digamos, n) de variables puede reducirse por el número (digamos, k) de dimensiones independientes que ocurren en esas variables para dar un conjunto de p = n − k cantidades independientes adimensionales. Para los propósitos del experimentador, diferentes sistemas que comparten la misma descripción por cantidad adimensional son equivalentes.

Ejemplo

Para demostrar la aplicación del teorema $π$ , considere el consumo de energía de un agitador con una forma determinada. La potencia, P, en dimensiones [M · L²/T³], es función de la densidad, ρ [M/L³], y la viscosidad del fluido a agitar, μ [M/(L · T)], así como el tamaño del agitador dada por su diámetro, D [L], y la velocidad angular del agitador, n [1/T]. Por lo tanto, tenemos un total de n = 5 variables que representan nuestro ejemplo. Esas n = 5 variables se construyen a partir de k = 3 dimensiones independientes, por ejemplo, longitud: L (unidades SI: m), tiempo: T (s) y masa: M (kg).

Según el $π$ -theorem, el n = 5 variables se pueden reducir por k = 3 dimensiones a la forma p = n − k = 5 − 3 = 2 números independientes sin dimensión. Por lo general, estas cantidades se eligen como ${textstyle mathrm {Re} ={frac {rho nD^{2}}{mu }}}$ , comúnmente llamado el número Reynolds que describe el régimen de flujo de fluidos, y ${textstyle N_{mathrm {p} }={frac {P}{rho n^{3}D^{5}}}}$ , el número de potencia, que es la descripción sin dimensiones del revólver.

Tenga en cuenta que las dos cantidades sin dimensiones no son únicas y dependen de cuál de las n = 5 variables se eligen como k = 3 variables de base dimensionalmente independientes, que, en este ejemplo, aparecen en ambas cantidades indisolubles. El número de Reynolds y el número de potencia caen del análisis anterior si ${textstyle rho }$ , n, y D son elegidos para ser las variables de base. Si, en cambio, ${textstyle mu }$ , n, y D son seleccionados, el número Reynolds se recupera mientras que la segunda cantidad adimensional se convierte ${textstyle N_{mathrm {Rep} }={frac {P}{mu D^{3}n^{2}}}}$ . Observamos que ${textstyle N_{mathrm {Rep} }}$ es el producto del número Reynolds y el número de potencia.

Constantes físicas adimensionales

Ciertas constantes físicas de dimensiones universales, como la velocidad de la luz en el vacío, la constante gravitatoria universal, la constante de Planck, la constante de Coulomb y la constante de Boltzmann se pueden normalizar a 1 si son unidades apropiadas para el tiempo, la longitud, la masa, Se eligen la carga y la temperatura. El sistema de unidades resultante se conoce como unidades naturales, específicamente en relación con estas cinco constantes, las unidades de Planck. Sin embargo, no todas las constantes físicas pueden normalizarse de esta manera. Por ejemplo, los valores de las siguientes constantes son independientes del sistema de unidades, no se pueden definir y solo se pueden determinar experimentalmente:

α ≈ 1/137, la constante de estructura fina, que caracteriza la magnitud de la interacción electromagnética entre electrones.
β (o μ) Ω 1836, la relación de masa proton-to-electrona. Esta relación es la masa restante del protón dividida por la del electrón. Se puede definir una relación análoga para cualquier partícula elemental;
α_s ♥ 1, una constante caracterizando la fuerza fuerte de acoplamiento de la fuerza nuclear;
La relación de la masa de cualquier partícula elemental dada a la masa Planck, ${textstyle {sqrt {hbar c/G}}}$ .

Otras cantidades producidas por adimensionalización

La física a menudo usa cantidades adimensionales para simplificar la caracterización de sistemas con múltiples fenómenos físicos que interactúan. Estos se pueden encontrar aplicando el teorema π de Buckingham o, de lo contrario, pueden surgir al hacer que las ecuaciones diferenciales parciales no tengan unidades mediante el proceso de no dimensionalización. La ingeniería, la economía y otros campos a menudo amplían estas ideas en el diseño y análisis de los sistemas relevantes.

Física e ingeniería

Número de túnel – número de onda sobre distancia
Número de máquina - ratio de la velocidad de un objeto o flujo relativo a la velocidad del sonido en el fluido.

Beta (física de plasma) – ratio de presión plasmática a presión magnética, utilizada en física magnetosférica y física de plasma de fusión.
Números de Damköhler (Da) – usados en ingeniería química para relacionar el tiempo de reacción química (tasa de reacción) con la tasa de fenómenos de transporte que ocurre en un sistema.
Modulo Thiele – describe la relación entre la difusión y la tasa de reacción en las pellets de catalizador poroso sin limitaciones de transferencia masiva.
Apertura numérica - caracteriza la gama de ángulos sobre los cuales el sistema puede aceptar o emitir luz.
El número de Sherwood – (también llamado el número Nusselt de transferencia masiva) es un número sin dimensiones utilizado en la operación de transferencia masiva. Representa la proporción de la transferencia masiva convectiva a la tasa de transporte masivo difusivo.
Número de Schmidt – definido como la relación de la difusividad de impulso (viscosidadkinemática) y la difusividad de masas, y se utiliza para caracterizar flujos de fluidos en los que existen procesos simultáneos de convección de impulso y difusión masiva.
El número Reynolds se utiliza comúnmente en la mecánica de fluidos para caracterizar el flujo, incorporando ambas propiedades del fluido y el flujo. Se interpreta como la proporción de fuerzas inerciales a fuerzas viscosas y puede indicar el régimen de flujo, así como correlacionarse con la calefacción friccional en aplicación para fluir en tuberías.
El número de Zukoski, generalmente notado Q*, es la relación de la tasa de liberación de calor de un fuego con la enthalpy de la velocidad de flujo de gas circulando a través del fuego. Los incendios accidentales y naturales suelen tener una Q* de ~1. Fuegos de propagación plana, como incendios forestales, tienen Q* Los incendios procedentes de vasos o tuberías presionados, con impulso adicional causado por la presión, tienen Q* título.

Química

Densidad relativa - densidad relativa al agua
Masa atómica relativa, Peso atómico estándar
Constante de equilibrio (que a veces es indimensional)

Otros campos

El costo del transporte es la eficiencia en el traslado de un lugar a otro
Elasticidad es la medición del cambio proporcional de una variable económica en respuesta a un cambio en otro

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