Canal de borrado binario

En la teoría de codificación y la teoría de la información, un canal de borrado binario ()BEC) es un modelo de canal de comunicaciones. Un transmisor envía un poco (un cero o uno), y el receptor recibe el bit correctamente, o con alguna probabilidad ${\displaystyle P_{e}$ recibe un mensaje que el bit no fue recibido ("deseado").

Un canal de borrado binario con probabilidad de borrado ${\displaystyle P_{e}$ es un canal con entrada binaria, salida ternaria y probabilidad de borrado ${\displaystyle P_{e}$. Eso es, vamos ${\displaystyle X}$ ser la variable aleatoria transmitida con alfabeto ${\displaystyle \{0,1\}}$. Vamos. ${\displaystyle Sí.$ ser la variable recibida con alfabeto ${\displaystyle \{0,1,{\text{e}}}} {\f}} {\f}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}$, donde ${\displaystyle {\text{e}}}$ es el símbolo de borrado. Luego, el canal se caracteriza por las probabilidades condicionales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname [Pr] [Y=0 habitX=0] Alguien=1-P_{e]\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {Pr} [Y=0 habitX=1] [Pr] [Y=1 habitX=0] [Pr] [Y=1 habitX=1] {\fn}\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {Pr} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fnK}}}$

La capacidad de canal de un BEC es ${\displaystyle 1-P_{e}$, alcanzado con una distribución uniforme ${\displaystyle X}$ (es decir, la mitad de los insumos deben ser 0 y la mitad debe ser 1).

Prueba

Por simetría de los valores de entrada, la distribución óptima de entrada es ${\displaystyle X\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}\right)}$. La capacidad del canal es: ${\displaystyle \operatorname [I} (X;Y)=\operatorname {H} (X)-\operatorname {H} (X sometidaY)}$ Observe que, para la función de entropía binaria ${\displaystyle \operatorname {H} {\fnK}}$ (que tiene valor 1 para la entrada ${\fnMicroc} {1}{2}}}$), ${\displaystyle \operatorname {H} (X sometida)=\sum _{y}P(y)\operatorname {H} (X sometida)=P_{e}\operatorname {H} {\fnMicroc {2}\right)=P_{e}$ como ${\displaystyle X}$ es conocido de (y igual a) y a menos ${\displaystyle y=e}$, que tiene probabilidad ${\displaystyle P_{e}$. Por definición ${\displaystyle \operatorname {H} (X)=\operatorname {H} _{\text{b}\left({\frac {1}{2}\right)=1}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {I} (X;Y)=1-P_{e}$.

Si el remitente es notificado cuando se borra un poco, pueden transmitir repetidamente cada bit hasta que se reciba correctamente, alcanzando la capacidad ${\displaystyle 1-P_{e}$. Sin embargo, por el teorema de codificación ruido-canal, la capacidad de ${\displaystyle 1-P_{e}$ se puede obtener incluso sin tales comentarios.

Si los bits son volteados en lugar de borrar, el canal es un canal binario simétrico (BSC), que tiene capacidad ${\displaystyle 1-\operatorname {\fnMicrosoft Sans Serif}$ (para la función binaria entropía ${\displaystyle \operatorname {H} {\fnK}}$), que es menos que la capacidad del BEC para ${\displaystyle 0 0 0 0 0 0 0$. Si los bits son borrados pero el receptor no es notificado (es decir, no recibe la salida ${\displaystyle e}$) entonces el canal es un canal de eliminación, y su capacidad es un problema abierto.

El BEC fue presentado por Peter Elias del MIT en 1955 como un modelo de juguete.

• Código de borrado
• Canal de borrado del paquete

• Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (1991). Elementos de la información Teoría. Wiley. ISBN 978-0-471-24195-9.
• MacKay, David J.C. (2003). Teoría de Información, Inferencia y Algoritmos de Aprendizaje. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64298-1.
• Mitzenmacher, Michael (2009), "A survey of results for deletion channels and related synchronization channels", Encuestas de probabilidad, 6: 1–33, doi:10.1214/08-PS141, MR 2525669