Campo vectorial laplaciano

En cálculo vectorial, un campo vectorial laplaciano es un campo vectorial que es irrotacional e incompresible. Si el campo se denota como v, entonces se describe mediante las siguientes ecuaciones diferenciales:

Silencio Silencio × × v=0,Silencio Silencio ⋅ ⋅ v=0.{displaystyle {begin{aligned}nabla times mathbf {v} &=mathbf {0}\\nabla cdot mathbf {v} >end{aligned}}}

De la identidad del cálculo vectorial Silencio Silencio 2v↑ ↑ Silencio Silencio ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ v)− − Silencio Silencio × × ()Silencio Silencio × × v){displaystyle nabla ^{2}mathbf {v} equiv nabla (nabla cdot mathbf {v})-nabla times (nabla times mathbf {v})} sigue que

Silencio Silencio 2v=0{displaystyle nabla ^{2}mathbf {v} =mathbf {0}

Did you mean:

that is, that the field v satisfies Laplace 's equation.

Sin embargo, el contrario no es cierto; no todo campo vectorial que satisface la ecuación de Laplace es un campo vectorial laplaciano, que puede ser un punto de confusión. Por ejemplo, el campo vectorial v=()xSí.,Sí.z,zx){displaystyle {bf {}=(xy,yz,zx)} satisfice la ecuación de Laplace, pero tiene tanto divergencia no cero y curva no cero y no es un campo vectorial laplaciano.

Un campo vectorial laplaciano en el plano satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: es holomórfico.

Dado que la curvatura de v es cero, se deduce que (cuando el dominio de definición es simplemente conexo) v puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar (ver campo irrotacional) φ:

v=Silencio Silencio φ φ .()1){displaystyle mathbf {v} =nabla phi.qquad qquad (1)}

Entonces, dado que la divergencia de v también es cero, de la ecuación (1) se deduce que

Silencio Silencio ⋅ ⋅ Silencio Silencio φ φ =0{displaystyle nabla cdot nabla phi =0}

que es equivalente a

Silencio Silencio 2φ φ =0.{displaystyle nabla ^{2}phi =0}

Did you mean:

Therefore, the potential of a Laplacian field satisfies Laplace 's equation.