Campo vectorial conservador

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Campo vectorial que es el gradiente de alguna función

En cálculo vectorial, un campo vectorial conservador es un campo vectorial que es el gradiente de alguna función. Un campo vectorial conservador tiene la propiedad de que su integral de línea es independiente de la trayectoria; la elección de cualquier camino entre dos puntos no cambia el valor de la integral de línea. La independencia de trayectoria de la integral de línea es equivalente a que el campo vectorial bajo la integral de línea sea conservador. Un campo vectorial conservador también es irrotacional; en tres dimensiones, esto significa que tiene rizo evanescente. Un campo vectorial irrotacional es necesariamente conservador siempre que el dominio sea simplemente conexo.

Los campos vectoriales conservativos aparecen naturalmente en la mecánica: son campos vectoriales que representan fuerzas de sistemas físicos en los que se conserva la energía. Para un sistema conservador, el trabajo realizado al moverse a lo largo de una trayectoria en un espacio de configuración depende sólo de los puntos finales de la trayectoria, por lo que es posible definir energía potencial que es independiente de la trayectoria real tomada.

Trato informal

En un espacio bidimensional y tridimensional, hay una ambigüedad en tomar una parte integral entre dos puntos ya que hay infinitamente muchos caminos entre los dos puntos, aparte de la línea recta formada entre los dos puntos, uno podría elegir un camino curvado de mayor longitud como se muestra en la figura. Por lo tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado. Sin embargo, en el caso especial de un campo de vectores conservadores, el valor de la integral es independiente del camino tomado, que se puede considerar como una cancelación a gran escala de todos los elementos ${displaystyle d{R}}$ que no tiene un componente a lo largo de la línea recta entre los dos puntos. Para visualizar esto, imagine que dos personas suben por un acantilado; uno decide escalar el acantilado yendo verticalmente hacia arriba, y el segundo decide caminar por un camino de viento que es más largo que la altura del acantilado, pero a sólo un pequeño ángulo a la horizontal. Aunque los dos excursionistas han tomado diferentes rutas para llegar a la cima del acantilado, en la parte superior, ambos habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitacional. Esto es porque un campo gravitacional es conservador.

Depiction of two possible paths to integrate. En verde es el camino más simple posible; azul muestra una curva más convocada

Explicación intuitiva

M. La litografía de C. Escher Ascending and Descending ilustra un campo vectorial no conservador, imposiblemente hecho para parecer el gradiente de la altura variable sobre el suelo (potencial gravitacional) a medida que uno se mueve a lo largo del escalera. El campo de fuerza experimentado por quien se mueve por la escalera no es conservador en el sentido de que uno puede regresar al punto de partida mientras se asciende más de lo que se desciende o viceversa, lo que resulta en un trabajo distinto de cero realizado por la gravedad. En una escalera real, la altura sobre el suelo es un campo potencial escalar: hay que subir exactamente tanto como bajar para volver al mismo lugar, en cuyo caso el trabajo de la gravedad es cero. Esto sugiere independencia del camino del trabajo realizado en la escalera; de manera equivalente, el campo de fuerza experimentado es conservador (consulte la sección posterior: Independencia de la trayectoria y campo vectorial conservador). La situación representada en la impresión es imposible.

Definición

Un campo vectorial ${displaystyle mathbf {v}:Uto mathbb {R} ^{n}}$ , donde $U$ es un subconjunto abierto de $mathbb {R} ^{n}$ , se dice que conservador y sólo si existe $C^{1}$ (continuamente diferenciable) campo escalar $varphi$ on $U$ tales que

{displaystyle mathbf {v} =nabla varphi.}

Aquí, $nabla varphi$ denota el gradiente de $varphi$ . Desde $varphi$ es continuamente diferente, $mathbf {v}$ es continuo. Cuando la ecuación anterior sostiene, $varphi$ se llama potencial de escalar para $mathbf {v}$ .

El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que cualquier campo vectorial se puede expresar como la suma de un campo vectorial conservador y un campo solenoidal.

Independencia de trayectoria y campo vectorial conservador

Independencia de ruta

Una línea integral de un campo vectorial $mathbf {v}$ se dice que es independiente del camino si depende sólo de dos puntos finales del camino integral, independientemente del camino entre ellos es elegido:

{displaystyle int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} }

para cualquier par de caminos integrales $P_{1}$ y $P_{2}$ entre un par dado de puntos finales del camino en $U$ .

La independencia del camino también se expresa de manera equivalente como

{displaystyle int _{P_{c}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =0}

P_{c}

U

P_{c}

P_{1}

A

B

P_{2}

B

A

{displaystyle int _{P_{c}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} +int _{P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} -int _{-P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =0}

{displaystyle -P_{2}}

P_{2}

{textstyle int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{-P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r}.}

Campo vectorial conservador

Una propiedad clave de un campo vectorial conservador $mathbf {v}$ es que su integral a lo largo de un camino depende sólo de los puntos finales de ese camino, no de la ruta particular tomada. En otras palabras, si es un campo vectorial conservador, entonces su línea integral es independiente del camino. Supongamos que ${displaystyle mathbf {v} =nabla varphi }$ para algunos $C^{1}$ (continuamente diferenciable) campo escalar $varphi$ sobre $U$ como subconjunto abierto de $mathbb {R} ^{n}$ (so $mathbf {v}$ es un campo vectorial conservador que es continuo) y $P$ es un camino diferenciable (es decir, puede ser parametizado por una función diferente) en $U$ con un punto inicial $A$ y un punto terminal $B$ . Entonces el teorema gradiente (también llamado teorema fundamental de cálculo para integrales lineales) declara que

{displaystyle int _{P}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }=varphi (B)-varphi (A).}

Esto tiene como consecuencia la definición de una línea integral, la regla de la cadena y el segundo teorema fundamental del cálculo. ${displaystyle mathbf {v} cdot dmathbf {r} =nabla {varphi }cdot dmathbf {r} }$ in the line integral is an exact differential for an orthogonal coordinate system (e.g., Cartesian, cylindrical, or spherical coordinates). Dado que el teorema gradiente es aplicable para un camino diferenciable, la independencia del camino de un campo vectorial conservador sobre curvas fragmentarias-diferenciales también es probada por el componente de curva de prueba por componente diferenciable.

Hasta ahora se ha demostrado que un campo vectorial conservador $mathbf {v}$ es line integral path-independiente. Por el contrario, si un campo vectorial continuo $mathbf {v}$ es (línea integral) independiente del camino, entonces es un campo vectorial conservador, por lo que la siguiente declaración bicondicional sostiene:

Para un campo vectorial continuo

{displaystyle mathbf {v}:Uto mathbb {R} ^{n}}

, donde

U

es un subconjunto abierto de

mathbb {R} ^{n}

, es conservador si y sólo si su línea integral a lo largo de un camino en

U

es el camino-independiente, lo que significa que la línea integral depende sólo de ambos puntos finales del camino, independientemente de cuál camino entre ellos es elegido.

La prueba de esta afirmación inversa es la siguiente.

$mathbf {v}$ es un campo vectorial continuo que la línea integral es la ruta-independiente. Entonces, hagamos una función $varphi$ definidas

{displaystyle varphi (x,y)=int _{a,b}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }}

(a,b)

(x,y)

(a,b)

(x,y)

Escojamos el camino que se muestra en la izquierda de la figura derecha donde se utiliza un sistema de coordenadas cartesiana de 2 dimensiones. El segundo segmento de este camino es paralelo al $x$ eje así que no hay cambio a lo largo del $y$ Axis. La línea integral a lo largo de este camino es

{displaystyle int _{a,b}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }=int _{a,b}^{x_{1},y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }+int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }.}

x

varphi

mathbf {v}

{displaystyle {frac {partial varphi }{partial x}}={frac {partial }{partial x}}int _{a,b}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }={frac {partial }{partial x}}int _{a,b}^{x_{1},y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }+{frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }=0+{frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }}

x_{1}

x

mathbf {v}

{displaystyle {displaystyle mathbf {v} }=P(x,y)mathbf {i} +Q(x,y)mathbf {j} }

mathbf{i}

mathbf {j}

x

y

{displaystyle dmathbf {r} =dxmathbf {i} +dymathbf {j} }

{displaystyle {frac {partial }{partial x}}varphi (x,y)={frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot dmathbf {r} ={frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)}

Un enfoque similar para la trayectoria integral de la línea que se muestra en el derecho de la figura correcta resulta en ${textstyle {frac {partial }{partial y}}varphi (x,y)=Q(x,y)}$ Así que...

{displaystyle mathbf {v} =P(x,y)mathbf {i} +Q(x,y)mathbf {j} ={frac {partial varphi }{partial x}}mathbf {i} +{frac {partial varphi }{partial y}}mathbf {j} =nabla varphi }

Campos vectoriales irritacionales

Vamos $n = 3$ (3-dimensional espacio), y ${displaystyle mathbf {v}:Uto mathbb {R} ^{3}}$ ser un $C^{1}$ (continuamente diferenciable) campo vectorial, con un subconjunto abierto $U$ de $mathbb {R} ^{n}$ . Entonces... $mathbf {v}$ se llama irrotacional si y sólo si su rizo es $mathbf {0}$ en todas partes $U$ , es decir, si

{displaystyle nabla times mathbf {v} equiv mathbf {0}.}

Por esta razón, estos campos vectoriales a veces se denominan campos vectoriales sin curvaturas o campos vectoriales sin curvaturas. También se les conoce como campos vectoriales longitudinales.

Es una identidad de cálculo vectorial que para cualquier $C^{2}$ (continuamente diferenciable hasta el segundo derivado) campo escalar $varphi$ on $U$ , tenemos

{displaystyle nabla times (nabla varphi)equiv mathbf {0}.}

Por lo tanto, cada uno $C^{1}$ campo de vectores conservadores $U$ es también un campo vectorial irrotacional $U$ . Este resultado se puede probar fácilmente expresando ${displaystyle nabla times (nabla varphi)}$ en un sistema de coordenadas cartesiano con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre igualdad de parciales mixtos).

Siempre $U$ es un espacio abierto simplemente conectado (aproximadamente hablando, un espacio abierto de una sola pieza sin un agujero dentro de él), el contrario de esto es también cierto: Cada campo vectorial irrotacional en un espacio abierto simplemente conectado $U$ es un $C^{1}$ campo de vectores conservadores $U$ .

La declaración anterior es no verdadero en general $U$ no está simplemente conectado. Vamos $U$ Ser $mathbb{R} ^{3}$ con la eliminación de todas las coordenadas en $z$ -eje (no es simplemente un espacio conectado), es decir, ${displaystyle U=mathbb {R} ^{3}setminus {(0,0,z)mid zin mathbb {R} }}$ . Ahora, definir un campo vectorial $mathbf {v}$ on $U$ por

{displaystyle mathbf {v} (x,y,z)~{stackrel {text{def}}{=}}~left(-{frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0right).}

Entonces... $mathbf {v}$ tiene cero rizo por todas partes $U$ () ${displaystyle nabla times mathbf {v} equiv mathbf {0} }$ en todas partes $U$ ), es decir, $mathbf {v}$ es irrotacional. Sin embargo, la circulación de $mathbf {v}$ alrededor del círculo de la unidad en el $xy$ - El avión es $2pi$ ; en coordenadas polares, ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {e} _{phi }/r}$ , así que la parte integral sobre el círculo de la unidad es

{displaystyle oint _{C}mathbf {v} cdot mathbf {e} _{phi }~d{phi }=2pi.}

Por lo tanto, $mathbf {v}$ no tiene la propiedad camino-independencia discutida anteriormente, así que no es conservador incluso si ${displaystyle nabla times mathbf {v} equiv mathbf {0} }$ desde entonces $U$ Donde $mathbf {v}$ se define no es simplemente un espacio abierto conectado.

Repite, en una región abierta simplemente conectada, un campo vectorial irrotacional $mathbf {v}$ tiene la propiedad camino-independencia (so $mathbf {v}$ como conservador). Esto se puede probar directamente usando el teorema de Stokes,

{displaystyle oint _{P_{c}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =iint _{A}(nabla times mathbf {v})cdot dmathbf {a} =0}

A

P_{c}

En una región abierta simplemente conectada, cualquier

C^{1}

campo vectorial que tiene la propiedad camino-independencia (por lo que es un campo vectorial conservador). también debe ser irrotacional y vise versa.

Abstracción

Más abstracto, en presencia de campos métricos Riemannianos, vectoriales corresponden a diferencial $1$ -formas. Los campos vectoriales conservadores corresponden a lo exacto $1$ -formas, es decir, a las formas que son el derivado exterior $dphi$ de una función (campo escalar) $phi$ on $U$ . Los campos vectoriales irrotacionales corresponden a los cerrados $1$ -formas, es decir, al $1$ -formas $omega$ tales que ${displaystyle domega =0}$ . As $d^2 = 0$ , cualquier forma exacta está cerrada, por lo que cualquier campo vectorial conservador es irrotacional. Por el contrario, todo cerrado $1$ -formas son exactos si $U$ simplemente está conectado.

Vorticidad

El vorticidad ${boldsymbol {omega }}$ de un campo vectorial se puede definir por:

{displaystyle {boldsymbol {omega }}~{stackrel {text{def}}{=}}~nabla times mathbf {v}.}

La vorticidad de un campo irrotacional es cero en todas partes. El teorema de circulación de Kelvin establece que un fluido que es irrotacional en un flujo no viscoso seguirá siendo irrotacional. Este resultado se puede derivar de la ecuación de transporte de vorticidad, obtenida tomando el rizo de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Para un campo bidimensional, la vorticidad actúa como una medida de la rotación local de los elementos fluidos. Tenga en cuenta que la vorticidad no implica nada sobre el comportamiento global de un fluido. Es posible que un fluido que viaja en línea recta tenga vorticidad y es posible que un fluido que se mueve en círculo sea irrotacional.

Fuerzas conservadoras

Si el campo vectorial asociado a una fuerza $mathbf {F}$ es conservador, entonces se dice que la fuerza es una fuerza conservadora.

Los ejemplos más destacados de fuerzas conservadoras son una fuerza gravitacional y una fuerza eléctrica asociada a un campo electrostático. Según la ley de gravedad de Newton, una fuerza gravitatoria ${displaystyle mathbf {F} _{G}}$ actuando en una masa $m$ debido a una masa $M$ situado a una distancia $r$ desde $m$ , obedece la ecuación

{displaystyle mathbf {F} _{G}=-{frac {GmM}{r^{2}}}{hat {mathbf {r} }},}

Donde $G$ es la constante gravitacional y ${hat {mathbf {r} }}$ es un unidad vector apuntando desde $M$ Hacia $m$ . La fuerza de la gravedad es conservadora porque ${displaystyle mathbf {F} _{G}=-nabla Phi _{G}}$ , donde

{displaystyle Phi _{G}~{stackrel {text{def}}{=}}-{frac {GmM}{r}}}

es la energía potencial gravitacional. En otras palabras, el campo de la gravedad ${displaystyle {frac {mathbf {F} _{G}}{m}}}$ asociado con la fuerza gravitacional ${displaystyle mathbf {F} _{G}}$ es el gradiente del potencial de gravedad ${displaystyle {frac {Phi _{G}}{m}}}$ asociado con la energía potencial gravitacional $Phi_{G}$ . Se puede demostrar que cualquier campo vectorial de la forma ${displaystyle mathbf {F} =F(r){hat {mathbf {r} }}}$ es conservador, siempre que $F(r)$ es integrador.

Para las fuerzas conservadoras, la independencia puede ser interpretado para significar que el trabajo hecho en ir desde un punto $A$ a un punto $B$ es independiente del camino de movimiento elegido (dependiendo sólo de los puntos $A$ y $B$ ), y que el trabajo $W$ hecho en ir alrededor de un simple bucle cerrado $C$ es ${displaystyle 0}$ :

{displaystyle W=oint _{C}mathbf {F} cdot d{mathbf {r} }=0.}

La energía total de una partícula que se mueve bajo la influencia de fuerzas conservativas se conserva, en el sentido de que una pérdida de energía potencial se convierte en una cantidad igual de energía cinética, o viceversa.

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