Campo vectorial

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Asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano

Una porción del campo vectorial (pecadoSí., pecadox)

En cálculo vectorial y física, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio. Por ejemplo, un campo vectorial en el plano se puede visualizar como una colección de flechas con una magnitud y dirección dadas, cada una unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento en el espacio, o la intensidad y la dirección de alguna fuerza, como la fuerza magnética o gravitatoria, cuando cambia de un punto a otro.

Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa una fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria y, bajo esta interpretación, la conservación de la energía se presenta como un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Puede pensarse útilmente que los campos vectoriales representan la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio del volumen de un flujo) y rotacional (que representa la rotación de un flujo).

En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en un espacio euclidiano de n dimensiones se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una tupla n de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y existe una ley de transformación bien definida al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales a menudo se analizan en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos, como las superficies, donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente).

De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables, que son espacios que se parecen al espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas más grandes. En esta configuración, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del paquete tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial.

Definición

Campos vectoriales en subconjuntos del espacio euclidiano

Dos representaciones del mismo campo vectorial: v()x, Sí.) = −r. Las flechas representan el campo en puntos discretos, sin embargo, el campo existe en todas partes.

Dado un subconjunto $S$ en $R n$ , un campo vectorial está representado por una función con valores vectoriales $V : S \to R n$ en coordenadas cartesianas estándar $(x 1, \dots, x n)$ . Si cada componente de $V$ es continuo, entonces $V$ es un campo vectorial continuo, y más generalmente $V$ es un $C k$ campo vectorial si cada componente de $V$ es $k$ veces continuamente diferenciable.

Un campo vectorial se puede visualizar asignando un vector a puntos individuales dentro de un espacio de n dimensiones.

Dados dos campos vectoriales $C k$ $V$ , $W$ definido en $S$ y una función $C k$ de valor real $f$ definido en $S$ , las dos operaciones multiplicación escalar y suma vectorial

{displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}

{displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p)}

C k

C k

f id () p) 1

Ley de transformación de coordenadas

En física, un vector se distingue además por cómo cambian sus coordenadas cuando se mide el mismo vector con respecto a un sistema de coordenadas de fondo diferente. Las propiedades de transformación de los vectores distinguen un vector como una entidad geométricamente distinta de una simple lista de escalares o de un covector.

Por lo tanto, supongamos que $(x 1,..., x n)$ es una elección de coordenadas cartesianas, en términos de las cuales los componentes del vector $V$ son

{displaystyle V_{x}=(V_{1,x},dotsV_{n,x})}

Sí.₁Sí._nnx_iV

{displaystyle V_{i,y}=sum _{j=1}^{n}{frac {partial y_{i}}{partial x_{j}}}V_{j,x}.}

()1)

Esta ley de transformación se llama contravariante. Una ley de transformación similar caracteriza a los campos vectoriales en física: específicamente, un campo vectorial es una especificación de n funciones en cada sistema de coordenadas sujeto a la ley de transformación (1) que relaciona las diferentes sistemas coordinados.

Los campos vectoriales se contrastan así con los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto del espacio, y también se contrastan con simples listas de campos escalares, que no se transforman con cambios de coordenadas.

Campos vectoriales en variedades

Un campo vectorial en una esfera

Dado un manifold diferente $M$ , a vector de campo on $M$ es una asignación de un vector tangente a cada punto en $M$ . Más precisamente, un campo vectorial $F$ es un mapeo de $M$ en el paquete tangente $TM$ así $pcirc F$ es la cartografía de identidad Donde $p$ denota la proyección de $TM$ a $M$ . En otras palabras, un campo vectorial es una sección del paquete tangente.

Una definición alternativa: Un campo vectorial suave $X$ en un manifold $M$ es un mapa lineal ${displaystyle X:C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}$ tales que $X$ es una derivación: ${displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$ para todos ${displaystyle f,gin C^{infty }(M)}$ .

Si el manifold $M$ es lisa o analítica, es decir, el cambio de coordenadas es suave (analítica) – entonces uno puede tener sentido de la noción de campos vectoriales lisos (analíticos). La colección de todos los campos vectoriales lisos en un conjunto suave $M$ a menudo se denota ${displaystyle Gamma (TM)}$ o ${displaystyle C^{infty }(M,TM)}$ (especialmente cuando se piensa en campos vectoriales como secciones); la colección de todos los campos vectoriales lisos también se denota por ${textstyle {mathfrak {X}}(M)}$ (un fraktur "X").

Ejemplos

El campo de flujo alrededor de un avión es un campo vectorial R³, aquí visualizado por burbujas que siguen las aerolíneas mostrando un vórtice de alatip.

Los campos vectoriales se utilizan comúnmente para crear patrones en gráficos de computadora. Aquí: composición abstracta de curvas siguiendo un campo vectorial generado con el ruido OpenSimplex.

Un campo vectorial para el movimiento del aire en la Tierra asociará para cada punto en la superficie de la Tierra un vector con la velocidad y dirección del viento para ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "alto" en el mapa habitual de presión barométrica actuaría como fuente (flechas apuntando lejos), y un "bajo" sería un fregadero (flechas apuntando hacia), ya que el aire tiende a pasar de áreas de alta presión a áreas de baja presión.
Campo de velocidad de un fluido en movimiento. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto del fluido.
Las líneas de corriente, las rayas y las líneas de ruta son 3 tipos de líneas que pueden ser hechas de campos vectoriales (tiempo-dependiente). Son:
- estreaklines: la línea producida por partículas pasando por un punto fijo específico sobre varias veces
- pautas: mostrando el camino que una partícula dada (de masa cero) seguiría.
- racionalizaciones (o líneas de campo): el camino de una partícula influenciada por el campo instantáneo (es decir, el camino de una partícula si el campo se mantiene fijo).
Campos magnéticos. Las líneas de campo pueden ser reveladas usando pequeños archivos de hierro.
Las ecuaciones de Maxwell nos permiten utilizar un determinado conjunto de condiciones iniciales y de límites para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano, una magnitud y dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial resultante es el campo electromagnético.
Un campo gravitacional generado por cualquier objeto masivo es también un campo vectorial. Por ejemplo, los vectores de campo gravitacional para un cuerpo esférico simétrico apuntarían hacia el centro de la esfera con la magnitud de los vectores reduciendo a medida que aumenta la distancia radial del cuerpo.

Campo degradado en espacios euclidianos

Un campo vectorial que tiene circulación sobre un punto no puede ser escrito como el gradiente de una función.

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador de gradiente (indicado por del: ∇).

Un campo vectorial V definido en un conjunto abierto S se denomina campo de gradiente o campo conservativo si existe una función de valor real (un campo escalar) f en S tal que

{displaystyle V=nabla f=left({frac {partial f}{partial x_{1}}},{frac {partial f}{partial x_{2}}},{frac {partial f}{partial x_{3}}},dots{frac {partial f}{partial x_{n}}}right).}

El flujo asociado se denomina flujo de gradiente, y se utiliza en el método de descenso de gradiente.

La integral de trayectoria a lo largo de cualquier curva cerrada γ (γ(0) = γ(1)) en un campo conservativo es cero:

{displaystyle oint _{gamma }V(mathbf {x})cdot mathrm {d} mathbf {x} =oint _{gamma }nabla f(mathbf {x})cdot mathrm {d} mathbf {x} =f(gamma (1))-f(gamma (0)).}

Campo central en espacios euclidianos

Un campo vectorial $C \infty$ sobre $R n {0}$ se denomina campo central si

{displaystyle V(T(p))=T(V(p))qquad (Tin mathrm {O} (n,mathbb {R}))}

O... n, R)

El punto 0 se llama el centro del campo.

Dado que las transformaciones ortogonales son en realidad rotaciones y reflexiones, las condiciones de invariancia significan que los vectores de un campo central siempre están dirigidos hacia o desde 0; esta es una definición alternativa (y más simple). Un campo central es siempre un campo de gradiente, ya que definirlo en un semieje e integrarlo da un antigradiente.

Operaciones sobre campos vectoriales

Integral de línea

Una técnica común en física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva, también llamada determinación de su integral de línea. Intuitivamente, esto es sumar todos los componentes del vector en línea con las tangentes a la curva, expresadas como sus productos escalares. Por ejemplo, dada una partícula en un campo de fuerza (por ejemplo, la gravitación), donde cada vector en algún punto del espacio representa la fuerza que actúa allí sobre la partícula, la integral de línea a lo largo de un cierto camino es el trabajo realizado sobre la partícula, cuando viaja por este camino. Intuitivamente, es la suma de los productos escalares del vector fuerza y el vector tangente pequeño en cada punto a lo largo de la curva.

La integral de línea se construye de manera análoga a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene una longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial $V$ y una curva $γ$ , parametrizado por $t$ en $[a, b]$ (donde $a$ y $b$ son números reales), la integral de línea se define como

{displaystyle int _{gamma }V(mathbf {x})cdot mathrm {d} mathbf {x} =int _{a}^{b}V(gamma (t))cdot {dot {gamma }}(t),mathrm {d} t.}

Para mostrar la topología de campo vectorial, se puede utilizar la convolución integral de línea.

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial en el espacio euclidiano es una función (o campo escalar). En tres dimensiones, la divergencia se define por

{displaystyle operatorname {div} mathbf {F} =nabla cdot mathbf {F} ={frac {partial F_{1}}{partial x}}+{frac {partial F_{2}}{partial y}}+{frac {partial F_{3}}{partial z}},}

con la generalización obvia a dimensiones arbitrarias. La divergencia en un punto representa el grado en que un pequeño volumen alrededor del punto es una fuente o un sumidero para el flujo vectorial, resultado que se precisa mediante el teorema de la divergencia.

La divergencia también se puede definir en una variedad de Riemann, es decir, una variedad con una métrica de Riemann que mide la longitud de los vectores.

Rizos en tres dimensiones

El rotacional es una operación que toma un campo vectorial y produce otro campo vectorial. El rizo se define solo en tres dimensiones, pero algunas propiedades del rizo se pueden capturar en dimensiones más altas con la derivada exterior. En tres dimensiones, se define por

{displaystyle operatorname {curl} mathbf {F} =nabla times mathbf {F} =left({frac {partial F_{3}}{partial y}}-{frac {partial F_{2}}{partial z}}right)mathbf {e} _{1}-left({frac {partial F_{3}}{partial x}}-{frac {partial F_{1}}{partial z}}right)mathbf {e} _{2}+left({frac {partial F_{2}}{partial x}}-{frac {partial F_{1}}{partial y}}right)mathbf {e} _{3}.}

El rotacional mide la densidad del momento angular del flujo vectorial en un punto, es decir, la cantidad a la que circula el flujo alrededor de un eje fijo. Esta descripción intuitiva se hace precisa por Stokes' teorema.

Índice de un campo vectorial

El índice de un campo vectorial es un número entero que ayuda a describir el comportamiento de un campo vectorial alrededor de un cero aislado (es decir, una singularidad aislada del campo). En el plano, el índice toma el valor −1 en una singularidad silla pero +1 en una singularidad fuente o sumidero.

Sea n la dimensión de la variedad en la que se define el campo vectorial. Tome una pequeña esfera S alrededor del cero para que ningún otro cero quede en el interior de S. Se puede construir un mapa de esta esfera a una esfera unidad de dimensiones n − 1 dividiendo cada vector en este esfera por su longitud para formar un vector de longitud unitaria, que es un punto en la esfera unitaria Sⁿ⁻¹. Esto define un mapa continuo de S a Sⁿ⁻¹. El índice del campo vectorial en el punto es el grado de este mapa. Se puede demostrar que este número entero no depende de la elección de S y, por lo tanto, depende solo del campo vectorial en sí.

El índice del campo vectorial como un todo se define cuando tiene un número finito de ceros. En este caso, todos los ceros están aislados y el índice del campo vectorial se define como la suma de los índices en todos los ceros.

El índice no está definido en ningún punto no singular (es decir, un punto donde el vector no es cero). Es igual a +1 alrededor de una fuente, y más generalmente igual a (−1)^k alrededor de una silla que tiene dimensiones de contracción k y n−k dimensiones de expansión. Para una esfera ordinaria (bidimensional) en un espacio tridimensional, se puede demostrar que el índice de cualquier campo vectorial en la esfera debe ser 2. Esto muestra que cada campo vectorial debe tener un cero. Esto implica el teorema de la bola peluda, que establece que si se asigna un vector en R³ a cada punto de la esfera unitaria S² en un forma continua, entonces es imposible "peinar los pelos planos", es decir, elegir los vectores de forma continua tal que todos sean distintos de cero y tangentes a S².

Para un campo vectorial en una variedad compacta con un número finito de ceros, el teorema de Poincaré-Hopf establece que el índice del campo vectorial es igual a la característica de Euler de la variedad.

Intuición física

Líneas de campo magnético de una barra de hierro (dipolo magnético)

Michael Faraday, en su concepto de líneas de fuerza, enfatizó que el campo en sí mismo debería ser un objeto de estudio, lo que se ha convertido a lo largo de la física en forma de teoría del campo.

Además del campo magnético, otros fenómenos modelados por Faraday incluyen el campo eléctrico y el campo de luz.

En las últimas décadas, muchas formulaciones fenomenológicas de dinámica irreversible y ecuaciones de evolución en física, desde la mecánica de fluidos y sólidos complejos hasta la cinética química y la termodinámica cuántica, han convergido hacia la idea geométrica del "ascenso de entropía más pronunciado" o "flujo de gradiente" como un marco de modelado universal consistente que garantiza la compatibilidad con la segunda ley de la termodinámica y extiende los resultados conocidos de casi equilibrio, como la reciprocidad de Onsager, al reino del no equilibrio lejano.

Curvas de flujo

Considere el flujo de un fluido a través de una región del espacio. En cualquier momento dado, cualquier punto del fluido tiene asociada una velocidad particular; por lo tanto, hay un campo vectorial asociado a cualquier flujo. Lo contrario también es cierto: es posible asociar un flujo a un campo vectorial que tiene ese campo vectorial como su velocidad.

Dado un campo vectorial V definido en S, uno define curvas γ(t) en S tal que para cada t en un intervalo I,

{displaystyle gamma '(t)=V(gamma (t)),.}

Según el teorema de Picard-Lindelöf, si V es continua de Lipschitz, hay un único C¹- curva γ_x para cada punto x en S de modo que, para algunos ε > 0,

{displaystyle {begin{aligned}gamma _{x}(0)&=x\gamma '_{x}(t)&=V(gamma _{x}(t))qquad forall tin (-varepsilon+varepsilon)subset mathbb {R}.end{aligned}}}

Las curvas γ_x se denominan curvas integrales o trayectorias (o menos comúnmente, líneas de flujo) del campo vectorial V y dividir S en clases de equivalencia. No siempre es posible extender el intervalo $(-ε, +ε)$ a toda la recta numérica real. El flujo puede, por ejemplo, alcanzar el borde de S en un tiempo finito. En dos o tres dimensiones, uno puede visualizar el campo vectorial dando lugar a un flujo en S. Si dejamos caer una partícula en este flujo en un punto p, se moverá a lo largo de la curva γ_p en el flujo en función del punto inicial p. Si p es un punto estacionario de V (es decir, el campo vectorial es igual al vector cero en el punto p), entonces la partícula permanecerá en p.

Las aplicaciones típicas son la línea de ruta en fluidos, flujo geodésico y subgrupos de un parámetro y el mapa exponencial en grupos de Lie.

Campos vectoriales completos

Por definición, un campo vectorial se llama completo si cada una de sus curvas de flujo existen durante todo el tiempo. En particular, los campos vectoriales compatibles compactamente en un múltiple son completos. Si $X$ es un campo vectorial completo $M$ , entonces el grupo de un parámetro de diffeomorfismos generados por el flujo a lo largo $X$ existe para siempre. En un manifold compacto sin límites, cada campo vectorial liso está completo. Un ejemplo de un incompleto vector de campo $V$ en la línea real $mathbb {R}$ es dado por ${displaystyle V(x)=x^{2}}$ . Para, la ecuación diferencial ${textstyle x'(t)=x^{2}}$ , con condición inicial ${displaystyle x(0)=x_{0}}$ , tiene como solución única ${textstyle x(t)={frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ si ${displaystyle x_{0}neq 0}$ (y) ${displaystyle x(t)=0}$ para todos ${displaystyle tin mathbb {R} }$ si $x_{0}=0$ ). Por lo tanto ${displaystyle x_{0}neq 0}$ , $x(t)$ es indefinido ${textstyle t={frac {1}{x_{0}}}}$ así no se puede definir para todos los valores $t$ .

F-relaciones

Dada una función suave entre variedades, f: M → N, la derivada es un mapa inducido en fibrados tangentes, f_*: TM → TN. Campos vectoriales dados V: M → TM y W: N → TN, decimos que W está relacionado f con V si la ecuación W ∘ f = f_∗ ∘ V se cumple.

Si V_i está relacionado f con W_i, i = 1, 2, luego el corchete de mentira [V₁, V₂ ] está relacionado con f con [W₁, W₂].

Generalizaciones

Reemplazar vectores por p-vectores (pésima potencia exterior de los vectores) produce campos vectoriales p; tomar el espacio dual y las potencias exteriores produce formas k diferenciales, y combinarlas produce campos de tensores generales.

Algebraicamente, los campos vectoriales se pueden caracterizar como derivaciones del álgebra de funciones suaves en la variedad, lo que lleva a definir un campo vectorial en un álgebra conmutativa como una derivación en el álgebra, que se desarrolla en la teoría del cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas.

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