Campo ordenado

En matemáticas, un campo ordenado es un campo junto con una ordenación total de sus elementos que es compatible con las operaciones de campo. El ejemplo básico de un campo ordenado es el campo de los números reales, y todo campo ordenado completo de Dedekind es isomorfo a los reales.

Cada subcampo de un campo ordenado también es un campo ordenado en el orden heredado. Cada campo ordenado contiene un subcampo ordenado que es isomorfo a los números racionales. Los cuadrados son necesariamente no negativos en un campo ordenado. Esto implica que los números complejos no se pueden ordenar ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es −1 (que es negativo en cualquier campo ordenado). Los campos finitos no se pueden ordenar.

Históricamente, la axiomatización de un campo ordenado fue abstraída gradualmente de los números reales por matemáticos como David Hilbert, Otto Hölder y Hans Hahn. Esto se convirtió finalmente en la teoría de Artin-Schreier de campos ordenados y campos formalmente reales.

Definiciones

Hay dos definiciones comunes equivalentes de un campo ordenado. La definición de total apareció primero históricamente y es una axiomatización de primer orden ${displaystyle ,leq ,}$ como un predicado binario. Artin y Schreier dieron la definición en términos de positivo en 1926, que axiomatiza la subcollección de elementos no negativos. Aunque este último es de orden superior, viendo conos positivos como maximal conos prepositivos proporciona un contexto más amplio en el que los pedidos de campo son extremal Ordenaciones parciales.

Pedido total

Un campo ${displaystyle (F,+,cdot ,)}$ con un orden total (stricto) ${displaystyle ,tratado,}$ on ${displaystyle F}$ es un campo ordenado si el pedido satisface las siguientes propiedades para todos ${displaystyle a,b,cin F:}$

• si ${displaystyle a meantb}$ entonces ${displaystyle a+ccantab+c,}$ y
• si ${displaystyle 0 realizadasa}$ y ${displaystyle 0 realizadasb}$ entonces ${displaystyle 0 b.}$

Cono positivo

A cono prepositivo o preordenación de un campo ${displaystyle F}$ es un subconjunto ${displaystyle Psubseteq F}$ que tiene las siguientes propiedades:

• Para ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ dentro ${displaystyle P,}$ ambos ${displaystyle x+y)$ y ${displaystyle xcdot y}$ están dentro ${displaystyle P.}$
• Si ${displaystyle xin F,}$ entonces ${displaystyle x^{2}in P.}$ En particular, ${displaystyle 1^{2}=1in P.}$
• El elemento ${displaystyle -1}$ no está ${displaystyle P.}$

A campo preordenado es un campo equipado con un preordenado ${displaystyle P.}$ Sus elementos no cero ${displaystyle P^{*}$ formar un subgrupo del grupo multiplicativo ${displaystyle F.}$

Si además, el conjunto ${displaystyle F}$ es la unión de ${displaystyle P}$ y ${displaystyle -P.$ Nosotros llamamos ${displaystyle P}$ a positivo de ${displaystyle F.}$ Los elementos no cero de ${displaystyle P}$ son llamados positivo elementos ${displaystyle F.}$

Un campo ordenado es un campo ${displaystyle F}$ junto con un cono positivo ${displaystyle P.}$

Los preordenamientos en ${displaystyle F}$ son precisamente las intersecciones de familias de conos positivos en ${displaystyle F.}$ Los conos positivos son los preordenamientos máximos.

Equivalencia de las dos definiciones

Vamos ${displaystyle F}$ Sé un campo. Hay una bijeción entre los pedidos de campo de ${displaystyle F}$ y los conos positivos de ${displaystyle F.}$

Dado un campo ordenando ≤ como en la primera definición, el conjunto de elementos tales que ${displaystyle xgeq 0}$ formas un cono positivo ${displaystyle F.}$ Por el contrario, dado un cono positivo ${displaystyle P}$ de ${displaystyle F}$ como en la segunda definición, se puede asociar un orden total ${displaystyle ,leq _{P},}$ on ${displaystyle F}$ por configuración ${displaystyle xleq _{P}y}$ significar ${displaystyle y-xin P.}$ Este pedido total ${displaystyle ,leq _{P},}$ satisface las propiedades de la primera definición.

Ejemplos de campos ordenados

Ejemplos de campos ordenados son:

• los números racionales
• los números reales
• cualquier subcampo de un campo ordenado, tales como los números algebraicos reales o números computables
• sobre el terreno ${displaystyle mathbb {Q} (x)}$ de las funciones racionales ${displaystyle p(x)/q(x)}$, donde ${displaystyle p(x)}$ y ${displaystyle q(x)}$ son polinomios con coeficientes racionales, ${displaystyle q(x)neq 0,}$, se puede hacer en un campo ordenado por fijar un número trascendental real ${displaystyle alpha }$ y definición ${displaystyle p(x)/q(x)}$ si ${displaystyle p(alpha)/q(alpha)}$. Esto es equivalente a la incrustación ${displaystyle mathbb {Q} (x)}$ en ${displaystyle mathbb {R}$ y restricción de la orden ${displaystyle mathbb {R}$ a un orden de la imagen ${displaystyle mathbb {Q} (x)}$.
• sobre el terreno ${displaystyle mathbb {R} (x)}$ de las funciones racionales ${displaystyle p(x)/q(x)}$, donde ${displaystyle p(x)}$ y ${displaystyle q(x)}$ son polinomios con coeficientes reales, ${displaystyle q(x)neq 0,}$, se puede hacer en un campo ordenado donde el polinomio ${displaystyle p(x)=x}$ es mayor que cualquier polinomio constante, definiendo ${displaystyle p(x)/q(x)}$ para significar que ${displaystyle P_{n}/q_{m}0}$, donde ${displaystyle p_{n}neq 0}$ y ${displaystyle q_{m}neq 0}$ son los principales coeficientes de ${displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+dots #$ y ${displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+dots #$, respectivamente. Este campo ordenado no es Arquímedes.
• El campo ${displaystyle mathbb {R} (x)}$ de la serie formal Laurent con coeficientes reales, donde x se toma para ser infinitesimal y positivo
• las transseries
• campos cerrados reales
• los números superreal
• los números hiperreal

Los números surrealistas forman una clase propia en lugar de un conjunto, pero por lo demás obedecen a los axiomas de un campo ordenado. Cada campo ordenado se puede incrustar en los números surrealistas.

Propiedades de los campos ordenados

La propiedad ${displaystyle a título0land x seccionyRightarrow ax se hizo i}$

La propiedad ${displaystyle x wonyRightarrow a+x$

Para cada a, b, c, d en F:

• O −a ≤ 0 ≤ a o a ≤ 0 -a.
• Uno puede "desigualdades": si a ≤ b y c ≤ d, entonces a + c ≤ b + d.
• Uno puede "desigualmente desigualdades con elementos positivos": si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc.
• Transitividad de la desigualdad: si a. b y b. c, entonces a. c.
• Si a. b y a, b Ø 0, entonces 1/b 1/a.
• Un campo ordenado tiene características 0. (Desde 1 ≤ 0, luego 1 + 1 ± 0, y 1 + 1 + 1 título 0, etc. Si el campo tenía características p > 0, entonces −1 sería la suma de p− 1 uno, pero −1 no es positivo.) En particular, no se pueden ordenar campos finitos.
• Las plazas no son negativas: 0 ≤ a² para todos a dentro F.
• Cada suma no-trivial de cuadrados no es cero. Equivalentemente: ${displaystyle textstyle sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ a_{k}=0.}$

Cada subcampo de un campo ordenado también es un campo ordenado (heredando el ordenamiento inducido). El subcampo más pequeño es isomorfo a los racionales (como para cualquier otro campo de característica 0), y el orden en este subcampo racional es el mismo que el orden de los propios racionales. Si cada elemento de un campo ordenado se encuentra entre dos elementos de su subcampo racional, entonces se dice que el campo es Arquímedes. De lo contrario, dicho campo es un campo ordenado no arquimediano y contiene infinitesimales. Por ejemplo, los números reales forman un campo de Arquímedes, pero los números hiperreales forman un campo que no es de Arquímedes, porque extiende los números reales con elementos mayores que cualquier número natural estándar.

Un campo ordenado F es isomorfo al campo de números reales R si cada subconjunto no vacío de F con un límite superior en < i>F tiene un límite superior mínimo en F. Esta propiedad implica que el campo es de Arquímedes.

Espacios vectoriales sobre un campo ordenado

Los espacios vectoriales (particularmente, n-espacios) sobre un campo ordenado exhiben algunas propiedades especiales y tienen algunas estructuras específicas, a saber: orientación, convexidad y producto interno definido positivamente. Consulte Espacio de coordenadas reales#Propiedades y usos geométricos para conocer las propiedades de Rⁿ, que se pueden generalizar a espacios vectoriales sobre otros campos ordenados.

Ordenabilidad de los campos

Todo campo ordenado es un campo formalmente real, es decir, 0 no se puede escribir como una suma de cuadrados distintos de cero.

Por el contrario, todo campo formalmente real puede equiparse con un orden total compatible, que lo convertirá en un campo ordenado. (No es necesario que este orden se determine de manera única). La prueba usa el lema de Zorn.

Los campos finitos y, más generalmente, los campos de característica positiva no se pueden convertir en campos ordenados, porque en la característica p, el elemento −1 se puede escribir como una suma de (p − 1) cuadrados 1². Los números complejos tampoco se pueden convertir en un campo ordenado, ya que −1 es un cuadrado de la unidad imaginaria i. Además, los números p-ádicos no se pueden ordenar, ya que según el lema de Hensel, Q₂ contiene una raíz cuadrada de −7, por lo que 1² +1²+1²+2²+(√−7)²=0, y Q_{< i>p} (p > 2) contiene una raíz cuadrada de 1−p, por lo tanto (p −1)⋅1²+(√1−p )²=0.

Topología inducida por el orden

Si F está equipado con la topología de orden que surge del orden total ≤, entonces los axiomas garantizan que las operaciones + y × son continuas, de modo que F es un campo topológico.

Topología Harrison

El Topología Harrison es una topología en el conjunto de pedidos X_F de un campo formalmente real F. Cada orden puede ser considerado como un grupo multiplicativo homomorfismo F^Alternativa sobre ±1. Dar ±1 la topología discreta y ±1^F la topología del producto induce la topología subespacial en X_F. El Harrison sets ${displaystyle H(a)={Pin X_{F}ain P}$ formar una subbasis para la topología Harrison. El producto es un espacio booleano (compacto, Hausdorff y totalmente desconectado), y X_F es un subconjunto cerrado, de nuevo Boolean.

Abanicos y campos superordenados

Un fan en F es un T de pedido anticipado con la propiedad de que si S es un subgrupo de índice 2 en F^∗ que contiene T − {0} y no contiene −1 entonces S es una ordenación (que es decir, S es cerrado bajo la suma). Un campo superordenado es un campo totalmente real en el que el conjunto de sumas de cuadrados forma un abanico.