Campo local

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Campo topológico localmente compacto

En matemáticas, un campo K se denomina campo local (no arquimediano) si es completo con respecto a una topología inducida por una valoración discreta v y si su campo residual k es finito. De manera equivalente, un campo local es un campo topológico localmente compacto con respecto a una topología no discreta. A veces, los números reales R y los números complejos C (con sus topologías estándar) también se definen como campos locales; esta es la convención que adoptaremos a continuación. Dado un campo local, la valoración definida en él puede ser de dos tipos, cada uno corresponde a uno de los dos tipos básicos de campos locales: aquellos en los que la valoración es arquimediana y aquellos en los que no lo es. En el primer caso, uno llama al campo local un campo local arquimediano, en el segundo caso, uno lo llama un campo local no arquimediano. Los campos locales surgen naturalmente en la teoría de números como complementos de campos globales.

Si bien los campos locales de Arquímedes han sido bastante conocidos en matemáticas durante al menos 250 años, los primeros ejemplos de campos locales no arquímedes, los campos de números p-ádicos para números primos positivos p, Fueron introducidos por Kurt Hensel a finales del siglo XIX.

Todo campo local es isomorfo (como un campo topológico) a uno de los siguientes:

Campos locales arquímicos (número de caracteres): los números reales R, y los números complejos C.
Campos locales no armenios de la característica cero: extensiones finitas de los números p-adic Q_p (donde) p es cualquier número principal).
Campos locales no armenios de características p (por p cualquier número primo dado): el campo de la serie formal Laurent F_q()T) sobre un campo finito F_q, donde q es un poder p.

En particular, de importancia en la teoría de números, las clases de campos locales se muestran como las completaciones de los campos numéricos algebraicos con respecto a su valoración discreta correspondiente a uno de sus ideales máximos. Los trabajos de investigación en la teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general, que solo requiere que el campo de residuos sea perfecto de característica positiva, no necesariamente finito. Este artículo utiliza la definición anterior.

Valor absoluto inducido

Dado tal valor absoluto en un campo K, se puede definir la siguiente topología en K: para un número real positivo m, definir el subconjunto B_m de K por

B_{m}:={ain K:|a|leq m}.

Entonces, b+B_m forman una base vecinal de b en K.

Por el contrario, un campo topológico con una topología compacta localmente no discreta tiene un valor absoluto que define su topología. Se puede construir utilizando la medida de Haar del grupo aditivo del campo.

Características básicas de los campos locales no arquimedianos

Para un campo local que no sea de Arquímedes F (con valor absoluto denotado por |·|), los siguientes objetos son importantes:

su anillo de enteros ${mathcal {O}}={ain F:|a|leq 1}$ que es un anillo de valoración discreto, es la bola de unidad cerrada F, y es compacto;
el unidades en su anillo de enteros ${mathcal {O}}^{times }={ain F:|a|=1}$ que forma un grupo y es la esfera unitaria F;
el único ideal no-cero ${mathfrak {m}}$ en su anillo de enteros que es su bola de unidad abierta $<math alttext="{displaystyle {ain F:|a|{}a▪ ▪ F:SilencioaSilencio.1}{displaystyle {ain F: habita habit1} <img alt="{ain F:|a|$ ;
un generador $varpi$ de ${mathfrak {m}}$ llamado uniformador de $F$ ;
su campo de residuos $k={mathcal {O}}/{mathfrak {m}}$ que es finito (ya que es compacto y discreto).

Todo elemento distinto de cero a de F se puede escribir como a = ϖⁿu con u una unidad y n un entero único. La valoración normalizada de F es la función sobreyectiva v: F → Z ∪ {∞} definido al enviar un a distinto de cero al entero único n tal que a = ϖⁿu con u una unidad, y enviando 0 a ∞. Si q es la cardinalidad del campo residuo, el valor absoluto sobre F inducido por su estructura como campo local viene dado por:

|a|=q^{{-v(a)}}.

Una definición equivalente y muy importante de un campo local no arquimediano es que es un campo completo con respecto a una valoración discreta y cuyo campo residual es finito.

Ejemplos

El p- números adictivos: el anillo de enteros de Q_p es el anillo de p- enteros adictivos Z_p. Su ideal primo es pZ_p y su campo de residuos Z/pZ. Todo elemento no cero de Q_p puede ser escrito como u pⁿ Donde u es una unidad en Z_p y n es un entero, entonces v()u pⁿ) n para la valoración normalizada.
La serie formal Laurent sobre un campo finito: el anillo de enteros de F_q()T) es el anillo de la serie de potencia formal F_q[[2]T]] Su ideal máximo es (T) (es decir, la serie de energía cuyo término constante es cero) y su campo de residuos es F_q. Su valoración normalizada está relacionada con el grado (más bajo) de una serie formal Laurent como sigue:
$vleft(sum _{{i=-m}}^{infty }a_{i}T^{i}right)=-m$ (donde) a_−m no es cero).
La serie formal Laurent sobre los números complejos es no un campo local. Por ejemplo, su campo de residuos es C[[2]T]]/(T) C, que no es finito.

Grupos de unidades superiores

El n^ésimo grupo unitario superior de un campo local no arquimediano F es

U^{{(n)}}=1+{mathfrak {m}}^{n}=left{uin {mathcal {O}}^{times }:uequiv 1,({mathrm {mod}},{mathfrak {m}}^{n})right}

para n≥ 1. El grupo U¹⁾ se llama grupo de unidades principales, y cualquier elemento de ella se llama un unidad principal. El grupo de unidad completa ${mathcal {O}}^{times }$ es denotado U⁽⁰⁾.

Los grupos unitarios superiores forman una filtración decreciente del grupo unitario

{mathcal {O}}^{times }supseteq U^{{(1)}}supseteq U^{{(2)}}supseteq cdots

cuyos cocientes están dados por

{mathcal {O}}^{times }/U^{{(n)}}cong left({mathcal {O}}/{mathfrak {m}}^{n}right)^{times }{text{ and }},U^{{(n)}}/U^{{(n+1)}}approx {mathcal {O}}/{mathfrak {m}}

para n≥ 1. (Aquí " $approx$ " significa un isomorfismo no canónico.)

Estructura del grupo unidad

El grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo local no arquimediano F es isomorfo a

F^{times }cong (varpi)times mu _{{q-1}}times U^{{(1)}}

donde q es el orden del campo de residuos, y μ_q−1 es el grupo de (q−1)st raíces de la unidad (en F). Su estructura como grupo abeliano depende de su característica:

Si F tiene características positivas p, entonces

F^{times }cong {mathbf {Z}}oplus {mathbf {Z}}/{(q-1)}oplus {mathbf {Z}}_{p}^{{mathbf {N}}}

Donde N denota los números naturales;

Si F tiene la característica cero (es decir, es una extensión finita Q_p grado d), entonces

F^{times }cong {mathbf {Z}}oplus {mathbf {Z}}/(q-1)oplus {mathbf {Z}}/p^{a}oplus {mathbf {Z}}_{p}^{d}

Donde a≥ 0 se define de modo que el grupo p- raíces de poder de la unidad en F es

mu _{{p^{a}}}

Teoría de campos locales

Esta teoría incluye el estudio de tipos de campos locales, extensiones de campos locales usando el lema de Hensel, extensiones de Galois de campos locales, grupos de ramificación filtraciones de grupos de Galois de campos locales, el comportamiento del mapa de normas en locales campos, el homomorfismo de reciprocidad local y el teorema de existencia en la teoría de campos de clases locales, la correspondencia local de Langlands, la teoría de Hodge-Tate (también llamada teoría p-adic Hodge), fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert en la teoría de campos de clases locales, véase, p.

Campos locales de dimensiones superiores

Un campo local a veces se denomina campo local unidimensional.

Un campo local no arquimediano puede verse como el campo de fracciones de la terminación del anillo local de un esquema aritmético unidimensional de rango 1 en su punto no singular.

Para un entero no negativo n, un campo local n-dimensional es un campo de valoración discreto completo cuyo campo residual es un (n − 1) campo local dimensional. Dependiendo de la definición de campo local, un campo local de dimensión cero es entonces un campo finito (con la definición utilizada en este artículo) o un campo perfecto de característica positiva.

Desde el punto de vista geométrico, los campos locales n-dimensionales con el último campo de residuo finito se asocian naturalmente a una bandera completa de subesquemas de un esquema aritmético n-dimensional.

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