Campo de fracciones

En álgebra abstracta, el campo de fracciones de un dominio integral es el campo más pequeño en el que se puede incrustar. La construcción del campo de fracciones se basa en la relación entre el dominio integral de los números enteros y el campo de los números racionales. Intuitivamente, consiste en proporciones entre elementos de dominio integral.

El campo de las fracciones de R{displaystyle R. a veces se denota Frac⁡ ⁡ ()R){displaystyle operatorname {Frac} (R)} o Quítate.⁡ ⁡ ()R){displaystyle operatorname {Quot} (R)}, y la construcción se llama a veces también fracción del campo, sobre el terreno de los coeficientes, o sobre el terreno de R{displaystyle R.. Los cuatro están en uso común, pero no deben confundirse con el cociente de un anillo por un ideal, que es un concepto muy diferente. Para un anillo conmutativo que no es un dominio integral, la construcción analógica se llama localización o anillo de cocientes.

Definición

Dado un dominio integral y dejando RAlternativa Alternativa =R∖ ∖ {}0}{displaystyle R^{*}=Rsetminus {0}, definimos una relación de equivalencia R× × RAlternativa Alternativa {displaystyle Rtimes R^{*} por dejar ()n,d)♪ ♪ ()m,b){displaystyle (n,d)sim (m,b)} siempre nb=md{displaystyle nb=md}. Denotamos la clase de equivalencia ()n,d){displaystyle (n,d)} por nd{displaystyle {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}. Esta noción de equivalencia está motivada por los números racionales Q{displaystyle mathbb {Q}, que tienen la misma propiedad con respecto al anillo subyacente Z{displaystyle mathbb {Z} de enteros.

Entonces el de fracciones es el conjunto Frac()R)=()R× × RAlternativa Alternativa )/♪ ♪ {displaystyle {text{Frac}(R)=(Rtimes R^{*}/sim } con adición dada

nd+mb=nb+mddb{fnMicroc} {n}{d}+{frac} {m}{b}={frac {nb+md}{db}}

y la multiplicación dada por

nd⋅ ⋅ mb=nmdb.{displaystyle {fn}cdot} {fnMicroc {m}{b}={frac {nm}{db}}

Se puede comprobar que estas operaciones están bien definidas y que, para cualquier dominio integral R{displaystyle R., Frac()R){displaystyle {text{Frac}}(R)} es un campo. En particular, para n,dل ل 0{displaystyle n,dneq 0}, el inverso multiplicativo de nd{displaystyle {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}} se espera: dn⋅ ⋅ nd=1{displaystyle {fn}cdot} {fnMicroc {n}=1}.

La incrustación de R{displaystyle R. dentro Frac⁡ ⁡ ()R){displaystyle operatorname {Frac} (R)} mapas cada uno n{displaystyle n} dentro R{displaystyle R. a la fracción ene{displaystyle {frac {fn} {fn}} {fnK}}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fnK}}}}}}}}}} {fnK}}}}} {fnK}}}}}}}}}} para cualquier no cero e▪ ▪ R{displaystyle ein R} (la clase de equivalencia es independiente de la elección e{displaystyle e}). Esto se modela en la identidad n1=n{fnMicroc} {n}{1}=n}.

El campo de las fracciones de R{displaystyle R. se caracteriza por la siguiente propiedad universal:

si h:R→ → F{displaystyle h:Rto F} es un homomorfismo de anillo inyectable R{displaystyle R. en un campo F{displaystyle F}, entonces existe un homomorfismo de anillo único g:Frac⁡ ⁡ ()R)→ → F{displaystyle g:operatorname {Frac} (R)to F} que se extiende h{displaystyle h}.

Hay una interpretación categórica de esta construcción. Vamos C{displaystyle mathbf {C} ser la categoría de dominios integrales y mapas de anillos inyectables. El functor de C{displaystyle mathbf {C} a la categoría de campos que lleva cada dominio integral a su campo de fracción y cada homomorfismo al mapa inducido en campos (que existe por la propiedad universal) es el conjunto izquierdo del functor de inclusión de la categoría de campos a C{displaystyle mathbf {C}. Así la categoría de campos (que es una subcategoría completa) es una subcategoría reflectante C{displaystyle mathbf {C}.

No se requiere una identidad multiplicativa para el papel del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier rng no conmutativo R{displaystyle R. sin divisores no cero. La incrustación es dada por r↦ ↦ rss{displaystyle rmapsto {frac {} {}}} para cualquier no cero s▪ ▪ R{displaystyle sin R}.

Ejemplos

• El campo de las fracciones del anillo de los enteros es el campo de los racionales: Q=Frac⁡ ⁡ ()Z){displaystyle mathbb {Q} = 'operatorname {Frac} (mathbb {Z})}.
• Vamos R:={}a+bi▪ ▪ a,b▪ ▪ Z}{displaystyle R:={a+bmathrm {i} mid a,bin mathbb {Z}} ser el anillo de los enteros gausianos. Entonces... Frac⁡ ⁡ ()R)={}c+di▪ ▪ c,d▪ ▪ Q}{displaystyle operatorname {Frac} (R)={c+dmathrm {i} mid c,din mathbb {Q}}, el campo de los racionales gausianos.
• El campo de las fracciones de un campo es canónicamente isomorfo al campo mismo.
• Dado un campo K{displaystyle K}, el campo de las fracciones del anillo polinomio en un indeterminado K[X]{displaystyle K[X]} (que es un dominio integral), se llama de las funciones racionales, de fracciones racionales, o campo de las expresiones racionales y está denotado K()X){displaystyle K(X)}.

Generalizaciones

Localización

Para cualquier anillo conmutativo R{displaystyle R. y cualquier conjunto multiplicativo S{displaystyle S. dentro R{displaystyle R., la localización S− − 1R{displaystyle S^{-1}R} es el anillo conmutativo que consiste en fracciones

rs{displaystyle {frac {}{s}} {fn}} {fnMicroc {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fnK}}}}}}} {fnK}}}}}}}}

con r▪ ▪ R{displaystyle rin R} y s▪ ▪ S{displaystyle sin S}, donde ahora ()r,s){displaystyle (r,s)} equivale a ()r.,s.){displaystyle (r',s')} si existe t▪ ▪ S{displaystyle tin S} tales que t()rs.− − r.s)=0{displaystyle t(rs'r's)=0}.

Dos casos especiales de esto son notables:

• Si S{displaystyle S. es el complemento de un ideal primo P{displaystyle P}, entonces S− − 1R{displaystyle S^{-1}R} es también denotado RP{displaystyle R_{P}.
  Cuando R{displaystyle R. es un dominio integral y P{displaystyle P} es el cero ideal, RP{displaystyle R_{P} es el campo de las fracciones de R{displaystyle R..
• Si S{displaystyle S. es el conjunto de no-cero-divisores en R{displaystyle R., entonces S− − 1R{displaystyle S^{-1}R} se llama el anillo de cociente total.
  El anillo de cociente total de un dominio integral es su campo de fracciones, pero el anillo de cociente total se define para cualquier anillo conmutativo.

Tenga en cuenta que está permitido S{displaystyle S. para contener 0, pero en ese caso S− − 1R{displaystyle S^{-1}R} será el anillo trivial.

Semicampo de fracciones

El semicampo de fracciones de un semicírculo conmutativo sin divisores de cero es el semicampo más pequeño en el que se puede incrustar.

Los elementos del semicampo de las fracciones de la semiring R{displaystyle R. son clases de equivalencia escritas

ab{displaystyle {frac {}{b}}

con a{displaystyle a} y b{displaystyle b} dentro R{displaystyle R..