Campo algebraicamente cerrado
En matemáticas, un campo F es algebraicamente cerrado si cada polinomio no constante en F[x] (el anillo polinomial univariado con coeficientes en F< /span>) tiene una raíz en F.
Ejemplos
Como ejemplo, el campo de los números reales no es algebraicamente cerrado, porque la ecuación polinomial x2 + 1 = 0 no tiene solución en números reales, aunque todos sus coeficientes (1 y 0) son reales. El mismo argumento prueba que ningún subcampo del campo real es algebraicamente cerrado; en particular, el campo de los números racionales no está cerrado algebraicamente. Además, ningún campo finito F es algebraicamente cerrado, porque si a1, a2,..., an son los elementos de F, entonces el polinomio (x − < i>a1)(x − a2) ⋯ (x< /i> − an) + 1 no tiene cero en F. Por el contrario, el teorema fundamental del álgebra establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Otro ejemplo de un campo algebraicamente cerrado es el campo de números algebraicos (complejos).
Propiedades equivalentes
Dado un campo F, la afirmación "F es algebraicamente cerrada" es equivalente a otras afirmaciones:
Los únicos polinomios irreducibles son los de grado uno
El campo F es algebraicamente cerrado si y solo si los únicos polinomios irreducibles en el anillo de polinomios F[x] son los de grado una.
La afirmación "los polinomios de grado uno son irreducibles" es trivialmente cierto para cualquier campo. Si F es algebraicamente cerrado y p(x) es un polinomio irreducible de F[x< /i>], entonces tiene alguna raíz a y por lo tanto p(x) es múltiplo de x − a. Dado que p(x) es irreducible, esto significa que p(x) = k(x − a), para algunos k ∈ F {0}. Por otro lado, si F no es algebraicamente cerrado, entonces hay algún polinomio no constante p(x) en F [x] sin raíces en F. Sea q(x) algún factor irreducible de p(x). Dado que p(x) no tiene raíces en F, q(x) tampoco tiene raíces en F. Por tanto, q(x) tiene grado mayor que uno, ya que todo polinomio de primer grado tiene una raíz en F.
Todo polinomio es producto de polinomios de primer grado
El campo F es algebraicamente cerrado si y solo si todo polinomio p(x) de grado n ≥ 1, con coeficientes en F, se divide en factores lineales. En otras palabras, hay elementos k, x1, x2,..., xn del campo F tal que p(x) = k(x − x1)(x − x2) ⋯ (x − xn).
Si F tiene esta propiedad, entonces claramente todo polinomio no constante en F[x] tiene alguna raíz en F ; en otras palabras, F es algebraicamente cerrado. Por otro lado, que la propiedad establecida aquí se cumple para F si F es algebraicamente cerrado se sigue de la propiedad anterior junto con el hecho de que, para cualquier campo K , cualquier polinomio en K[x] se puede escribir como un producto de polinomios irreducibles.
Los polinomios de primer grado tienen raíces
Si todo polinomio sobre F de grado primo tiene una raíz en F, entonces todo polinomio no constante tiene una raíz en F. De ello se deduce que un campo es algebraicamente cerrado si y solo si todo polinomio sobre F de grado primo tiene una raíz en F.
El campo no tiene extensión algebraica adecuada
El campo F es algebraicamente cerrado si y solo si no tiene extensión algebraica propia.
Si F no tiene extensión algebraica adecuada, sea p(x) algún polinomio irreducible en F [x]. Entonces el cociente de F[x] módulo el ideal generado por p(x) es una extensión algebraica de F cuyo grado es igual al grado de p(x). Como no es una extensión propia, su grado es 1 y por lo tanto el grado de p(x) es 1.
Por otro lado, si F tiene alguna extensión algebraica adecuada K, entonces el polinomio mínimo de un elemento en K F es irreducible y su grado es mayor que 1.
El campo no tiene una extensión finita adecuada
El campo F es algebraicamente cerrado si y solo si no tiene extensión finita propia porque si, dentro de la demostración anterior, el término "extensión algebraica" se reemplaza por el término "extensión finita", entonces la prueba sigue siendo válida. (Tenga en cuenta que las extensiones finitas son necesariamente algebraicas).
Todo endomorfismo de Fn tiene algún vector propio
El campo F es algebraicamente cerrado si y solo si, para cada número natural n, todo mapa lineal de Fn en sí mismo tiene algún vector propio.
Un endomorfismo de Fn tiene un vector propio si y solo si su polinomio característico tiene alguna raíz. Por lo tanto, cuando F es algebraicamente cerrado, todo endomorfismo de Fn tiene algún vector propio. Por otro lado, si todo endomorfismo de Fn tiene un vector propio, sea p(x) un elemento de F[x]. Dividiendo por su coeficiente principal, obtenemos otro polinomio q(x) que tiene raíces si y solo si p(x) tiene raíces. Pero si q(x) = xn + a< i>n − 1xn − 1+ ⋯ + a< sub>0, entonces q(x) es el polinomio característico de la matriz complementaria n×n
Descomposición de expresiones racionales
El campo F es algebraicamente cerrado si y solo si toda función racional en una variable x, con coeficientes en F, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma a/(x − b)n, donde n es un número natural, y a y b son elementos de F.
Si F es algebraicamente cerrado entonces, dado que los polinomios irreducibles en F[x] son todos de grado 1, la propiedad establecida anteriormente cumple el teorema de la descomposición en fracciones parciales.
Por otro lado, suponga que la propiedad establecida anteriormente se cumple para el campo F. Sea p(x) un elemento irreducible en F[x]. Entonces la función racional 1/p se puede escribir como la suma de una función polinomial q con funciones racionales de la forma a/(x – b)n. Por lo tanto, la expresión racional
puede escribirse como un cociente de dos polinomios en los que el denominador es un producto de polinomios de primer grado. Como p(x) es irreducible, debe dividir este producto y, por tanto, también debe ser un polinomio de primer grado.
Polinomios y raíces relativamente primos
Para cualquier campo F, si dos polinomios p(x),q(x ) ∈ F[x] son relativamente primos, entonces no tienen una raíz común, porque si a ∈ F era una raíz común, entonces p(x) y q(x) serían ambos ser múltiplos de x − a y por lo tanto no serían primos relativos. Los campos para los que se cumple la implicación inversa (es decir, los campos tales que cuando dos polinomios no tienen una raíz común entonces son primos relativos) son precisamente los campos algebraicamente cerrados.
Si el campo F es algebraicamente cerrado, sea p(x) y q( x) dos polinomios que no son primos relativos y sean r(x) su máximo común divisor. Entonces, como r(x) no es constante, tendrá alguna raíz a, que será entonces una raíz común de p(x) y q(x).
Si F no es algebraicamente cerrado, sea p(x) un polinomio cuyo grado es al menos 1 sin raíces. Entonces p(x) y p(x) no son primos relativos, pero no tienen raíces comunes (ya que ninguno de ellos tiene raíces).
Otras propiedades
Si F es un campo algebraicamente cerrado y n es un número natural, entonces F contiene todos los n th raíces de la unidad, porque estos son (por definición) los ceros n (no necesariamente distintos) del polinomio xn − 1. A la extensión del campo que está contenida en una extensión generada por las raíces de la unidad es una extensión ciclotómica, y la extensión de un campo generado por todas las raíces de la unidad a veces se denomina su cierre ciclotómico. Así, los campos algebraicamente cerrados son ciclotómicamente cerrados. Lo contrario no es cierto. Incluso asumir que cada polinomio de la forma xn − a se divide en factores lineales no es suficiente para asegurar que el campo es algebraicamente cerrado.
Si una proposición que se puede expresar en el lenguaje de la lógica de primer orden es verdadera para un campo algebraicamente cerrado, entonces es verdadera para todo campo algebraicamente cerrado con la misma característica. Además, si tal proposición es válida para un campo algebraicamente cerrado con característica 0, entonces no solo es válida para todos los demás campos algebraicamente cerrados con característica 0, sino que existe un número natural N tal que el la proposición es válida para todo campo algebraicamente cerrado con característica p cuando p > N.
Todo campo F tiene alguna extensión que es algebraicamente cerrada. Tal extensión se llama extensión algebraicamente cerrada. Entre todas esas extensiones hay una y sólo una (excepto isomorfismo, pero no isomorfismo único) que es una extensión algebraica de F; se llama el cierre algebraico de F.
La teoría de campos algebraicamente cerrados tiene eliminación de cuantificadores.
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