Campo aleatorio

En física y matemáticas, a campo aleatorio es una función aleatoria sobre un dominio arbitrario (generalmente un espacio multidimensional como ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$). Es decir, es una función ${displaystyle f(x)}$ que toma un valor aleatorio en cada punto ${displaystyle xin mathbb {R} {fn}$(o algún otro dominio). También se piensa a veces como sinónimo de un proceso estocástico con alguna restricción en su conjunto de índices. Es decir, por definiciones modernas, un campo aleatorio es una generalización de un proceso estocástico donde el parámetro subyacente ya no necesita ser real o entero valorado "tiempo" pero puede tomar valores que son vectores multidimensionales o puntos en algunos manifold.

Definición formal

Dado un espacio de probabilidad ${displaystyle (Omega{mathcal {F}},P)}$, un X- valorado campo aleatorio es una colección de X-valoradas variables aleatorias indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección

${displaystyle {F_{t}:tin T.$

donde cada ${displaystyle F_{t}$ es un X-valorada variable aleatoria.

Ejemplos

En su versión discreta, un campo aleatorio es una lista de números aleatorios cuyos índices se identifican con un conjunto discreto de puntos en un espacio (por ejemplo, espacio euclidiano n-dimensional). Supongamos que hay cuatro variables al azar, ${displaystyle X_{1}$, ${displaystyle X_{2}$, ${displaystyle X_{3}$, y ${displaystyle X_{4}$, ubicado en una red 2D (0,0), (0,2), (2,2), y (2,0), respectivamente. Supongamos que cada variable aleatoria puede tomar el valor de -1 o 1, y la probabilidad del valor de cada variable aleatoria depende de sus vecinos adyacentes inmediatamente. Este es un simple ejemplo de un campo discreto al azar.

Más generalmente, los valores cada uno ${displaystyle X_{i}$ puede tomar encendido puede ser definido sobre un dominio continuo. En rejillas más grandes, también puede ser útil pensar en el campo aleatorio como una variable aleatoria "valorada" como se describe anteriormente. En la teoría de campo cuántica la noción se generaliza a un funcional aleatorio, que toma valores aleatorios sobre un espacio de funciones (ver Feynman integral).

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs, el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano. En 1974, Julian Besag propuso un método de aproximación basado en la relación entre MRF y Gibbs RF.

Propiedades de ejemplo

Un MRF exhibe la propiedad de Markov

${displaystyle P(X_{i}=x_{i} arrestX_{j}=x_{j},ineq j)=P(X_{i}=x_{i} imperX_{j}=x_{j},jin partial _{i}),,}$

para cada elección de valores ${displaystyle (x_{j})_{j}$. Aquí cada uno ${displaystyle partial _{i}$ es el conjunto de vecinos de ${displaystyle i}$. En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor depende de sus variables aleatorias vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF es dada por

${displaystyle P(X_{i}=x _{i})={i})={frac {P(X_{i}=x_{i},partial _{i})}{sum _{k}P(X_{i}=k,partial _{i}}}}}}}}}}}$

donde la suma (puede ser una integral) está sobre los posibles valores de k. A veces es difícil calcular esta cantidad exactamente.

Aplicaciones

Cuando se utilizan en las ciencias naturales, los valores en un campo aleatorio a menudo están correlacionados espacialmente. Por ejemplo, los valores adyacentes (es decir, valores con índices adyacentes) no difieren tanto como los valores que están más separados. Este es un ejemplo de estructura de covarianza, de la cual se pueden modelar muchos tipos diferentes en un campo aleatorio. Un ejemplo es el modelo de Ising, donde a veces las interacciones con los vecinos más cercanos solo se incluyen como una simplificación para comprender mejor el modelo.

Un uso común de campos aleatorios es en la generación de gráficos por computadora, particularmente aquellos que imitan superficies naturales como el agua y la tierra. Los campos aleatorios también se han utilizado en modelos de suelo subterráneo como en

En neurociencia, particularmente en estudios de imágenes cerebrales funcionales relacionados con tareas que utilizan PET o fMRI, el análisis estadístico de campos aleatorios es una alternativa común a la corrección de comparaciones múltiples para encontrar regiones con una activación verdaderamente significativa.

También se utilizan en aplicaciones de aprendizaje automático (ver modelos gráficos).

Campos aleatorios con valores tensoriales

Los campos aleatorios son de gran utilidad en el estudio de procesos naturales mediante el método de Monte Carlo en el que los campos aleatorios corresponden a propiedades que varían espacialmente de forma natural. Esto conduce a campos aleatorios con valores tensoriales en los que el papel clave lo desempeña un elemento de volumen estadístico (SVE), que es un cuadro espacial sobre el cual se pueden promediar las propiedades; cuando el SVE se vuelve lo suficientemente grande, sus propiedades se vuelven deterministas y se recupera el elemento de volumen representativo (RVE) de la física continua determinista. El segundo tipo de campo aleatorio que aparece en las teorías del continuo son los de cantidades dependientes (temperatura, desplazamiento, velocidad, deformación, rotación, fuerzas corporales y superficiales, tensiones, etc.).