Camino libre medio

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Distancia media viajada por una partícula en movimiento entre impactos con otras partículas

En física, camino libre medio es la distancia promedio que recorre una partícula en movimiento (como un átomo, una molécula o un fotón) antes de cambiar sustancialmente su dirección o energía (o, en un contexto específico, otras propiedades), típicamente como resultado de una o más colisiones sucesivas con otras partículas.

Teoría de dispersión

Slab of target

Imagine un haz de partículas que se dispara a través de un objetivo y considere una losa infinitesimalmente delgada del objetivo (vea la figura). Los átomos (o partículas) que podrían detener una partícula de haz se muestran en rojo. La magnitud del camino libre medio depende de las características del sistema. Suponiendo que todas las partículas objetivo están en reposo pero solo la partícula del haz se está moviendo, eso da una expresión para el camino libre medio:

ell =(sigma n)^{{-1}},

donde $ℓ$ es la ruta libre media, $n$ es el número de partículas objetivo por unidad de volumen, y $σ$ es el área transversal efectiva por colisión.

El área de la losa es $L 2$ , y su volumen es $L 2 dx$ . El número típico de átomos de parada en la losa es la concentración $n$ veces el volumen, es decir, $n L 2 dx$ . La probabilidad de que una partícula del haz se detenga en esa losa es el área neta de los átomos detenidos dividida por el área total de la losa:

{displaystyle {mathcal {P}}({text{stopping within }}dx)={frac {{text{Area}}_{text{atoms}}}{{text{Area}}_{text{slab}}}}={frac {sigma nL^{2},dx}{L^{2}}}=nsigma ,dx,}

donde $σ$ es el área (o, más formalmente, la "sección transversal de dispersión") de un átomo.

La caída en la intensidad del haz es igual a la intensidad del haz entrante multiplicada por la probabilidad de que la partícula se detenga dentro de la losa:

{displaystyle dI=-Insigma ,dx.}

Esta es una ecuación diferencial ordinaria:

{displaystyle {frac {dI}{dx}}=-Insigma {overset {text{def}}{=}}-{frac {I}{ell }},}

cuya solución se conoce como ley Beer-Lambert y tiene la forma $I=I_{{0}}e^{{-x/ell }}$ , donde $x$ es la distancia viajada por el rayo a través del objetivo, y $I 0$ es la intensidad del haz antes de entrar en el objetivo; $l$ se llama el camino libre medio porque iguala la distancia media viajada por una partícula de haz antes de ser detenido. Para ver esto, note que la probabilidad de que una partícula sea absorbida entre $x$ y $x + dx$ es dado por

{displaystyle d{mathcal {P}}(x)={frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={frac {1}{ell }}e^{-x/ell }dx.}

Por lo tanto, el valor esperado (o promedio, o simplemente medio) de $x$ es

{displaystyle langle xrangle {overset {text{def}}{=}}int _{0}^{infty }xd{mathcal {P}}(x)=int _{0}^{infty }{frac {x}{ell }}e^{-x/ell },dx=ell.}

La fracción de partículas que no se detiene (atenuada) por la losa se llama transmisión ${displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/ell }}$ , donde $x$ es igual al espesor de la losa.

Teoría cinética de los gases

En la teoría cinética de los gases, camino libre de una partícula, como una molécula, es la distancia promedio que la partícula viaja entre colisiones con otras partículas en movimiento. La derivación arriba suponía que las partículas dianas estaban en reposo; por lo tanto, en realidad, la fórmula ${displaystyle ell =(nsigma)^{-1}}$ sujeta para una partícula de haz con una alta velocidad $v$ relativa a las velocidades de un conjunto de partículas idénticas con ubicaciones aleatorias. En ese caso, los movimientos de partículas dianas son comparativamente insignificantes, por lo que la velocidad relativa ${displaystyle v_{rm {rel}}approx v}$ .

Si, por otro lado, la partícula del haz es parte de un equilibrio establecido con partículas idénticas, entonces el cuadrado de la velocidad relativa es:

${displaystyle {overline {mathbf {v} _{rm {relative}}^{2}}}={overline {(mathbf {v} _{1}-mathbf {v} _{2})^{2}}}={overline {mathbf {v} _{1}^{2}+mathbf {v} _{2}^{2}-2mathbf {v} _{1}cdot mathbf {v} _{2}}}.}$

En equilibrio, $mathbf{v}_1$ y $mathbf{v}_2$ son aleatorios e incorrelacionados, por lo tanto ${displaystyle {overline {mathbf {v} _{1}cdot mathbf {v} _{2}}}=0}$ , y la velocidad relativa es

${displaystyle v_{rm {rel}}={sqrt {overline {mathbf {v} _{rm {relative}}^{2}}}}={sqrt {overline {mathbf {v} _{1}^{2}+mathbf {v} _{2}^{2}}}}={sqrt {2}}v.}$

Esto significa que el número de colisiones es ${sqrt {2}}$ veces el número con objetivos estacionarios. Por lo tanto, se aplica la siguiente relación:

{displaystyle ell =({sqrt {2}},nsigma)^{-1},}

y uso ${displaystyle n=N/V=p/(k_{text{B}}T)}$ (ley de gas ideal) y $sigma =pi (2r)^{2}=pi d^{2}$ (área transversal eficaz para partículas esféricas con radio $r$ ), se puede demostrar que el camino medio libre es

{displaystyle ell ={frac {k_{text{B}}T}{{sqrt {2}}pi d^{2}p}},}

Donde k_B es la constante de Boltzmann, $p$ es la presión del gas y $T$ es la temperatura absoluta.

En la práctica, el diámetro de las moléculas de gas no está bien definido. De hecho, el diámetro cinético de una molécula se define en términos del camino libre medio. Por lo general, las moléculas de gas no se comportan como esferas duras, sino que se atraen entre sí a distancias más grandes y se repelen entre sí a distancias más cortas, como se puede describir con un potencial de Lennard-Jones. Una forma de lidiar con tales "suaves" moléculas es usar el parámetro σ de Lennard-Jones como el diámetro.

Otra forma es asumir un gas de esfera dura que tiene la misma viscosidad que el gas real que se está considerando. Esto conduce a un camino libre medio

{displaystyle ell ={frac {mu }{rho }}{sqrt {frac {pi m}{2k_{text{B}}T}}}={frac {mu }{p}}{sqrt {frac {pi k_{text{B}}T}{2m}}},}

Donde $m$ es la masa molecular, ${displaystyle rho =mp/(k_{text{B}}T)}$ es la densidad del gas ideal, y μ es la viscosidad dinámica. Esta expresión se puede poner en la siguiente forma conveniente

{displaystyle ell ={frac {mu }{p}}{sqrt {frac {pi R_{rm {specific}}T}{2}}},}

con ${displaystyle R_{rm {specific}}=k_{text{B}}/m}$ siendo la constante de gas específica, igual a 287 J/(kg*K) para el aire.

La siguiente tabla enumera algunos valores típicos para el aire a diferentes presiones a temperatura ambiente. Tenga en cuenta que las diferentes definiciones del diámetro molecular, así como las diferentes suposiciones sobre el valor de la presión atmosférica (100 frente a 101,3 kPa) y la temperatura ambiente (293,17 K frente a 296,15 K o incluso 300 K) pueden conducir a valores ligeramente diferentes de la media libre. camino.

Rango de vacío	Presión en hPa (mbar)	Presión en mmHg (Torr)	densidad de número (Moléculas / cm³)	densidad de número (Moléculas / m³)	Un camino libre
Presión ambiente	1013	759.8	2.7 × 10¹⁹	2.7 × 10²⁵	64 – 68 nm
Bajo vacío	300 – 1	220 – 8×10⁻¹	10¹⁹ – 10¹⁶	10²⁵ – 10²²	0.1 – 100 μm
Vacuno mediano	1 – 10⁻³	8×10⁻¹ – 8×10⁻⁴	10¹⁶ – 10¹³	10²² – 10¹⁹	0.1 – 100 mm
Alta aspiración	10⁻³ – 10⁻⁷	8×10⁻⁴ – 8×10⁻⁸	10¹³ – 10⁹	10¹⁹ – 10¹⁵	10 cm – 1 km
Vacuno ultra-alto	10⁻⁷ – 10⁻¹²	8×10⁻⁸ – 8×10⁻¹³	10⁹ – 10⁴	10¹⁵ – 10¹⁰	1 km – 10⁵ km
Vacío extremadamente alto	. 10⁻¹²	■8×10⁻¹³	. 10⁴	. 10¹⁰	■10⁵ km

En otros campos

Radiografía

Significado camino libre para fotones en el rango de energía de 1 keV a 20 MeV para elementos con Z = 1 a 100. Las discontinuidades se deben a la baja densidad de elementos de gas. Seis bandas corresponden a barrios de seis gases nobles. También se muestran las ubicaciones de los bordes de absorción.

En radiografía de rayos gamma, el camino libre medio de un haz de lápiz de fotones monoenergéticos es la distancia promedio que recorre un fotón entre colisiones con átomos del material objetivo. Depende del material y la energía de los fotones:

ell =mu ^{{-1}}=((mu /rho)rho)^{{-1}},

donde μ es el coeficiente de atenuación lineal, μ/ρ es el coeficiente de atenuación de masa y ρ es la densidad del material. El coeficiente de atenuación de masa se puede buscar o calcular para cualquier combinación de material y energía utilizando las bases de datos del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST).

En radiografía de rayos X, el cálculo del camino libre medio es más complicado, porque los fotones no son monoenergéticos, sino que tienen una distribución de energías denominada espectro. A medida que los fotones se mueven a través del material objetivo, se atenúan con probabilidades que dependen de su energía, como resultado, su distribución cambia en un proceso llamado endurecimiento del espectro. Debido al endurecimiento del espectro, el camino libre medio del espectro de rayos X cambia con la distancia.

A veces se mide el grosor de un material en el número de caminos libres medios. El material con el espesor de un camino libre medio se atenuará al 37% (1/e) de los fotones. Este concepto está estrechamente relacionado con la capa de valor medio (HVL): un material con un espesor de una HVL atenuará el 50% de los fotones. Una imagen de rayos X estándar es una imagen de transmisión, una imagen con logaritmo negativo de sus intensidades a veces se denomina imagen de número de caminos libres medios.

Electrónica

En el transporte de carga macroscópica, la vía libre media de un portador de carga en un metal $ell$ es proporcional a la movilidad eléctrica $mu$ , un valor directamente relacionado con la conductividad eléctrica, es decir:

{displaystyle mu ={frac {qtau }{m}}={frac {qell }{m^{*}v_{rm {F}}}},}

Donde q es el cargo, $tau$ es el tiempo libre medio, m^* es la masa efectiva, y v_F es la velocidad de Fermi del portador de carga. La velocidad de Fermi puede derivarse fácilmente de la energía de Fermi a través de la ecuación de energía cinética no relativista. En las películas delgadas, sin embargo, el grosor de la película puede ser más pequeño que el camino medio previsto libre, haciendo que la superficie dispersa sea mucho más notable, aumentando efectivamente la resistividad.

La movilidad de los electrones a través de un medio con dimensiones más pequeñas que el camino libre medio de los electrones se produce a través de la conducción balística o el transporte balístico. En tales escenarios, los electrones alteran su movimiento solo en colisiones con las paredes del conductor.

Óptica

Si se toma una suspensión de partículas que no absorben luz de diámetro d con una fracción de volumen Φ, el camino libre medio de los fotones es:

{displaystyle ell ={frac {2d}{3Phi Q_{text{s}}}},}

donde Q_s es el factor de eficiencia de dispersión. Q_s se puede evaluar numéricamente para partículas esféricas utilizando la teoría de Mie.

Acústica

En una cavidad vacía, el camino libre medio de una sola partícula que rebota en las paredes es:

{displaystyle ell ={frac {FV}{S}},}

donde V es el volumen de la cavidad, S es el área total de la superficie interior de la cavidad y F es una constante relacionada a la forma de la cavidad. Para la mayoría de las formas de cavidades simples, F es aproximadamente 4.

Esta relación se usa en la derivación de la ecuación de Sabine en acústica, usando una aproximación geométrica de la propagación del sonido.

Física nuclear y de partículas

En física de partículas, el concepto de camino libre medio no se usa comúnmente, siendo reemplazado por el concepto similar de longitud de atenuación. En particular, para los fotones de alta energía, que en su mayoría interactúan mediante la producción de pares de electrones y positrones, la longitud de radiación se usa de manera muy similar al camino libre medio en radiografía.

Los modelos de partículas independientes en física nuclear requieren la órbita sin perturbaciones de los nucleones dentro del núcleo antes de que interactúen con otros nucleones.

El camino libre efectivo de un núcleo en materia nuclear debe ser algo mayor que las dimensiones nucleares para permitir el uso del modelo independiente de partículas. Este requisito parece estar en contradicción con las suposiciones hechas en la teoría... Nos enfrentamos a uno de los problemas fundamentales de la física de la estructura nuclear que aún no se ha resuelto.
—John Markus Blatt y Victor Weisskopf, Física nuclear teórica (1952)

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