Cambio de variables

En matemáticas, un cambio de variables es una técnica básica utilizada para simplificar problemas en los que las variables originales se reemplazan con funciones de otras variables. La intención es que cuando se exprese en nuevas variables, el problema pueda volverse más simple o equivalente a un problema mejor comprendido.

El cambio de variables es una operación que está relacionada con la sustitución. Sin embargo se trata de operaciones diferentes, como se puede comprobar al considerar la diferenciación (regla de la cadena) o la integración (integración por sustitución).

Un ejemplo muy simple de un cambio de variable útil se puede ver en el problema de encontrar las raíces del polinomio de sexto grado:

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

Las ecuaciones polinómicas de sexto grado generalmente son imposibles de resolver en términos de radicales (ver el teorema de Abel-Ruffini). Esta ecuación particular, sin embargo, puede escribirse

${\displaystyle (x^{3})}{2}-9(x^{3})+8=0}$

(este es un caso simple de una descomposición polinomio). Así la ecuación puede simplificarse definiendo una nueva variable ${\displaystyle u=x^{3}$. Sustitución x por ${\displaystyle {\sqrt[{3}{u}}$ en el polinomio da

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

que es solo una ecuación cuadrática con las dos soluciones:

${\displaystyle u=1\quad {y}\quad u=8.}$

Las soluciones en términos de la variable original se obtienen sustituyendo x³ por u, lo que da

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}\quad x^{3}=8.}$

Entonces, suponiendo que uno está interesado sólo en soluciones reales, las soluciones de la ecuación original son

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

Ejemplo sencillo

Considere el sistema de ecuaciones

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

Donde ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ son números enteros positivos con ${\displaystyle x confianzay}$. (Fuente: 1991 AIME)

Solver esto normalmente no es muy difícil, pero puede ser un poco tedioso. Sin embargo, podemos reescribir la segunda ecuación como ${\displaystyle xy(x+y)=880}$. Haciendo las sustituciones ${\displaystyle S=x+y$ y ${\displaystyle t=xy}$ reduce el sistema ${\displaystyle s+t=71,st=880}$. Resolver esto da ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ y ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$. Sustituir la primera pareja ordenada nos da ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x confianzay}$, que da la solución ${\displaystyle (x,y)=(11,5). }$ Sustituir el segundo par ordenado nos da ${\displaystyle x+y=55,xy=16,x confiadoy}$, que no da soluciones. Por lo tanto la solución que resuelve el sistema es ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$.

Introducción formal

Vamos. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ser suaves y dejar ${\displaystyle \Phi:A\rightarrow B.$ ser un ${\displaystyle C^{r}$-diffeomorfismo entre ellos, es decir: ${\displaystyle \Phi$ es un ${\displaystyle r}$ tiempos continuamente diferentes, mapa bijetivo de ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ con ${\displaystyle r}$ tiempos inversos continuamente diferentes ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle A}$. Aquí. ${\displaystyle r}$ puede ser cualquier número natural (o cero), ${\displaystyle \infty }$ o ${\displaystyle \omega }$ (analítica).

El mapa ${\displaystyle \Phi$ se llama transformación de coordenadas regulares o sustitución variable regular, donde ordinario se refiere a ${\displaystyle C^{r}$- ... ${\displaystyle \Phi$. Normalmente uno escribirá ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ para indicar la sustitución de la variable ${\displaystyle x}$ por la variable ${\displaystyle y}$ sustituyendo el valor ${\displaystyle \Phi$ dentro ${\displaystyle y}$ para cada ocurrencia de ${\displaystyle x}$.

Otros ejemplos

Transformación de coordenadas

Algunos sistemas se pueden resolver más fácilmente al cambiar a coordenadas polares. Consideremos, por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}{2}{\sqrt {1-{\frac - Sí.$

Esta puede ser una función de energía potencial para algún problema físico. Si uno no ve inmediatamente una solución, podría intentar la sustitución

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta)}$ dado por ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta)). }$

Note que si ${\displaystyle \theta }$ corre fuera de un ${\displaystyle 2\pi}$- intervalo de longitud, por ejemplo, ${\displaystyle [0,2\pi]}$, el mapa ${\displaystyle \Phi$ ya no es bijetivo. Por lo tanto, ${\displaystyle \Phi$ debe limitarse a, por ejemplo, ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi)}$. Observe cómo ${\displaystyle r=0}$ está excluido, ${\displaystyle \Phi$ no es bijetivo en el origen (${\displaystyle \theta }$ puede tomar cualquier valor, el punto será mapeado a (0, 0)). Luego, reemplazando todas las ocurrencias de las variables originales por las nuevas expresiones prescritas por ${\displaystyle \Phi$ y el uso de la identidad ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$, tenemos

${\displaystyle V(r,\theta)=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {}\cos ^{2}\theta ¿Qué? {1-\cos ^{2}\theta }=r^{2}\left permanently\sin \theta \right sobre la vida.}$

Ahora las soluciones se pueden encontrar fácilmente: ${\displaystyle \sin(\theta)=0}$, entonces ${\displaystyle \theta =0}$ o ${\displaystyle \theta =\pi}$. Aplicando el inverso de ${\displaystyle \Phi$ muestra que esto es equivalente a ${\displaystyle y=0}$ mientras ${\displaystyle x\not =0}$. De hecho, lo vemos por ${\displaystyle y=0}$ la función desaparece, excepto el origen.

Tenga en cuenta que, si lo permitimos ${\displaystyle r=0}$, el origen también habría sido una solución, aunque no es una solución al problema original. Aquí la bijetividad ${\displaystyle \Phi$ es crucial. La función siempre es positiva (para ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R}$), por lo tanto los valores absolutos.

Diferenciación

La regla de la cadena se utiliza para simplificar la diferenciación complicada. Por ejemplo, considere el problema de calcular la derivada.

${\displaystyle {\frac {dx}\sin(x^{2}}$

Vamos. ${\displaystyle y=\sin u}$ con ${\displaystyle u=x^{2}$ Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac} {dx}\sin(x^{2}} {\frac}{dx}\[6pt] {\fnK} {\f} {\fnK} {\fnK}} {\f}}} {\f}} {\f}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}\f}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f}\f}}}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}}} Esta parte es la regla de la cadena.$

Integración

Las integrales difíciles a menudo pueden evaluarse cambiando variables; esto está permitido por la regla de sustitución y es análogo al uso de la regla de la cadena anterior. Las integrales difíciles también se pueden resolver simplificando la integral usando un cambio de variables dado por la matriz jacobiana y el determinante correspondientes. El uso del determinante jacobiano y el correspondiente cambio de variable que proporciona es la base de sistemas de coordenadas como los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos.

Fórmula de cambio de variables en términos de medida de Lebesgue

El siguiente teorema nos permite relacionar integrales con respecto a la medida de Lebesgue con una integral equivalente con respecto a la medida de retroceso bajo una parametrización G. La prueba se debe a aproximaciones del contenido de Jordan.

Supongamos que ${\displaystyle \Omega }$ es un subconjunto abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ y ${\displaystyle G: 'Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ es un ${\displaystyle C^{1}$ diffeomorfismo.

• Si ${\displaystyle f}$ es una función mesurable de Lebesgue ${\displaystyle G(\Omega)}$Entonces ${\displaystyle f\circ G}$ Lebesgue mesurable ${\displaystyle \Omega }$. Si ${\displaystyle f\geq 0}$ o ${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega),m),}$ entonces ${\displaystyle \int _{G(\Omega)}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x) habit{\text{det}D_{x}G sometidadx}$.
• Si ${\displaystyle E\subset \Omega }$ y ${\displaystyle E}$ es Lebesgue mensurable, entonces ${\displaystyle G(E)}$ es Lebesgue mensurable, entonces ${\displaystyle m(G(E)=\int ¿Por qué?$.

Como corolario de este teorema, podemos computar los derivados de Radon-Nikodym tanto de las medidas de retroceso como de avance ${\displaystyle m}$ menores ${\displaystyle T}$.

Fórmula de transformación y medida de retroceso

La medida de retroceso en términos de una transformación ${\displaystyle T}$ se define como ${\displaystyle T^{*}\mu:=\mu (T(A)}$. El cambio de fórmula de variables para medidas de retroceso es

${\displaystyle \int _{T(\Omega)}gd\mu =\int ¿Qué? Omega TdT^{*}\mu}$.

Fórmula de transformación y medida de impulso

La medida de avance en términos de transformación ${\displaystyle T}$, se define como ${\displaystyle T_{*}\mu:=\mu (T^{-1}(A)}$. El cambio de fórmula de variables para medidas de avance es

${\displaystyle \int _{\ Omega Td\mu =\int _{T(\Omega)}gdT_{*}\mu }$.

Como corolario de la fórmula de cambio de variables para la medida de Lebesgue, tenemos que

• Radon-Nikodym derivado de la devolución con respecto a la medida Lebesgue: ${\displaystyle {\frac {\fnK}m}{dm} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft Sans Serif}$
• Radon-Nikodym derivado del impulso con respecto a la medida Lebesgue: ${\displaystyle {\frac {\fnK}m} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}\fnMicrosoft}\fnMicrosoft} {\f}}}}}}\f}}}}}}\f}\fnK\f}\fnMicrob}\fnMicrob}\f}T}\f}T\f}T\fnK\fnK\f}}\fnK\fnK\fnK\f}T}T}T}T}T}T}T}}}T}\fnK\fnK\f}T}T\f}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}T}}$

De donde podemos obtener

• El cambio de fórmula de variables para la medida de retroceso: ${\displaystyle \int _{T(\Omega)}gd\mu =\int ¿Qué? Omega TdT^{*}\mu =\int _{\ Omega.$
• El cambio de fórmula de variables para la medida de empuje:${\displaystyle \int _{\ Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega)}g\circ T^{-1}dT_{*}\mu =\int _{T(\Omega)}g\circ T^{-1}Sobrevivir {\text{det}D_{x}T^{-1}$

Ecuaciones diferenciales

Los cambios de variables para la diferenciación y la integración se enseñan en cálculo elemental y los pasos rara vez se llevan a cabo en su totalidad.

El uso muy amplio de cambios de variables es evidente cuando se consideran ecuaciones diferenciales, donde las variables independientes se pueden cambiar usando la regla de la cadena o las variables dependientes se cambian dando como resultado alguna diferenciación que se debe llevar a cabo. Los cambios exóticos, como la mezcla de variables dependientes e independientes en transformaciones de puntos y contactos, pueden ser muy complicados pero permiten mucha libertad.

Muy a menudo, se sustituye una forma general de un cambio en un problema y se eligen parámetros a lo largo del camino para simplificar mejor el problema.

Escalar y cambiar

Probablemente el cambio más simple es escalar y desplazar las variables, es decir, reemplazarlas con nuevas variables que sean "extendidas" y "movido" por cantidades constantes. Esto es muy común en aplicaciones prácticas para solucionar problemas con parámetros físicos. Para una derivada de n^ésimo orden, el cambio simplemente da como resultado

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dónde

${\displaystyle x={\hat {x}x_{\text{scale}+x_{\text{shift}}$

${\displaystyle y={\hat Sí.$

Esto se puede demostrar fácilmente a través de la regla de la cadena y la linealidad de diferenciación. Este cambio es muy común en aplicaciones prácticas para eliminar parámetros físicos de problemas, por ejemplo, el problema del valor límite.

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describe el flujo de fluido paralelo entre paredes sólidas planas separadas por una distancia δ; μ es la viscosidad y ${\displaystyle dp/dx}$ la presión gradiente, ambas constantes. Al escalar las variables el problema se convierte

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dónde

${\displaystyle y={\hat {y}L\qquad {\text{and}\qquad {\fnh} {\fnh} {\fnh}} {\fnh} {\fnh}} {\fnh}} {\fnK}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\f}}}} {\f}\f}\fnK\f}}}}} {\f} {\f} {\f}\f}}}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}}\fn\f}\fn\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\f}}\fn\f}\f}\f}}}\f}}}} {dp}{dx}}$

El escalado es útil por muchas razones. Simplifica el análisis reduciendo el número de parámetros y simplemente simplificando el problema. El escalado adecuado puede normalizar las variables, es decir, hacer que tengan un rango sensible sin unidades, como 0 a 1. Finalmente, si un problema exige una solución numérica, cuantos menos parámetros haya, menor será el número de cálculos.

Impulso versus velocidad

Considere un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v} {=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x} {={\frac {\partial H}{\partial H}{\5pt] {\fnMicrosoft}}$

para una función determinada ${\displaystyle H(x,v)}$. La masa puede ser eliminada por la sustitución (trivial) ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$. Claramente este es un mapa bijetivo de ${\displaystyle \mathbb {R}$ a ${\displaystyle \mathbb {R}$. Under the substitution ${\displaystyle v=\Phi (p)}$ el sistema se convierte

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {}} {\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x} {\\frac {\frac {\partial H}{\end{aligned}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\$

Mecánica lagrangiana

Dada la fuerza ${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$, las ecuaciones de movimiento de Newton son

${\displaystyle m{\ddot {x}=\varphi (t,x,v). }$

Lagrange examinó cómo estas ecuaciones de movimiento cambian bajo una sustitución arbitraria de variables ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$, ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}\cdot w.}$

Encontró que las ecuaciones

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}}}}} {\fn}}}}}}} {\fn}}}}}}} {\\\\m}}}}}}}}}}}}}} {\\\m}} {\m}}}}}}}}} {\m}}}}} {\m}} {\m}}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m} {\m} {\m} {\m}} {\m}}}}}}}}} {\m}}} {\m}}}}}}}} {\m} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}} {\ {\fnMicroc} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicroc {\fnMicrosoft} {L} {\fn} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\fn}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

son equivalentes a las ecuaciones de Newton para la función ${\displaystyle L=T-V.$, Donde T es el cinético, y V la energía potencial.

De hecho, cuando la sustitución se elige bien (explotando, por ejemplo, las simetrías y las restricciones del sistema), estas ecuaciones son mucho más fáciles de resolver que las ecuaciones de Newton en coordenadas cartesianas.