Cambio de base

Una combinación lineal de una base de vectores (purple) obtiene nuevos vectores (rojo). Si son linealmente independientes, estos forman una nueva base. Las combinaciones lineales relativas a la primera base a la otra se extienden a una transformación lineal, llamada el cambio de base.

Un vector representado por dos bases diferentes (flechas púrpuras y rojas).

En matemáticas, una base ordenada de un espacio vectorial de dimensión finita n permite representar de forma única cualquier elemento del espacio vectorial mediante un vector de coordenadas, que es una secuencia de n escalares llamados coordenadas. Si se consideran dos bases diferentes, el vector de coordenadas que representa un vector v sobre una base es, en general, diferente de la coordenada vector que representa v en la otra base. Un cambio de base consiste en convertir cada afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a una base en una afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a la otra base.

Esta conversión resulta de la fórmula de cambio de base que expresa las coordenadas relativas a una base en términos de coordenadas relativas a la otra base. Usando matrices, esta fórmula se puede escribir

${displaystyle mathbf {x} _{mathrm {old} }=A,mathbf {x}$

donde "antiguo" y "nuevo" se refieren respectivamente a la base de primera definición y la otra base, ${displaystyle mathbf {x}$ y ${displaystyle mathbf {x}$ son los vectores de columna de las coordenadas del mismo vector en las dos bases, y ${displaystyle A}$ es cambio de matriz de la base (también llamado matriz de transición), que es la matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas de los nuevos vectores de base sobre la base antigua.

Este artículo trata principalmente de espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Fórmula de cambio de base

Vamos. ${displaystyle B_{mathrm {old}=(v_{1},ldotsv_{n}}$ ser una base de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un terreno F.

Para j = 1,... n, uno puede definir un vector w_j por sus coordenadas ${displaystyle a_{i,j}$ sobre ${displaystyle B_{mathrm {old}colon$

${displaystyle ¿Por qué? ¿Qué?$

Dejar

${displaystyle A=left(a_{i,j}right)_{i,j}$

ser la matriz jla columna está formada por las coordenadas de w_j. (Aquí y en qué sigue, el índice i se refiere siempre a las filas de A y el ${displaystyle - ¿Qué?$ mientras que el índice j se refiere siempre a las columnas de A y el ${displaystyle ¿Qué?$ tal convención es útil para evitar errores en computaciones explícitas.)

Ajuste ${displaystyle B_{mathrm {new}=(w_{1},ldotsw_{n}),}$ uno tiene que ${displaystyle B_{mathrm {new}$ es una base de V si y sólo si la matriz A es invertible, o equivalentemente si tiene un determinante no cero. En este caso, A se dice que es el cambio de matriz de la base de la base ${displaystyle B_{mathrm {old}$ sobre la base ${displaystyle B_{mathrm {new}$

Dado un vector ${displaystyle zin V,}$ Deja ${displaystyle (x_{1},ldotsx_{n}}$ ser las coordenadas de ${displaystyle z}$ sobre ${displaystyle B_{mathrm {old} }$ y ${displaystyle (y_{1},ldotsy_{n}$ sus coordenadas sobre ${displaystyle B_{mathrm {new}$ eso es

${displaystyle z=sum - ¿Qué? - Sí.$

(Se podría tomar el mismo índice de suma para las dos sumas, pero eligiendo sistemáticamente los índices i para la base anterior y j para el nuevo aclara las fórmulas que siguen y ayuda a evitar errores en pruebas y cálculos explícitos).

La fórmula de cambio de base expresa las coordenadas sobre la base anterior en términos de las coordenadas sobre la nueva base. Con la notación anterior, es

${displaystyle x_{i}=sum ¿Por qué?$

En términos de matrices, la fórmula de cambio de base es

${displaystyle mathbf {x} =A,mathbf {y}$

Donde ${displaystyle mathbf {x}$ y ${displaystyle mathbf {y}$ son los vectores de columna de las coordenadas de z sobre ${displaystyle B_{mathrm {old}$ y ${displaystyle B_{mathrm {new},}$ respectivamente.

Prueba: Usando la definición anterior de la matriz de cambio de base, se tiene

${displaystyle {begin{aligned}z ago=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué?$

As ${displaystyle z=textstyle sum ¿Qué?$ la fórmula de cambio de base resulta de la singularidad de la descomposición de un vector sobre una base.

Ejemplo

Considere el espacio vectorial Euclidean ${displaystyle mathbb {R} ^{2}$ Su base estándar consiste en los vectores ${displaystyle v_{1}=(1,0)}$ y ${displaystyle v_{2}=(0,1). }$ Si uno los gira por un ángulo t, uno consigue un nueva base formado por ${displaystyle w_{1}=(cos t,sin t)}$ y ${displaystyle w_{2}=(-sin t,cos t).}$

Así que, la matriz de cambio de base es ${displaystyle {begin{bmatrix}cos t sensible-sin t}}}$

La fórmula de cambio de cuentas afirma que, si ${displaystyle Y...$ son las nuevas coordenadas de un vector ${displaystyle (x_{1},x_{2}),}$ entonces uno tiene

${begin{bmatrix}x_{1}x_{2}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos t limit-sin t\sin t limitecos tend{bmatrix},{begin{bmatrix}y_{1}y_dtrix}end$

Es decir,

${displaystyle x_{1}=y_{1}cos t-y_{2}sin qquad {text{y}qquad x_{2}=y_{1}sin t+y_{2}cos t.}$

Esto puede verificarse escribiendo

${displaystyle {begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2} t-y_{2}sin t)v_{1}+(y_{1}sin t+y_{2}cos t)v_{2}\\=y_{1}(cos(t)v_{1}+sin(t)v_{2})+y_{2}(-sin(t)v_{1}+cos(t)v_{2})}\ {1}{1}{1}{1}{2}}}{2}}}}{2}}}}{2} {}}}}}}}2}}}}}2} {}}{}}}}}}}}}{2}}}}}}}}c}c}c}}}}}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}ccc}cc}c}c}c$

En términos de mapas lineales

Normalmente, una matriz representa un mapa lineal, y el producto de una matriz y un vector columna representa la aplicación de la función del mapa lineal correspondiente al vector cuyas coordenadas forman el vector columna. La fórmula de cambio de base es un caso específico de este principio general, aunque esto no queda inmediatamente claro a partir de su definición y demostración.

Cuando se dice que una matriz representa una aplicación lineal, se hace referencia implícitamente a bases de espacios vectoriales implícitos y al hecho de que la elección de una base induce un isomorfismo entre un espacio vectorial y < span class="texhtml">Fⁿ, donde F es el campo de escalares. Cuando sólo se considera una base para cada espacio vectorial, vale la pena dejar este isomorfismo implícito y llegar a un isomorfismo. Como aquí se consideran varias bases del mismo espacio vectorial, se requiere una redacción más precisa.

Vamos. F ser un campo, el conjunto ${displaystyle F^{n}$ de los n-tuples es un F- espacio de vencedor cuya multiplicación de adición y escalar se definen en sentido de componente. Su base estándar es la base que tiene it elemento el tuple con todos los componentes iguales 0 excepto el ique es 1.

Una base ${displaystyle B=(v_{1},ldotsv_{n}}$ of a F- Espacio de vehículos V define un isomorfismo lineal ${displaystyle phi colon F^{n}to V}$ por

${displaystyle phi (x_{1},ldotsx_{n}=sum ¿Qué?$

Por el contrario, tal isomorfismo lineal define una base, que es la imagen por ${displaystyle phi }$ de la base estándar ${displaystyle F^{n}$

Vamos. ${displaystyle B_{mathrm {old}=(v_{1},ldotsv_{n}}$ ser la "antigua base" de un cambio de base, y ${displaystyle phi _{mathrm {old}$ el isomorfismo asociado. Dada una matriz de cambio de base A, considerarlo como la matriz de un endomorfismo ${displaystyle psi _{A}$ de ${displaystyle F^{n}$ Finalmente, defina

${displaystyle phi _{mathrm {new} }=phi _{mathrm {old} }circ psi _{A}$

(donde) ${displaystyle circ }$ denota la composición de la función), y

${displaystyle ¿Qué? } {-1}(B_{mathrm {old})}).}$

Una verificación directa, permite mostrar que esta definición ${displaystyle B_{mathrm {new}$ es el mismo que el de la sección anterior.

Ahora, componiendo la ecuación ${displaystyle phi _{mathrm {new} }=phi _{mathrm {old} }circ psi _{A}$ con ${displaystyle phi _{mathrm {old} } {-1}$ a la izquierda y ${displaystyle phi _{mathrm {new} } {-1}$ a la derecha, uno se pone

${displaystyle phi _{mathrm {old}. ¿Por qué?$

De ahí que, ${displaystyle vin V,}$ uno tiene

${displaystyle phi _{mathrm {old} }{-1}(v)=psi _{A}(phi _{mathrm {new}^{-1}(v)),}$

que es la fórmula de cambio de base expresada en términos de mapas lineales en lugar de coordenadas.

Función definida en un espacio vectorial

Una función que tiene un espacio vectorial como dominio se especifica comúnmente como una función multivariada cuyas variables son las coordenadas sobre alguna base del vector sobre el que se aplica la función.

Cuando se cambia la base, se cambia la expresión de la función. Este cambio se puede calcular sustituyendo el "antiguo" coordenadas para sus expresiones en términos del "nuevo" coordenadas. Más precisamente, si f(x) es la expresión de la función en términos de las coordenadas antiguas, y si < span class="texhtml">x = Ay es la fórmula de cambio de base, entonces f(Ay) es la expresión de la misma función en términos de las nuevas coordenadas.

El hecho de que la fórmula de cambio de base exprese las coordenadas antiguas en términos de las nuevas puede parecer antinatural, pero parece útil, ya que aquí no se necesita inversión de matriz.

Como la fórmula de cambio de base implica solo funciones lineales, muchas propiedades de las funciones se mantienen mediante un cambio de base. Esto permite definir estas propiedades como propiedades de funciones de un vector variable que no están relacionadas con ninguna base específica. Entonces, una función cuyo dominio es un espacio vectorial o un subconjunto del mismo es

• una función lineal,
• a polinomial function,
• una función continua,
• una función diferente,
• una función suave,
• una función analítica,

si la función multivariada que lo representa sobre alguna base (y por lo tanto sobre todas las bases) tiene la misma propiedad.

Esto es especialmente útil en la teoría de variedades, ya que permite extender los conceptos de funciones continuas, diferenciables, suaves y analíticas a funciones que se definen en una variedad.

Mapas lineales

Considere un mapa lineal T: W → V desde un espacio vectorial < abarca clase="texhtml mvar" style="font-style:italic;">W de dimensión n a un espacio vectorial V de dimensión m< /lapso>. Está representado en el "antiguo" bases de V y W por una matriz m×n M. Un cambio de bases se define mediante una matriz de cambio de base m×m P para V y un n×n matriz de cambio de base Q para W.

Sobre el "nuevo" bases, la matriz de T es

${displaystyle P^{-1}MQ.}$

Esta es una consecuencia directa de la fórmula de cambio de base.

Endomorfismos

Los endomorfismos son aplicaciones lineales de un espacio vectorial V a sí mismo. Para un cambio de base se aplica la fórmula del apartado anterior, con la misma matriz de cambio de base en ambos lados de la fórmula. Es decir, si M es la matriz cuadrada de un endomorfismo de V sobre una etiqueta "antigua" base, y P es una matriz de cambio de base, entonces la matriz del endomorfismo en el "nuevo&# 34; la base es

${displaystyle P^{-1}MP.}$

Como toda matriz invertible puede usarse como matriz de cambio de base, esto implica que dos matrices son similares si y sólo si representan el mismo endomorfismo en dos bases diferentes.

Formas bilinarias

A forma bilineal en un espacio vectorial V sobre un terreno F es una función V × V → F que es lineal en ambos argumentos. Eso es, B: V × V → F es bilinear si los mapas ${displaystyle vmapsto B(v,w)}$y ${displaystyle vmapsto B(w,v)}$son lineales para cada fijo ${displaystyle win V.}$

La matriz B de una forma bilineal B sobre una base ${displaystyle (v_{1},ldotsv_{n}}$ (la base "antigua" en lo que sigue) es la matriz cuya entrada de la ila fila y jla columna B()i, j). De ello se desprende que si v y w son los vectores de columna de las coordenadas de dos vectores v y w, uno tiene

${displaystyle B(v,w)=mathbf {v}mathbf}mathbf {B} mathbf {w}$

Donde ${displaystyle mathbf {v}$ denota la transposición de la matriz v.

Si P es una matriz de cambio de base, entonces un cálculo sencillo muestra que la matriz de la forma bilineal en la nueva la base es

${displaystyle Oh, Dios mío. P.$

Una forma bilineal simétrica es una forma bilineal B tales que ${displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ para todos v y w dentro V. De ahí que la matriz B sobre cualquier base es simétrico. Esto implica que la propiedad de ser una matriz simétrica debe ser mantenida por la fórmula de cambio de base anterior. También se puede comprobar esto notando que la transposición de un producto de matriz es el producto de los transposes computados en el orden inverso. En particular,

${displaystyle (P^{mathsf {T}Mathbf {B} {fnMitsf {fnMitsf} {fnMitsf}}mtbf {B} {\fnMitsf {T}P}$

y los dos miembros de esta ecuación iguales ${displaystyle Oh, Dios mío.$ si la matriz B es simétrico.

Si la característica del campo de tierra F no es dos, entonces para cada forma bilineal simétrica hay una base para la cual la matriz es diagonal. Además, las entradas no cero resultantes en la diagonal se definen hasta la multiplicación por un cuadrado. Así que, si el campo terrestre es el campo ${displaystyle mathbb {R}$ de los números reales, estas entradas no cero pueden ser elegidas 1 o –1. La ley de inercia de Sylvester es un teorema que afirma que el número de 1 y de –1 depende sólo de la forma bilineal, y no del cambio de base.

Las formas bilineales simétricas sobre los reinos se encuentran a menudo en geometría y física, típicamente en el estudio de las cuádrices y de la inercia de un cuerpo rígido. En estos casos, las bases ortonormales son especialmente útiles; esto significa que uno generalmente prefiere restringir los cambios de base a aquellos que tienen una matriz de cambio de base ortogonal, es decir, una matriz tal que ${displaystyle Oh, Dios mío.$ Tales matrices tienen la propiedad fundamental de que la fórmula de cambio de base es la misma para una forma bilineal simétrica y el endomorfismo que está representado por la misma matriz simétrica. El teorema espectral afirma que, dada tal matriz simétrica, hay un cambio ortogonal de base tal que la matriz resultante (de la forma bilineal y el endomorfismo) es una matriz diagonal con los eigenvalues de la matriz inicial en la diagonal. De ahí que, sobre los reales, si la matriz de un endomorfismo es simétrica, entonces es diagonalizable.