Cálculo vectorial

Vector calculus, o Análisis de vectores, se preocupa por la diferenciación e integración de campos vectoriales, principalmente en el espacio euclidiano tridimensional R3.{displaystyle mathbb {R} ^{3} El término "cálculo vencedor" a veces se utiliza como sinónimo para el tema más amplio del cálculo multivariable, que abarca el cálculo vectorial, así como la diferenciación parcial y la integración múltiple. El cálculo vectorial desempeña un papel importante en la geometría diferencial y en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Se utiliza extensamente en física e ingeniería, especialmente en la descripción de Campos electromagnéticos, campos gravitatorios y flujo de fluidos.

El cálculo vectorial fue desarrollado a partir del análisis de cuaterniones por J. Willard Gibbs y Oliver Heaviside a fines del siglo XIX, y la mayor parte de la notación y la terminología fueron establecidas por Gibbs y Edwin Bidwell Wilson en su libro de 1901, Vector Análisis. En la forma convencional que usa productos cruzados, el cálculo vectorial no se generaliza a dimensiones más altas, mientras que el enfoque alternativo del álgebra geométrica que usa productos exteriores sí lo hace (consulte § Generalizaciones a continuación para obtener más información).

Objetos básicos

Campos escalares

Un campo escalar asocia un valor escalar a cada punto en un espacio. El escalar es un número matemático que representa una cantidad física. Los ejemplos de campos escalares en aplicaciones incluyen la distribución de temperatura en todo el espacio, la distribución de presión en un fluido y los campos cuánticos de espín cero (conocidos como bosones escalares), como el campo de Higgs. Estos campos son el tema de la teoría de campos escalares.

Campos vectoriales

Un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un espacio. Un campo vectorial en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una colección de flechas con una magnitud y dirección determinadas, cada una unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales a menudo se usan para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la intensidad y la dirección de alguna fuerza, como la fuerza magnética o gravitatoria, a medida que cambia de un punto a otro. Esto se puede utilizar, por ejemplo, para calcular el trabajo realizado sobre una línea.

Vectores y pseudovectores

En tratamientos más avanzados, se distinguen además los campos pseudovectoriales y los campos pseudoescalares, que son idénticos a los campos vectoriales y escalares, excepto que cambian de signo bajo un mapa de inversión de orientación: por ejemplo, el rotacional de un campo vectorial es un campo pseudovectorial, y si uno refleja un campo vectorial, el rotacional apunta en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y elabora en álgebra geométrica, como se describe a continuación.

Álgebra vectorial

Las operaciones algebraicas (no diferenciales) en el cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial, se definen para un espacio vectorial y luego se aplican globalmente a un campo vectorial. Las operaciones algebraicas básicas consisten en:

Notas en el cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción
Vector addition	v1+v2{displaystyle mathbf {v} ¿Qué? ¿Qué?	Adición de dos vectores, dando un vector.
Multiplicación de escalar	av{displaystyle amathbf}	Multiplicación de un escalar y un vector, dando un vector.
Producto	v1⋅ ⋅ v2{displaystyle mathbf {v} _{1}cdot mathbf {v} ¿Qué?	Multiplicación de dos vectores, dando un escalar.
Producto cruzado	v1× × v2{displaystyle mathbf {v} _{1}times mathbf {v} ¿Qué?	Multiplicación de dos vectores en R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}, dando un (pseudo)vector.

También se utilizan comúnmente los dos productos triples:

Productos triples de cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción
Producto triple escalar	v1⋅ ⋅ ()v2× × v3){displaystyle mathbf {v} _{1}cdot left(mathbf {v} _{2}times mathbf {v} _{3}right)}	El producto del punto de la cruz producto de dos vectores.
Producto triple vectorial	v1× × ()v2× × v3){displaystyle mathbf {v} _{1}times left(mathbf {v} _{2}times mathbf {v} _{3}right)}	El producto cruzado de la cruz de dos vectores.

Operadoras y teoremas

Operadores diferenciales

Cálculo vectorial estudia diversos operadores diferenciales definidos en campos escalar o vectoriales, que se expresan típicamente en términos del operador (Silencio Silencio {displaystyle nabla }), también conocido como "nabla". Los tres operadores vectoriales básicos son:

Operadores diferenciales en cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción	analogía notacional	Dominio/Range
Gradiente	grad⁡ ⁡ ()f)=Silencio Silencio f{displaystyle operatorname {grad} (f)=nabla f}	Mide la velocidad y la dirección del cambio en un campo de escalar.	Multiplicación de escalar	Mapas escalar campos a campos vectoriales.
Divergence	div⁡ ⁡ ()F)=Silencio Silencio ⋅ ⋅ F{displaystyle operatorname {div} (mathbf {F})=nabla cdot mathbf {F}	Mide el escalar de una fuente o lavabo en un momento dado en un campo vectorial.	Producto	Mapas campos vectoriales a campos de escalar.
Curl	curl⁡ ⁡ ()F)=Silencio Silencio × × F{displaystyle operatorname {curl} (mathbf {F})=nabla times mathbf {F}	Mide la tendencia a girar alrededor de un punto en un campo vectorial en R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}.	Producto cruzado	Mapas campos vectoriales a campos (pseudo)vector.
f denota un campo de escalar y F denota un campo vectorial

También se usan comúnmente los dos operadores de Laplace:

Operadores de Laplace en el cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción	Dominio/Range
Laplacian	Δ Δ f=Silencio Silencio 2f=Silencio Silencio ⋅ ⋅ Silencio Silencio f{displaystyle Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f}	Mide la diferencia entre el valor del campo de escalar con su promedio en bolas infinitesimal.	Mapas entre campos de escalar.
Vector Laplacian	Silencio Silencio 2F=Silencio Silencio ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ F)− − Silencio Silencio × × ()Silencio Silencio × × F){displaystyle nabla ^{2}mathbf {F} =nabla (nabla cdot mathbf {F})-nabla times (nabla times mathbf {F})}	Mide la diferencia entre el valor del campo vectorial con su promedio en bolas infinitesimal.	Mapas entre campos vectoriales.
f denota un campo de escalar y F denota un campo vectorial

Una cantidad llamada matriz jacobiana es útil para estudiar funciones cuando tanto el dominio como el rango de la función son multivariables, como un cambio de variables durante la integración.

Teoremas integrales

Los tres operadores vectoriales básicos tienen teoremas correspondientes que generalizan el teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores:

Teoremas integrales de cálculo vectorial

Theorem	Estado	Descripción
Teorema de gradiente	∫ ∫ L⊂ ⊂ RnSilencio Silencio φ φ ⋅ ⋅ dr=φ φ ()q)− − φ φ ()p)paraL=L[p→ → q]{displaystyle int _{Lsubset mathbb {R} ^{n}!!!nabla varphi cdot dmathbf {r} =\ varphi left(mathbf {q}right)-varphi left(mathbf {p}right) {f}\fnh00}\\fnMicrosoft]	La línea integral del gradiente de un campo escalar sobre una curva L es igual al cambio en el campo de escalar entre los puntos finales p y q de la curva.
Teorema de diversidad	∫ ∫ ⋯ ⋯ ∫ ∫ V⊂ ⊂ Rn⏟ ⏟ n()Silencio Silencio ⋅ ⋅ F)dV=∮ ∮ ⋯ ⋯ ∮ ∮ ∂ ∂ V⏟ ⏟ n− − 1F⋅ ⋅ dS{displaystyle underbrace {int !cdots !int _{ Vsubset mathbb {R} {fn}} _{n}(nabla cdot mathbf {F}),dV = underbrace {oint !cdots !oint _{partial V} - No. {F} cdot dmathbf {S}	La parte integral de la divergencia de un campo vectorial sobre un n-dimensional sólido V es igual al flujo del campo vectorial a través del ()n−1)- la superficie de límite cerrado dimensional del sólido.
Teorema de Curl (Kelvin-Stokes)	∫ ∫ .. ⊂ ⊂ R3()Silencio Silencio × × F)⋅ ⋅ d.. =∮ ∮ ∂ ∂ .. F⋅ ⋅ dr{displaystyle iint _{ Sigma ,subset mathbb {R} {3}(nabla times mathbf {F})cdot dmathbf {Sigma } =oint _{!!partial Sigma }mathbf {F} cdot dmathbf {r}	La parte integral del rizo de un campo vectorial sobre la superficie de la R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} es igual a la circulación del campo vectorial alrededor de la curva cerrada que une la superficie.
φ φ {displaystyle varphi } denota un campo de escalar y F denota un campo vectorial

En dos dimensiones, los teoremas de divergencia y rotacional se reducen al teorema de Green:

Teorema de verde del cálculo vectorial

Theorem	Estado	Descripción
Theorem Green	∫ ∫ A⊂ ⊂ R2()∂ ∂ M∂ ∂ x− − ∂ ∂ L∂ ∂ Sí.)dA=∮ ∮ ∂ ∂ A()Ldx+MdSí.){displaystyle iint _{A,subset mathbb {fnK} {fnMicroc {partial M}{partial x}-{frac {partial L}{partial y}}right)dA =oint _{partial A}left(L,dx+M,dyright)}}	La parte integral de la divergencia (o curva) de un campo vectorial sobre alguna región A dentro R2{displaystyle mathbb {R} {2}} iguala el flujo (o la circulación) del campo vectorial sobre la curva cerrada que une la región.
Para la divergencia, F =M, −L). Para Curl, F =L, M, 0). L y M son funciones de ()x, Sí.).

Aplicaciones

Aproximaciones lineales

Las aproximaciones lineales se utilizan para reemplazar funciones complicadas con funciones lineales que son casi iguales. Dada una función diferenciable f(x, y) con valores reales, se puede aproximar f(x, y) para (x, y) cerca de (a, b) por la fórmula

f()x,Sí.).. f()a,b)+∂ ∂ f∂ ∂ x()a,b)()x− − a)+∂ ∂ f∂ ∂ Sí.()a,b)()Sí.− − b).{displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+{tfrac {partial f}{partial x}(a,b),(x-a)+{tfrac {partial f}{partial y}(a,b),(y-b). }

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de z = f(x, y) en (a, b).

Optimización

Para una función continuamente diferenciable de varias variables reales, un punto P (es decir, un conjunto de valores para las variables de entrada, que se ve como un punto en Rⁿ) es crítico si todas las derivadas parciales de la función son cero en P, o, de manera equivalente, si su gradiente es cero. Los valores críticos son los valores de la función en los puntos críticos.

Si la función es suave o, al menos, dos veces continuamente diferenciable, un punto crítico puede ser un máximo local, un mínimo local o un punto de silla. Los diferentes casos se pueden distinguir considerando los valores propios de la matriz hessiana de segundas derivadas.

Según el teorema de Fermat, todos los máximos y mínimos locales de una función diferenciable ocurren en puntos críticos. Por lo tanto, para encontrar los máximos y mínimos locales, teóricamente es suficiente calcular los ceros del gradiente y los valores propios de la matriz hessiana en estos ceros.

Física e ingeniería

El cálculo vectorial es particularmente útil para estudiar:

• Centro de masas
• Teoría del campo
• Kinematics
• Ecuaciones de Maxwell

Generalizaciones

Diferentes 3 variedades

El cálculo vectorial se define inicialmente para Euclidean 3-espacio, R3,{displaystyle mathbb {R} ^{3} que tiene estructura adicional más allá simplemente de ser un espacio vectorial real tridimensional, a saber: una norma (que da una noción de longitud) definida a través de un producto interno (el producto de punto), que a su vez da una noción de ángulo, y una orientación, que da una noción de mano izquierda y derecha. Estas estructuras dan lugar a una forma de volumen, y también al producto cruzado, que se utiliza en forma generalizada en el cálculo vectorial.

El gradiente y la divergencia requieren solo el producto interno, mientras que el rotacional y el producto cruzado también requieren que se tenga en cuenta la lateralidad del sistema de coordenadas (consulte el producto cruzado y la lateralidad para obtener más detalles).

El cálculo vectorial se puede definir en otros espacios vectoriales reales tridimensionales si tienen un producto interno (o más generalmente una forma simétrica no degenerada) y una orientación; tenga en cuenta que estos son menos datos que un isomorfismo del espacio euclidiano, ya que no requiere un conjunto de coordenadas (un marco de referencia), lo que refleja el hecho de que el cálculo vectorial es invariante bajo rotaciones (el grupo ortogonal especial SO (3)).

De manera más general, el cálculo vectorial se puede definir en cualquier variedad de Riemann orientada en 3 dimensiones o, de manera más general, en una variedad pseudo-Riemanniana. Esta estructura simplemente significa que el espacio tangente en cada punto tiene un producto interno (más generalmente, una forma simétrica no degenerada) y una orientación, o más globalmente que hay un tensor métrico simétrico no degenerado y una orientación, y funciona porque el cálculo vectorial está definido en términos de vectores tangentes en cada punto.

Otras dimensiones

La mayoría de los resultados analíticos se entienden fácilmente, en una forma más general, utilizando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto. Grad y div se generalizan inmediatamente a otras dimensiones, al igual que el teorema del gradiente, el teorema de la divergencia y el laplaciano (que produce análisis armónico), mientras que el rotacional y el producto cruzado no se generalizan tan directamente.

Desde un punto de vista general, los diversos campos en el cálculo vectorial (tridimensional) se ven uniformemente como campos vectoriales k: los campos escalares son campos vectoriales 0, los campos vectoriales son campos vectoriales 1 -campos vectoriales, los campos pseudovectoriales son campos de 2 vectores y los campos pseudoescalares son campos de 3 vectores. En dimensiones superiores hay tipos adicionales de campos (escalar/vectorial/pseudovector/pseudoescalar correspondientes a 0/1/n−1/n dimensiones, que es exhaustivo en la dimensión 3), por lo que no se puede trabajar solo con (pseudo)escalares y (pseudo)vectores.

En cualquier dimensión, asumiendo una forma nondegenerada, el grad de una función de escalar es un campo vectorial, y la div de un campo vectorial es una función escalar, pero sólo en la dimensión 3 o 7 (y, trivialmente, en la dimensión 0 o 1) es el rizo de un campo vectorial un campo vectorial, y sólo en 3 o 7 dimensiones se puede definir un producto cruzado (generalizaciones en otras dimensiones requieren n− − 1{displaystyle n-1} vectores para producir 1 vector, o son alternativas Álgebras de Lie, que son más generales productos bilineales antisimétricos). La generalización de grad y div, y cómo se puede generalizar el rizo se elabora en Curl: Generalizaciones; en resumen, el rizo de un campo vectorial es un campo bivector, que puede ser interpretado como la ortogonal especial Álgebra de mentira de rotaciones infinitesimal; sin embargo, esto no puede ser identificado con un campo vectorial porque las dimensiones difieren – hay 3 dimensiones de rotaciones en 3 dimensiones, pero 6 dimensiones de rotaciones en 4 dimensiones (y más generalmente ()n2)=12n()n− − 1){displaystyle textstyle {binom} {n}{2}={frac {1}n(n-1)}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}} {f} {f}}}} {f} {f}} {fn}} {fn}}}}}}}}} {f}}}}}} {f} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fn} {fn} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} dimensiones de las rotaciones en n dimensiones).

Hay dos generalizaciones alternativas importantes del cálculo vectorial. El primero, el álgebra geométrica, utiliza campos vectoriales k en lugar de campos vectoriales (en 3 o menos dimensiones, cada campo vectorial k puede identificarse con una función escalar o un campo vectorial, pero esto no es cierto en dimensiones superiores). Esto reemplaza el producto cruzado, que es específico de 3 dimensiones, tomando dos campos vectoriales y dando como salida un campo vectorial, con el producto exterior, que existe en todas las dimensiones y tomando dos campos vectoriales, dando como salida un bivector (2 -campo vectorial. Este producto produce álgebras de Clifford como la estructura algebraica en espacios vectoriales (con orientación y forma no degenerada). El álgebra geométrica se usa principalmente en generalizaciones de la física y otros campos aplicados a dimensiones superiores.

La segunda generalización usa formas diferenciales (k-campos covectoriales) en lugar de campos vectoriales o k-campos vectoriales, y se usa ampliamente en matemáticas, particularmente en geometría diferencial., topología geométrica y análisis armónico, en particular la teoría de Hodge sobre variedades pseudo-Riemannianas orientadas. Desde este punto de vista, grad, curl y div corresponden a la derivada exterior de las formas 0, 1 y 2, respectivamente, y los teoremas clave del cálculo vectorial son todos casos especiales de la forma general de Stokes& #39; teorema.

Desde el punto de vista de estas dos generalizaciones, el cálculo vectorial identifica implícitamente objetos matemáticamente distintos, lo que hace que la presentación sea más simple pero que la estructura matemática subyacente y las generalizaciones sean menos claras. Desde el punto de vista del álgebra geométrica, el cálculo vectorial identifica implícitamente campos k-vectores con campos vectoriales o funciones escalares: 0-vectores y 3-vectores con escalares, 1-vectores y 2-vectores con vectores. Desde el punto de vista de las formas diferenciales, el cálculo vectorial identifica implícitamente formas k con campos escalares o campos vectoriales: formas 0 y formas 3 con campos escalares, formas 1 y formas 2 con campos vectoriales los campos. Así, por ejemplo, el curl toma naturalmente como entrada un campo vectorial o de 1 forma, pero naturalmente tiene como salida un campo de 2 vectores o de 2 formas (por lo tanto, campo pseudovectorial), que luego se interpreta como un campo vectorial, en lugar de tomar directamente un campo vectorial a un campo vectorial; esto se refleja en el rotacional de un campo vectorial en dimensiones superiores al no tener como salida un campo vectorial.