Cálculo tensorial
En matemáticas, el cálculo tensorial, el análisis tensorial o el cálculo de Ricci es una extensión del cálculo vectorial a campos tensoriales (tensores que pueden variar sobre una variedad, por ejemplo en el espacio-tiempo).
Desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro y su alumno Tullio Levi-Civita, fue utilizado por Albert Einstein para desarrollar su teoría general de la relatividad. A diferencia del cálculo infinitesimal, el cálculo tensorial permite la presentación de ecuaciones físicas en una forma que es independiente de la elección de las coordenadas en la variedad.
El cálculo tensorial tiene muchas aplicaciones en física, ingeniería e informática, incluida la elasticidad, la mecánica continua, el electromagnetismo (ver descripciones matemáticas del campo electromagnético), la relatividad general (ver matemáticas de la relatividad general), la teoría cuántica de campos y el aprendizaje automático.
Trabajando con uno de los principales defensores del cálculo exterior, Elie Cartan, el influyente geómetra Shiing-Shen Chern resume el papel del cálculo tensorial:
En nuestro tema de geometría diferencial, donde se habla de los múltiples, una dificultad es que la geometría es descrita por coordenadas, pero las coordenadas no tienen significado. Se les permite sufrir transformaciones. Y para manejar este tipo de situación, una herramienta importante es el llamado análisis de tensor, o cálculo Ricci, que era nuevo para los matemáticos. En matemáticas tienes una función, escribes la función, calculas o agregas, o te multiplicas, o puedes diferenciar. Tienes algo muy concreto. En geometría la situación geométrica se describe por números, pero puede cambiar sus números arbitrariamente. Para manejar esto, necesitas el cálculo Ricci.
Sintaxis
La notación del tensor hace uso de índices superiores e inferiores en objetos que se utilizan para etiquetar un objeto variable como covariante (índice inferior), contravariante (índice superior), o mixto covariante y contravariante (contiene tanto índices superiores como inferiores). De hecho, en la sintaxis convencional de matemáticas hacemos uso de índices covariantes al tratar con sistemas de coordenadas cartesianos con frecuencia sin darse cuenta de esto es un uso limitado de sintaxis de tensor como componentes indexados covariantes.
La notación tensorial permite un índice superior en un objeto que puede confundirse con operaciones de potencia normales de la sintaxis matemática convencional.
Conceptos clave
Descomposición vectorial
La notación de tensores permite un vector () para ser descompuesto en una suma de Einstein que representa la contracción tensor de un vector de base ( o ) con un vector de componente ( o ).
Cada vector tiene dos representaciones diferentes, una referida como componente contravariante () con una base covariante (), y el otro como un componente covariante () con una base contravariante (). Los objetos de tensor con todos los índices superiores se denominan contravariantes, y los objetos de tensor con todos los índices inferiores se denominan covariantes. La necesidad de distinguir entre contravariante y covariante surge del hecho de que cuando hacemos un vector arbitrario con su vector de base relacionado con un sistema de coordenadas particular, hay dos formas de interpretar este producto de punto, ya sea que lo consideramos como la proyección del vector base sobre el vector arbitrario, o lo consideramos como la proyección del vector arbitrario sobre el vector de base, ambas opiniones del producto de puntos son totalmente equivalentes, pero tienen diferentes componentes y elementos
Por ejemplo, en física comienzas con un campo vectorial, lo descompones con respecto a la base covariante y así es como obtienes las coordenadas contravariantes. Para coordenadas cartesianas ortonormales, la base covariante y contravariante son idénticas, ya que la base establecida en este caso es solo la matriz identidad; sin embargo, para sistemas de coordenadas no afines como polares o esféricos, es necesario distinguir entre descomposición mediante el uso de Conjunto de bases contravariantes o covariantes para generar los componentes del sistema de coordenadas.
Descomposición del vector covariante
| variable | descripción | Tipo |
|---|---|---|
| vector | invariable | |
| componentes contravariantes (conjunto ordenado de escalares) | variante | |
| bases covariantes (conjunto ordenado de vectores) | variante |
Descomposición de vectores contravariantes
| variable | descripción | Tipo |
|---|---|---|
| vector | invariable | |
| componentes covariantes (conjunto ordenado de escalares) | variante | |
| bases contravariantes (conjunto ordenado de covectores) | variante |
Tensor métrico
El tensor métrico representa una matriz con elementos de escalar ( o ) y es un objeto tensor que se utiliza para elevar o bajar el índice en otro objeto tensor por una operación llamada contracción, permitiendo así que un tensor covariante se convierta en un tensor contravariante, y viceversa.
Ejemplo de reducción de índice usando tensor métrico:
Ejemplo de aumento de índice usando tensor métrico:
El tensor métrico se define como:
Esto significa que si tomamos cada permutación de un conjunto de vectores base y las comparamos entre sí, y luego las organizamos en una matriz cuadrada, tendríamos un tensor métrico. La advertencia aquí es cuál de los dos vectores en la permutación se usa para la proyección contra el otro vector, es decir, la propiedad distintiva del tensor métrico covariante en comparación con el tensor métrico contravariante.
Existen dos sabores de tensores métricos: (1) contravariante tensor métrico ()), y (2) el covariante tensor métrico ()). Estos dos sabores de tensor métrico están relacionados por la identidad:
Para un sistema ortonormal de coordenadas cartesianas, el tensor métrico es sólo el broche delta o , que es sólo un equivalente tensor de la matriz de identidad, y .
Jacobiano
Además un tensor se puede convertir fácilmente de un no barrido() a una coordenadas prohibidas) sistema que tiene diferentes conjuntos de vectores de base:
por el uso de las relaciones matriciales jacobinas entre el sistema de coordenadas barridas y sin barras (). El jacobino entre el sistema barredo y sin barrido es instrumental en la definición de los vectores covariantes y contravariantes de base, en que para que estos vectores existan necesitan satisfacer la siguiente relación relativa al sistema barrido y sin barrer:
Se requieren
vectores contravariantes para obedecer las leyes:
Se requieren
vectores covariantes para obedecer las leyes:
Hay dos tipos de matriz jacobiana:
1. La matriz J que representa el cambio de coordenadas sin barrer a las prohibidas. Para encontrar a J, tomamos el "gradiente rojo", es decir, deriva parcial con respecto a :
2. El matriz, representando el cambio de las coordenadas prohibidas a las sin barras. Para encontrar , tomamos el "gradiente sin barrido", es decir, deriva parcial con respecto a :
Vector de gradiente
El cálculo tensorial proporciona una generalización de la fórmula vectorial de gradiente del cálculo estándar que funciona en todos los sistemas de coordenadas:
Dónde:
Por el contrario, para el cálculo estándar, la fórmula del vector de gradiente depende del sistema de coordenadas en uso (ejemplo: fórmula del vector de gradiente cartesiano frente a la fórmula del vector de gradiente polar frente a la fórmula del vector de gradiente esférico, etc.). En el cálculo estándar, cada sistema de coordenadas tiene su propia fórmula específica, a diferencia del cálculo tensorial que tiene solo una fórmula de gradiente que es equivalente para todos los sistemas de coordenadas. Esto es posible gracias a la comprensión del tensor métrico que utiliza el cálculo tensorial.