Cálculo jones

En óptica, la luz polarizada se puede describir mediante el cálculo de Jones, descubierto por R. C. Jones en 1941. La luz polarizada se representa mediante un vector de Jones y elementos ópticos lineales están representados por matrices de Jones. Cuando la luz cruza un elemento óptico, la polarización resultante de la luz emergente se encuentra tomando el producto de la matriz de Jones del elemento óptico y el vector de Jones de la luz incidente. Tenga en cuenta que el cálculo de Jones solo es aplicable a la luz que ya está completamente polarizada. La luz que está aleatoriamente polarizada, parcialmente polarizada o incoherente debe tratarse utilizando el cálculo de Mueller.

Vector de Jones

El vector de Jones describe la polarización de la luz en el espacio libre u otro medio homogéneo isotrópico no atenuante, donde la luz puede describirse correctamente como ondas transversales. Suponga que una onda plana monocromática de luz viaja en la dirección z positiva, con una frecuencia angular ω y un vector de onda k = (0, 0,k), donde el número de onda k = ω/c. Entonces los campos eléctrico y magnético E y H son ortogonales a k en cada punto; ambos se encuentran en el plano "transversal" a la dirección del movimiento. Además, H se determina a partir de E mediante una rotación de 90 grados y un multiplicador fijo que depende de la impedancia de onda del medio. Entonces, la polarización de la luz se puede determinar estudiando E. La amplitud compleja de E se escribe

()Ex()t)ESí.()t)0)=()E0xei()kz− − ⋅ ⋅ t+φ φ x)E0Sí.ei()kz− − ⋅ ⋅ t+φ φ Sí.)0)=()E0xeiφ φ xE0Sí.eiφ φ Sí.0)ei()kz− − ⋅ ⋅ t).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}}m} {0} {x} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH0}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}}}}cH00} ¿Qué? ¿Por qué?

Note que el físico E campo es la parte real de este vector; el multiplicador complejo sirve la información de fase. Aquí. i{displaystyle i} es la unidad imaginaria con i2=− − 1{displaystyle I^{2}=-1}.

El vector de Jones es

()E0xeiφ φ xE0Sí.eiφ φ Sí.).{displaystyle {begin{pmatrix}E_{0x}e^{iphi ¿Qué? ¿Qué?

Por lo tanto, el vector de Jones representa la amplitud y la fase del campo eléctrico en las direcciones x e y.

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de las dos componentes de los vectores de Jones es proporcional a la intensidad de la luz. Es común normalizarlo a 1 en el punto de inicio del cálculo para simplificar. También es común restringir el primer componente de los vectores de Jones para que sea un número real. Esto descarta la información de fase general que sería necesaria para el cálculo de la interferencia con otros haces.

Tenga en cuenta que todos los vectores y matrices Jones en este artículo emplean la convención que la fase de la onda de luz es dada por φ φ =kz− − ⋅ ⋅ t{displaystyle phi =kz-omega t}, una convención utilizada por Hecht. En virtud de esta convención, el aumento de φ φ x{displaystyle phi _{x} (o φ φ Sí.{displaystyle phi _{y}) indica retraso (delay) en fase, mientras que la disminución indica avance en fase. Por ejemplo, un componente de vectores Jones de i{displaystyle i} ()=eiπ π /2{displaystyle =e^{ipi /2}) indica retraso por π π /2{displaystyle pi /2} (o 90 grados) en comparación con 1 (=e0{displaystyle =e^{0}). La polarización circular descrita bajo la convención de Jones se llama: "Desde el punto de vista del receptor." Collett utiliza la definición opuesta para la fase (φ φ =⋅ ⋅ t− − kz{displaystyle phi =omega t-kz}). La polarización circular descrita bajo la convención de Collett se llama: "Desde el punto de vista de la fuente." El lector debe ser cuidadoso de la elección de convención al consultar referencias sobre el cálculo Jones.

La siguiente tabla proporciona los 6 ejemplos comunes de vectores de Jones normalizados.

Polarización	Jones vector	Típico ket notation
polarizado lineal en el x dirección Típicamente llamada "horizontal"	()10){displaystyle {begin{pmatrix}1end{pmatrix}}	SilencioH.. {displaystyle.
polarizado lineal en el Sí. dirección Típicamente llamada "vertical"	()01){displaystyle {begin{pmatrix}01end{pmatrix}}	SilencioV.. {displaystyle.
polarizado lineal a 45° desde el x axis Típicamente llamada "diagonal" L+45	12()11){begin{begin{pmatrix}11end{pmatrix}}} {fn}}}	SilencioD.. =12()SilencioH.. +SilencioV.. ){displaystyle ¿Qué?
polarizado lineal a −45° desde el x axis Típicamente llamada "antidiagonal" L−45	12()1− − 1){begin{begin{pmatrix}1\1end{pmatrix}}}}} {begin{begin{pmatrix}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}	SilencioA.. =12()SilencioH.. − − SilencioV.. ){displaystyle ¿Qué?
polarización circular derecha Típicamente llamado "RCP" o "RHCP"	12()1− − i){begin{begin{pmatrix}1-iend{pmatrix}}}	SilencioR.. =12()SilencioH.. − − iSilencioV.. ){displaystyle ¿Qué?
polarización circular izquierda Típicamente llamado "LCP" o "LHCP"	12()1+i){begin{pmatrix}1\+iend{pmatrix}}}} {begin{begin{pmatrix}} {}}}}} {f}}}} {fn}}}}}}} {f}}}}}}}}}}	SilencioL.. =12()SilencioH.. +iSilencioV.. ){displaystyle ¿Qué?

Un vector general que apunta a cualquier lugar en la superficie está escrito como un ket Silencio↑ ↑ .. {displaystyle TENED rangle }. Al emplear la esfera Poincaré (también conocida como la esfera Bloch), los kets base (Silencio0.. {displaystyle Silencioso y Silencio1.. {displaystyle ← }) debe ser asignado a pares opuestos (antipodal) de los kets enumerados arriba. Por ejemplo, uno podría asignar Silencio0.. {displaystyle Silencioso = SilencioH.. {displaystyle. y Silencio1.. {displaystyle ← } = SilencioV.. {displaystyle.. Estas asignaciones son arbitrarias. Los pares opuestos son

• SilencioH.. {displaystyle. y SilencioV.. {displaystyle.
• SilencioD.. {displaystyle. y SilencioA.. {displaystyle Silencio
• SilencioR.. {displaystyle. y SilencioL.. {displaystyle.

La polarización de cualquier punto no igual a SilencioR.. {displaystyle. o SilencioL.. {displaystyle. y no en el círculo que pasa SilencioH.. ,SilencioD.. ,SilencioV.. ,SilencioA.. {displaystyle ¦Hrangle habitDrangle habitVrangle foreverArangle } se conoce como polarización elíptica.

Matrices de Jones

Las matrices de Jones son operadores que actúan sobre los vectores de Jones definidos anteriormente. Estas matrices se implementan mediante varios elementos ópticos, como lentes, divisores de haz, espejos, etc. Cada matriz representa la proyección en un subespacio complejo unidimensional de los vectores de Jones. La siguiente tabla da ejemplos de matrices de Jones para polarizadores:

Elemento óptico	Matriz de Jones
Polarizador lineal con eje de transmisión horizontal	()1000){displaystyle {begin{pmatrix}1 {}}}}
Polarizador lineal con eje de transmisión vertical	()0001){displaystyle {begin{pmatrix}0 âTMa âTMa}}
Polarizador lineal con eje de transmisión a ±45° con horizontal	12()1± ± 1± ± 11){displaystyle {frac {2}{begin{pmatrix}1 limitpm 1\\\\pm1end{pmatrix}}}
Polarizador lineal con eje de ángulo de transmisión Silencio Silencio {displaystyle theta } desde el horizontal	()#2⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )pecado2⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )){displaystyle {begin{pmatrix}cos ^{2}(theta) limitcos(theta)sin(theta)cos(cos(theta)sin(theta) ventajasin ^{2}(theta)end{pmatrix}}}}}}}}}}
Polarizador circular derecho	12()1i− − i1){displaystyle {frac {2}{begin{pmatrix}1 limiti\-i limit1end{pmatrix}}
Polarizador circular izquierdo	12()1− − ii1){displaystyle {frac {2}{begin{pmatrix}1 {ii}}}}} {begin{pmatrix} {i}}}}} {f}}}}}} {b}}}}}}} {b}}

Retardadores de fase

Un retardador de fase es un elemento óptico que produce una diferencia de fase entre dos componentes de polarización ortogonal de un haz de luz polarizado monocromático. Matemáticamente, usando kets para representar vectores de Jones, esto significa que la acción de un retardador de fase es transformar la luz con polarización

SilencioP.. =c1Silencio1.. +c2Silencio2.. ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?

a

SilencioP... =c1ei.. /2Silencio1.. +c2e− − i.. /2Silencio2.. {displaystyle TENP'rangle =c_{1}{rm {e}}{ieta /2} Anterior1rangle +c_{2}{rm {e}}{-ieta /2}Sobrevivir2rangle }

Donde Silencio1.. ,Silencio2.. {displaystyle tención1rangle son componentes de polarización ortogonal (es decir, .. 1Silencio2.. =0{displaystyle langle 1 duración2rangle =0}) que se determina por la naturaleza física del retardador de fase. En general, los componentes ortogonales podrían ser vectores de dos bases. Por ejemplo, la acción del retardador de fase circular es tal que

Silencio1.. =12()1− − i)andSilencio2.. =12()1i){displaystyle tención1rangle ={frac {1}{sqrt {2}}{begin{pmatrix}1-iend{pmatrix}}mathrm {\\\\\\\\cccccccccccH3cH3cH3cH3cH3cH3cH3cH3cH3cH3cH00}cH3cH00}cH3cH3cH3cH3cH00}cH3cH3ccH00}cH3cH3}cH3ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}ccc {fn} {fn} {begin{pmatrix}1iend{pmatrix}}}}

Sin embargo, retrasadores lineales de fase, para los cuales Silencio1.. ,Silencio2.. {displaystyle tención1rangle son polarizaciones lineales, se encuentran más comúnmente en discusión y en la práctica. De hecho, a veces el término "pendiente de fase" se utiliza para referirse específicamente a retardadores de fase lineal.

Los retardadores de fase lineal suelen estar hechos de cristales uniaxiales birrefringentes como calcita, MgF₂ o cuarzo. Las placas hechas de estos materiales para este propósito se denominan placas onduladas. Los cristales uniaxiales tienen un eje de cristal que es diferente de los otros dos ejes de cristal (es decir, n_i ≠ n_j = n_k). Este eje único se denomina eje extraordinario y también se denomina eje óptico. Un eje óptico puede ser el eje rápido o lento para el cristal dependiendo del cristal en cuestión. La luz viaja con una velocidad de fase más alta a lo largo de un eje que tiene el índice de refracción más pequeño y este eje se llama eje rápido. De manera similar, un eje que tiene el mayor índice de refracción se denomina eje lento, ya que la velocidad de fase de la luz es la más baja a lo largo de este eje. "Negativo" cristales uniaxiales (por ejemplo, calcita CaCO₃, zafiro Al₂O₃) tienen n_e < n_o entonces, para estos cristales, el eje extraordinario (eje óptico) es el eje rápido, mientras que para los "positivos" cristales uniaxiales (por ejemplo, cuarzo SiO₂, fluoruro de magnesio MgF₂, rutilo TiO₂), n_e > n_o y por tanto el eje extraordinario (eje óptico) es el eje lento. Existen otros retardadores de fase lineal comercialmente disponibles y se utilizan en aplicaciones más especializadas. Los rombos de Fresnel es una de esas alternativas.

Cualquier retardador de fase lineal con su eje rápido definido como el eje x o y tiene cero términos fuera de la diagonal y, por lo tanto, puede expresarse convenientemente como

()eiφ φ x00eiφ φ Sí.){displaystyle {begin{pmatrix}{rm {} {f} {fnMicrosoft}} {f}} {fnK}}}}f}}} {fnK}}}}}}} {f}}}f}}}}}}}}f}}f}f}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

Donde φ φ x{displaystyle phi _{x} y φ φ Sí.{displaystyle phi _{y} son los offsets de fase de los campos eléctricos en x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} direcciones, respectivamente. In the phase convention φ φ =kz− − ⋅ ⋅ t{displaystyle phi =kz-omega t}, definir la fase relativa entre las dos olas como ε ε =φ φ Sí.− − φ φ x{displaystyle epsilon =phi _{y}-phi _{x}. Entonces un positivo ε ε {displaystyle epsilon } (i.e. φ φ Sí.{displaystyle phi _{y} ■ φ φ x{displaystyle phi _{x}) significa que ESí.{displaystyle E_{y} no alcanza el mismo valor Ex{displaystyle E_{x} hasta una vez más tarde, es decir. Ex{displaystyle E_{x} guías ESí.{displaystyle E_{y}. Del mismo modo, si <math alttext="{displaystyle epsilon ε ε .0{displaystyle epsilon<img alt="epsilon , entonces ESí.{displaystyle E_{y} guías Ex{displaystyle E_{x}.

Por ejemplo, si el eje rápido de un cuarto de longitud es horizontal, entonces la velocidad de fase a lo largo de la dirección horizontal está por delante de la dirección vertical, es decir, Ex{displaystyle E_{x} guías ESí.{displaystyle E_{y}. Así, <math alttext="{displaystyle phi _{x}φ φ x.φ φ Sí.{displaystyle phi _{x}traducidophi _{y}<img alt="phi _{x} que para un cuarto de rendimientos de onda φ φ Sí.=φ φ x+π π /2{displaystyle phi ¿Qué? ¿Por qué?.

En la convención opuesta φ φ =⋅ ⋅ t− − kz{displaystyle phi =omega t-kz}, definir la fase relativa como ε ε =φ φ x− − φ φ Sí.{displaystyle epsilon =phi _{x}-phi _{y}. Entonces... 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/> significa que ESí.{displaystyle E_{y} no alcanza el mismo valor Ex{displaystyle E_{x} hasta una vez más tarde, es decir. Ex{displaystyle E_{x} guías ESí.{displaystyle E_{y}.

Retrasados de fase	Corrección de la matriz Jones
Placa de microondas con eje rápido vertical	eiπ π 4()100− − i){displaystyle {rm} {fnMicroc {ifnMicrosoft}} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc {fnMicroc {fnK}f}}}} {f}}}}fnf}fnfnMicroc {f}f}}}}}}f}f}}f}f}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnKfnKfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnKfnKfnfnKfnKfnKf}}}}}}} {4} {begin{pmatrix}1}0 âTMaend{pmatrix}}}
Placa de microondas con eje rápido horizontal	e− − iπ π 4()100i){displaystyle {rm {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {f}}}}}}fnfnMicroc {f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnMicroc}f}f}fnMicrocf}fnf}fnfnfnfnf}}}}}}fnfnfnfnHfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnHfnfnMicroc}fnMicroc}fnMicrocfnf}}}}}fnMi {4}} {begin{pmatrix}1 {0}}}}
Placa de onda trimestral con eje rápido en ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta } w.r.t el eje horizontal	e− − iπ π 4()#2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ipecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − i)pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − i)pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio +i#2⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle {rm} {fnMicroc {ifnMicroc} {fnMicrosoft}} {f}}} {fnMicroc {fnMicroc {ifnMicrosoft}}}}}} {fnfnf}}}fnfnMicroc {fnMicroc}f}}}}}}}}}}f}}}}fnfnf}f}f}f}fnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnHfnMicrocfnMicrocfnfnfnfnh}}}}fn }{4}} {begin{pmatrix}cos ^{2}theta +isin ^{2}theta &(1-i)sin theta cos theta \(1-i)sin theta cos theta &sin ^{2}theta +icos ^{2}thetathetaendp} {4} {} {}}}}}}} {}}} {}}}{4}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}{4}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}{4}}}}}} {}} {}} {}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}}}}}}}{}}}}}}} {} {
Placa de media onda con eje rápido en ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta } w.r.t el eje horizontal	e− − iπ π 2()#2⁡ ⁡ Silencio Silencio − − pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio 2#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 2#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio − − #2⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle {rm} {fnMicroc {ifnMicroc} {fnMicrosoft}} {f}}} {fnMicroc {fnMicroc {ifnMicrosoft}}}}}} {fnfnf}}}fnfnMicroc {fnMicroc}f}}}}}}}}}}f}}}}fnfnf}f}f}f}fnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnHfnMicrocfnMicrocfnfnfnfnh}}}}fn {2}} {begin{pmatrix}cos ^{2}theta -sin ^{2}theta &2cos thetatheta \2cos thetasintheta >sin ^{2}theta -cos ^{2}theta end{pmatrix}}}}}} {}}}}} {}}} {}}}}} {}} {}}} {begin {begin {begin{2}}}}}}}}}}} {begin {begin {begin {pmatrix}}}}}}}}}}}}}}} {begin {pmatrix}}}}}}}}}}}}} {begin {begin {pmatrix}}}}}}}}}}} {pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {
General Waveplate (Linear Phase Retarder)	e− − i.. 2()#2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ei.. pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − ei.. )#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − ei.. )#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ei.. #2⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle {rm} {fnMicroc {ieta} {2}} {begin{pmatrix}cos ^{2}theta {fn} {ieta}sin ^{2}theta >left(1-{rm {e}}{ieta }right)cos theta sin theta \left(1-{rm {e}}{ieta }right)costhetathetathetathetatheta {fnh} {fnK}}}
Material birrefringente arbitrario (Elíptico retardador de fase)	e− − i.. 2()#2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ei.. pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − ei.. )e− − iφ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − ei.. )eiφ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ei.. #2⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle {rm} {fnMicroc {ieta} {2}} {begin{pmatrix}cos ^{2}theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}}}}}} {m} {e}thetathetathetathetathetathetathetathetatheta} {i} {i} {i} {f}}}} {f} {f}f}f}f}}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnh}}fnh}f}fnf}}fnh}}}}fnh {fnh} {fnK}}}

La matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario es la forma más general de una transformación de polarización en el cálculo de Jones; puede representar cualquier transformación de polarización. Para ver esto, se puede mostrar

e− − i.. 2()#2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ei.. pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − ei.. )e− − iφ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − ei.. )eiφ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio +ei.. #2⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle {rm} {fnMicroc {ieta} {2}} {begin{pmatrix}cos ^{2}theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}}}}}} {m} {e}thetathetathetathetathetathetathetathetatheta} {i} {i} {i} {f}}}} {f} {f}f}f}f}}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnh}}fnh}f}fnf}}fnh}}}}fnh {fnh} {fnK}}}

=()#⁡ ⁡ ().. /2)− − ipecado⁡ ⁡ ().. /2)#⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio )− − pecado⁡ ⁡ ().. /2)pecado⁡ ⁡ ()φ φ )pecado⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio )− − ipecado⁡ ⁡ ().. /2)#⁡ ⁡ ()φ φ )pecado⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio )pecado⁡ ⁡ ().. /2)pecado⁡ ⁡ ()φ φ )pecado⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio )− − ipecado⁡ ⁡ ().. /2)#⁡ ⁡ ()φ φ )pecado⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio )#⁡ ⁡ ().. /2)+ipecado⁡ ⁡ ().. /2)#⁡ ⁡ ()2Silencio Silencio ))################################################################################################################################################################################################################################################################

La matriz anterior es una parametrización general para los elementos de SU(2), usando la convención

Seguro.⁡ ⁡ ()2)={}()α α − − β β ̄ ̄ β β α α ̄ ̄ ):α α ,β β ▪ ▪ C,Silencioα α Silencio2+Silencioβ β Silencio2=1}{displaystyle operatorname {SU} (2)=left{begin{pmatrix}alpha - ¿Qué? {fnMicrosoft} }end{pmatrix} alphabeta in mathbb {C}fn}beta Silencio.

donde la línea superior denota una conjugación compleja.

Finalmente, reconociendo que el conjunto de transformaciones unitarias en C2{displaystyle mathbb {C} {2} se puede expresar como

{}eiγ γ ()α α − − β β ̄ ̄ β β α α ̄ ̄ ):α α ,β β ▪ ▪ C,Silencioα α Silencio2+Silencioβ β Silencio2=1,γ γ ▪ ▪ [0,2π π ]}{displaystyle left{rm {e} {igamma} {begin{pmatrix}alpha - ¿Qué? {fnMicrosoft} }end{pmatrix} \alphabeta in mathbb {C}\\lpha Н^{2}beta Н^{2}=1, gamma in [0,2pi ]right}}

se hace evidente que la matriz Jones para un material birefringente arbitrario representa cualquier transformación unitaria, hasta un factor de fase eiγ γ {displaystyle {rm {fnh} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fn}}fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} }. Por consiguiente, para la elección adecuada de .. {displaystyle eta }, Silencio Silencio {displaystyle theta }, y φ φ {displaystyle phi }, una transformación entre dos vectores Jones se puede encontrar, hasta un factor de fase eiγ γ {displaystyle {rm {fnh} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fn}}fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} }. Sin embargo, en el cálculo Jones, estos factores de fase no cambian la polarización representada de un vector Jones, por lo que se consideran arbitrarios o impuestos ad hoc para conformarse a una convención establecida.

Las expresiones especiales para los retardadores de fase se pueden obtener tomando valores de parámetros adecuados en la expresión general para un material birrefringente. En la expresión general:

• El retardo de fase relativo inducido entre el eje rápido y el eje lento es dado por .. =φ φ Sí.− − φ φ x{displaystyle eta =phi _{y}-phi _{x}
• Silencio Silencio {displaystyle theta } es la orientación del eje rápido con respecto al eje x.
• φ φ {displaystyle phi } es la circularidad.

Tenga en cuenta que para retardadores lineales, φ φ {displaystyle phi } = 0 y para retardadores circulares, φ φ {displaystyle phi } = ± π π {displaystyle pi}/2, Silencio Silencio {displaystyle theta } = π π {displaystyle pi}/4. En general para retardadores elípticos, φ φ {displaystyle phi } valores entre - π π {displaystyle pi}/2 y π π {displaystyle pi}/2.

Elementos rotados axialmente

Suponga que un elemento óptico tiene su eje óptico perpendicular al vector de superficie para el plano de incidencia y gira alrededor de este vector de superficie en un ángulo θ/2 (es decir, el plano principal, a través del cual el pasa el eje óptico, forma ángulo θ/2 con respecto al plano de polarización del campo eléctrico de la onda TE incidente). Recuerde que una placa de media onda gira la polarización como dos veces el ángulo entre la polarización incidente y el eje óptico (plano principal). Por lo tanto, la matriz de Jones para el estado de polarización rotada, M(θ), es

M()Silencio Silencio )=R()− − Silencio Silencio )MR()Silencio Silencio ),{displaystyle M(theta)=R(-theta),M,R(theta),}

Donde R()Silencio Silencio )=()#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio ).{displaystyle R(theta)={begin{pmatrix}cos theta &sin theta \-sin theta > theta end{pmatrix}}

Esto concuerda con la expresión de una placa de media onda en la tabla anterior. Estas rotaciones son idénticas a la transformación del divisor unitario de haz en física óptica dada por

R()Silencio Silencio )=()rt.tr.){displaystyle R(theta)={begin{pmatrix}r curvat'\t experimentarr'end{pmatrix}}}

donde los coeficientes con y sin imprimación representan haces incidentes desde lados opuestos del divisor de haz. Las componentes reflejada y transmitida adquieren una fase θ_r y θ_t, respectivamente. Los requisitos para una representación válida del elemento son

Silencio Silencio t− − Silencio Silencio r+Silencio Silencio t '− − Silencio Silencio r '=± ± π π {displaystyle theta _{text{t}- theta _{text{r}+theta _{text{t'}-theta _{text{r'}=pm pi }

y rAlternativa Alternativa t.+tAlternativa Alternativa r.=0.{fnMicrosoft Sans Serif}

Ambas representaciones son matrices unitarias que se ajustan a estos requisitos; y como tal, ambas son válidas.

Elementos rotados arbitrariamente

Esto implicaría una matriz de rotación tridimensional. Ver Russell A. Chipman y Garam Yun para el trabajo realizado en esto.