Cálculo funcional holomorfo

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En matemáticas, el cálculo funcional holomorfo es un cálculo funcional con funciones holomorfas. Es decir, dada una función holomorfa f de un argumento complejo z y un operador T, el objetivo es construir un operador, f(T), que naturalmente extiende la función f de un argumento complejo a un argumento de operador. Más precisamente, el cálculo funcional define un homomorfismo de álgebra continuo desde las funciones holomorfas en una vecindad del espectro de T hasta los operadores acotados.

Este artículo discutirá el caso donde T es un operador lineal vinculado en algún espacio de Banach. En particular, T puede ser una matriz cuadrada con entradas complejas, un caso que se utilizará para ilustrar el cálculo funcional y proporcionar algunas ideas heurísticas para los supuestos involucrados en la construcción general.

Motivación

Necesidad de un cálculo funcional general

En esta sección T será asumido como n × n matriz con entradas complejas.

Si una función determinada f es de cierto tipo especial, existen formas naturales de definir f(T). Por ejemplo, si

{displaystyle p(z)=sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}

es un polinomio complejo, uno puede simplemente sustituir T por z y definir

{displaystyle p(T)=sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}

Donde T⁰ = I, la matriz de identidad. Este es el cálculo funcional polinomio. Es un homomorfismo del anillo de los polinomios al anillo de n × n matrices.

Extendiendo ligeramente desde los polinomios, si f: C → C es holomórfico en todas partes, es decir, una función completa, con series de MacLaurin

{displaystyle f(z)=sum _{i=0}^{infty }a_{i}z^{i},}

imitar el caso polinómico sugiere que definamos

{displaystyle f(T)=sum _{i=0}^{infty }a_{i}T^{i}.}

Dado que la serie de MacLaurin converge en todas partes, la serie anterior convergerá, en una norma de operador elegida. Un ejemplo de esto es la exponencial de una matriz. Reemplazar z por T en la serie MacLaurin de f(z) = e^z da

{displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{frac {T^{2}}{2!}}+{frac {T^{3}}{3!}}+cdots.}

El requisito de que la serie MacLaurin de f converja en todas partes se puede relajar un poco. Desde arriba es evidente que todo lo que realmente se necesita es que el radio de convergencia de la serie de MacLaurin sea mayor que ǁTǁ, la norma del operador de T. Esto amplía un poco la familia de f para la cual f(T) se puede definir utilizando el enfoque anterior. Sin embargo, no es del todo satisfactorio. Por ejemplo, es un hecho de la teoría matricial que cada T no singular tiene un logaritmo S en el sentido de que e^S = T. Es deseable disponer de un cálculo funcional que permita definir, para un T no singular, ln(T) tal que coincida con S. Esto no se puede hacer mediante series de potencias, por ejemplo, la serie logarítmica.

{displaystyle ln(z+1)=z-{frac {z^{2}}{2}}+{frac {z^{3}}{3}}-cdots}

converge sólo en el disco de la unidad abierta. Sustituir T por z en la serie no da una expresión bien definida para ln(T + I) para T + I invertible con ǁTǁ ≥ 1. Por tanto, se necesita un cálculo funcional más general.

Cálculo funcional y el espectro

Se espera que una condición necesaria para que f(T) tenga sentido es que f esté definido en el espectro de T. Por ejemplo, el teorema espectral para matrices normales establece que toda matriz normal es unitariamente diagonalizable. Esto lleva a una definición de f(T) cuando T es normal. Uno encuentra dificultades si f(λ) no está definido para algún valor propio λ de T.

Otras indicaciones también refuerzan la idea de que f(T) sólo puede definirse si f se define en el espectro de T. Si T no es invertible, entonces (recordando que T es una matriz n x n) 0 es un valor propio. Dado que el logaritmo natural no está definido en 0, uno esperaría que ln(T) no pudiera definirse de forma natural. De hecho, este es el caso. Como otro ejemplo, para

{displaystyle f(z)={frac {1}{(z-2)(z-5)}}}

la manera razonable de calcular f()T) parece ser

{displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.,}

Sin embargo, esta expresión no está definida si los inversos del lado derecho no existen, es decir, si 2 o 5 son valores propios de T.

Para una matriz T dada, los valores propios de T dictan hasta qué punto f(T) puede definirse; es decir, f(λ) debe definirse para todos los valores propios λ de T. Para un operador acotado general, esta condición se traduce en "f debe definirse en el espectro de T". Esta suposición resulta ser una condición habilitante para que el mapa de cálculo funcional, f → f(T), tenga ciertas propiedades deseables.

Cálculo funcional para un operador acotado

Vamos. X ser un espacio complejo de Banach, y L()X) denotar la familia de operadores consolidados en X.

Recuerde la fórmula integral de Cauchy de la teoría de funciones clásica. Sea f: C → C holomorfo en algún conjunto abierto D ⊂ C , y Γ sea una curva de Jordan rectificable en D, es decir, una curva cerrada de longitud finita sin autointersecciones. Supongamos que el conjunto U de puntos que se encuentran en el interior de Γ, es decir, tal que el número de devanados de Γ alrededor de z es 1, está contenido en D. La fórmula integral de Cauchy establece

{displaystyle f(z)={frac {1}{2pi i}}int nolimits _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -z}},dzeta }

para cualquier z en U.

La idea es extender esta fórmula a funciones que toman valores en el espacio de Banach L(X). La fórmula integral de Cauchy sugiere la siguiente definición (puramente formal, por ahora):

{displaystyle f(T)={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta}

donde (ζ−T)⁻¹ es el resolutivo de T en ζ.

Suponiendo que esta integral valorada en el espacio de Banach esté definida apropiadamente, este cálculo funcional propuesto implica las siguientes condiciones necesarias:

Como la versión escalar de la fórmula integral de Cauchy se aplica a la holomorfa f, anticipamos que también es el caso de la caja espacial de Banach, donde debe haber una noción adecuada de holomorfia para las funciones que toman valores en el espacio de Banach L()X).
Como el mapa resuelto ♥ →T)⁻¹ no está definido en el espectro de T, σ(T), la curva de Jordania Dimensiones no debe interseccionar σ(T). Ahora, el mapeo resuelto será holomorfo en el complemento de σ(T). Así que para obtener un cálculo funcional no-trivial, la luminaria debe encerrar (al menos parte de) σ(T).
El cálculo funcional debe estar bien definido en el sentido de que f()T) tiene que ser independiente de lumina.

La definición completa del cálculo funcional es la siguiente: Para T ∈ L(X), defina

{displaystyle f(T)={frac {1}{2pi i}}int nolimits _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta}

donde f es una función holomorfa definida en un conjunto abierto D ⊂ C que contiene σ(T ), y Γ = {γ₁,..., γ_m} es una colección de curvas de Jordan disjuntas en D delimitando un "interior" establezca U, de modo que σ(T) se encuentre en U, y cada γ_i está orientado en el sentido límite.

El conjunto abierto D puede variar con f y no necesita estar conectado o simplemente conectado, como se muestra en las figuras de la derecha.

Las siguientes subsecciones precisan las nociones invocadas en la definición y mostrar f()T) es realmente bien definido bajo supuestos dados.

Integral espacial de Banach

Cf. Bochner integral

Para una función continua g definida en una vecindad abierta de Γ y tomando valores en L(X), la integral de contorno ∫_Γg se define de la misma manera que para el caso escalar. Se puede parametrizar cada γ_i ∈ Γ mediante un intervalo real [a, b], y la integral es el límite de las sumas de Riemann obtenidas a partir de particiones cada vez más finas de [a, b]. Las sumas de Riemann convergen en la topología de operador uniforme. Definimos

{displaystyle int _{Gamma }g=sum nolimits _{i}int _{gamma _{i}}g.}

En la definición del cálculo funcional, se supone que f es holomórfico en una vecindad abierta de Γ. A continuación se mostrará que el mapeo resolutivo es holomórfico en el conjunto resolutivo. Por lo tanto, la integral

{displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta }

tiene sentido.

El mapeo resolutivo

El mapeo ζ → (ζ−T)⁻¹ se llama mapeo solvente de T. Se define en el complemento de σ(T), llamado conjunto solvente de T y se denotará por ρ(T ).

Gran parte de la teoría de funciones clásica depende de las propiedades de la integral

{displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }{frac {dzeta }{zeta -z}}.}

El cálculo funcional holomórfico es similar en que el mapeo resolutivo juega un papel crucial en la obtención de las propiedades que uno requiere de un buen cálculo funcional. Esta subsección describe las propiedades del mapa resolutivo que son esenciales en este contexto.

La 1ª fórmula disolvente

El cálculo directo muestra, para z₁, z₂ ∈ ρ(T),

{displaystyle (z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-z_{1})(z_{2}-T)^{-1}.,}

Por lo tanto,

{displaystyle (z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={frac {(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}}{(z_{2}-z_{1})}}.}

Esta ecuación se llama primera fórmula resolutiva. La fórmula muestra (z₁−T)⁻¹ y (z₂−T)⁻¹ conmuta, lo que insinúa el hecho de que la imagen del cálculo funcional será un álgebra conmutativa. Dejar que z₂ → z₁ muestre que el mapa resolutivo es (complejo) diferenciable en cada z ₁ ∈ ρ(T); entonces la integral en la expresión del cálculo funcional converge en L(X).

Análisis

Se puede hacer una afirmación más contundente que la diferenciabilidad con respecto al mapa resolutivo. El conjunto resolutivo ρ(T) es en realidad un conjunto abierto en el que el mapa resolutivo es analítico. Esta propiedad se utilizará en argumentos posteriores para el cálculo funcional. Para verificar esta afirmación, sea z₁ ∈ ρ(T) y observe la expresión formal

{displaystyle {frac {1}{z_{2}-T}}={frac {1}{z_{1}-T}}cdot {frac {1}{1-{frac {z_{1}-z_{2}}{z_{1}-T}}}}}

sugiere que consideremos

{displaystyle (z_{1}-T)^{-1}sum _{ngeq 0}left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}right)^{n}}

para (z₂−T)⁻¹. La serie anterior converge en L(X), lo que implica la existencia de (z₂− T)⁻¹, si

<math alttext="{displaystyle |z_{1}-z_{2}|Silencioz1− − z2Silencioc)1.()z1− − T)− − 1..{displaystyle - ¿Por qué?<img alt="{displaystyle |z_{1}-z_{2}|

Por lo tanto, el conjunto resolutivo ρ(T) es abierto y la expresión de la serie de potencias en un disco abierto está centrada en z₁ ∈ ρ (T) muestra que el mapa resolutivo es analítico en ρ(T).

Serie Neumann

Otra expresión para (z−T)⁻¹ también será útil. La expresión formal

{displaystyle {frac {1}{z-T}}={frac {1}{z}}cdot {frac {1}{1-{frac {T}{z}}}}}

lleva a considerar

{displaystyle {frac {1}{z}}sum _{ngeq 0}left({frac {T}{z}}right)^{n}.}

Esta serie, la serie de Neumann, converge a (z−T)⁻¹ si

<math alttext="{displaystyle left|{frac {T}{z}}right||T|.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.Tz.c)1,i.e.SilenciozSilencio■. . T. . .{displaystyleleftfnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}; {fnMicrosoft Sans Serif};<img alt="{displaystyle left|{frac {T}{z}}right||T|.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64b7a234c73796820ef0490ac6b4cb32b792081" style="vertical-align: -2.171ex; width:24.444ex; height:5.509ex;"/>

Compacidad de σ(T)

De las dos últimas propiedades del resolutivo podemos deducir que el espectro σ(T) de un operador acotado T es un subconjunto compacto de C. Por lo tanto, para cualquier conjunto abierto D tal que σ(T) ⊂ D, existe un sistema suave y orientado positivamente de curvas de Jordan Γ = {γ₁,..., γ_m} tal que σ(T) está en el interior de Γ y el complemento de D está contenido en el exterior de Γ. Por lo tanto, para la definición del cálculo funcional, se puede encontrar una familia adecuada de curvas de Jordan para cada f que sea holomorfa en algún D.

Bien definida

(feminine)

La discusión anterior ha demostrado que la integral tiene sentido, es decir, existe una colección adecuada Γ de curvas de Jordan para cada f y la integral converge en el sentido apropiado. Lo que no se ha demostrado es que la definición del cálculo funcional sea inequívoca, es decir, no dependa de la elección de Γ. Este problema ahora intentamos resolverlo.

Un dato preliminar

Para una colección de curvas de Jordan Γ = {γ₁,..., γ_m} y un punto a ∈ C, el número de devanados de Γ con respecto a a es la suma de los números de devanados de sus elementos. Si definimos:

{displaystyle n(Gammaa)=sum nolimits _{i}n(gamma _{i},a),}

el siguiente teorema es de Cauchy:

Teorema. Vamos. G ⊂ C ser un conjunto abierto y G. Si g: G → C es holomorfo, y para todos a en el complemento de G, n(Altura, a) = 0, entonces el contorno integral de g en la caja es cero.

Necesitaremos el análogo con valores vectoriales de este resultado cuando g tome valores en L(X). Para este fin, sea g: G → L(X) holomórfico, con las mismas suposiciones sobre Γ . La idea es utilizar el espacio dual L(X)* de L(X), y pasarlo a Cauchy& #39;teorema para el caso escalar.

Considerar la integral

{displaystyle int _{Gamma }gin L(X),}

si podemos mostrar que todo L()X)* desaparecer en esta integral entonces la propia integral tiene que ser cero. Puesto que el φ está atado y la integral converge en la norma, tenemos:

{displaystyle phi left(int _{Gamma }gright)=int _{Gamma }phi (g).}

Pero g es holomórfico, de ahí la composición φ(g): G ⊂ C → C es holomórfico y por lo tanto según el teorema de Cauchy

{displaystyle int _{Gamma }phi (g)=0.}

Argumento principal

La buena definición del cálculo funcional ahora es una consecuencia fácil. Sea D un conjunto abierto que contiene σ(T). Supongamos que Γ = {γ_i} y Ω = {ω_j} son dos colecciones (finitas) de Jordania. curvas que satisfacen el supuesto dado para el cálculo funcional. Deseamos mostrar

{displaystyle int _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta =int _{Omega }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta.}

Dejemos que Ω′ se obtenga a partir de Ω invirtiendo la orientación de cada ω_j, entonces

{displaystyle int _{Omega }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta =-int _{Omega '}{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta.}

Considere la unión de las dos colecciones Γ ∪ Ω′. Tanto Γ ∪ Ω′ como σ(T) son compactos. Entonces hay un conjunto abierto U que contiene Γ ∪ Ω′ tal que σ(T) se encuentra en el complemento de U. Cualquier a en el complemento de U tiene un número de devanado n(Γ ∪ Ω′, a) = 0 y la función

{displaystyle zeta rightarrow {frac {f(zeta)}{zeta -T}}}

es holomorfo en U. Entonces, la versión vectorial del teorema de Cauchy da

{displaystyle int _{Gamma cup Omega '}{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta =0}

i.e.

{displaystyle int _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta +int _{Omega '}{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta =int _{Gamma }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta -int _{Omega }{frac {f(zeta)}{zeta -T}},dzeta =0.}

De ahí que el cálculo funcional esté bien definido.

En consecuencia, si f₁ y f₂ son dos funciones holomorfas definidas en vecindades D ₁ y D₂ de σ(T) y son iguales en un conjunto abierto que contiene σ(T), entonces f₁(T) = f₂(T). Además, aunque el D₁ puede no ser D₂, el operador (f₁ + f₂) (T) está bien definido. Lo mismo se aplica a la definición de (f₁·f₂)(T ).

Suponiendo que f sea holomorfa sobre una vecindad abierta de σ(T)

Hasta ahora no se ha utilizado toda la fuerza de esta suposición. Para la convergencia de la integral sólo se utilizó la continuidad. Para una buena definición, solo necesitábamos que f fuera holomórfico en un conjunto abierto U que contiene los contornos Γ ∪ Ω′ pero no necesariamente σ(T). El supuesto se aplicará en su totalidad al mostrar la propiedad de homomorfismo del cálculo funcional.

Propiedades

Caso polinómico

La linealidad del mapa f ↦ f(T) se deriva de la convergencia de la integral y de que las operaciones lineales en un espacio de Banach son continuos.

Recuperamos el cálculo funcional polinomial cuando f(z) = Σ_{0 ≤ i ≤ m} a_i zⁱ es un polinomio. Para probar esto, es suficiente demostrar que, para k ≥ 0 y f(z) = z^k, es cierto que f(T) = T^k, es decir

{displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }{frac {zeta ^{k}}{zeta -T}},dzeta =T^{k}}

para cualquier Γ adecuado que incluya σ(T). Elija Γ para que sea un círculo de radio mayor que la norma del operador de T. Como se indicó anteriormente, en tal Γ, el mapa resolutivo admite una representación en serie de potencias

{displaystyle (z-T)^{-1}={frac {1}{z}}sum _{ngeq 0}left({frac {T}{z}}right)^{n}.}

Substituir da

{displaystyle f(T)={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }left(sum _{ngeq 0}{frac {T^{n}}{zeta ^{n+1-k}}}right),dzeta }

que es

{displaystyle sum _{ngeq 0}T^{n}cdot {frac {1}{2pi i}}left(int _{Gamma }{frac {dzeta }{zeta ^{n+1-k}}}right)=sum _{ngeq 0}T^{n}cdot delta _{nk}=T^{k}.}

La δ es el símbolo Kronecker delta.

La propiedad homomorfismo

Para cualquier f₁ y f₂ que satisfaga los supuestos apropiados, la propiedad del homomorfismo establece

{displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}cdot f_{2})(T).,}

Esbozamos un argumento que invoca la primera fórmula resolutiva y los supuestos establecidos en f. Primero elegimos las curvas de Jordan de modo que Γ₁ se encuentre en el interior de Γ₂. La razón de esto quedará clara a continuación. Comience calculando directamente

{displaystyle {begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=left({frac {1}{2pi i}}int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)}{zeta -T}}dzeta right)left({frac {1}{2pi i}}int _{Gamma _{2}}{frac {f_{2}(omega)}{omega -T}},domega right)\&={frac {1}{(2pi i)^{2}}}int _{Gamma _{1}}int _{Gamma _{2}}{frac {f_{1}(zeta)f_{2}(omega)}{(zeta -T)(omega -T)}};domega ,dzeta \&={frac {1}{(2pi i)^{2}}}int _{Gamma _{1}}int _{Gamma _{2}}f_{1}(zeta)f_{2}(omega)left({frac {(zeta -T)^{-1}-(omega -T)^{-1}}{omega -zeta }}right)domega ,dzeta &&{text{First Resolvent Formula}}\&={frac {1}{(2pi i)^{2}}}left{left(int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)}{zeta -T}}left[int _{Gamma _{2}}{frac {f_{2}(omega)}{omega -zeta }}domega right]dzeta right)-left(int _{Gamma _{2}}{frac {f_{2}(omega)}{omega -T}}left[int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)}{omega -zeta }}dzeta right]domega right)right}\&={frac {1}{(2pi i)^{2}}}int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)}{zeta -T}}left[int _{Gamma _{2}}{frac {f_{2}(omega)}{omega -zeta }}domega right]dzeta end{aligned}}}

La última línea se deriva del hecho de que ω ∈ Γ₂ se encuentra fuera de Γ₁ y f₁ es holomorfo en alguna vecindad abierta de σ(T) y por lo tanto el segundo término desaparece. Por tanto, tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)}{zeta -T}}left[{frac {1}{2pi i}}int _{Gamma _{2}}{frac {f_{2}(omega)}{omega -zeta }}domega right]dzeta \&={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)}{zeta -T}}left[f_{2}(zeta)right]dzeta &&{text{Cauchy's Integral Formula}}\&={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma _{1}}{frac {f_{1}(zeta)f_{2}(zeta)}{zeta -T}}dzeta \&=(f_{1}cdot f_{2})(T)end{aligned}}}

Continuidad respecto a la convergencia compacta

Sea G ⊂ C abierto con σ(T) ⊂ G. Supongamos que una secuencia {f_k} de funciones holomorfas en G converge uniformemente en subconjuntos compactos de G (esto es a veces denominada convergencia compacta). Entonces {f_k(T)} es convergente en L(X) :

Supongamos por simplicidad que Γ consta de una sola curva de Jordan. Estimamos

{displaystyle {begin{aligned}left|f_{k}(T)-f_{l}(T)right|&={frac {1}{2pi }}left|int _{Gamma }{frac {(f_{k}-f_{l})(zeta)}{zeta -T}}dzeta right|\&leq {frac {1}{2pi }}int _{Gamma }left|(f_{k}-f_{l})(zeta)right|cdot left|(zeta -T)^{-1}right|dzeta end{aligned}}}

Al combinar el supuesto de convergencia uniforme y varias consideraciones de continuidad, vemos que lo anterior tiende a 0 cuando k, l → ∞. Entonces {f_k(T)} es Cauchy, por lo tanto convergente.

Singularidad

Para resumir, hemos mostrado el cálculo funcional holomorfo, f → f()T), tiene las siguientes propiedades:

Extende el cálculo funcional polinomio.
Es un homomorfismo álgebra del álgebra de funciones holomorfas definidas en un barrio de σ(T) a L()X)
Conserva la convergencia uniforme en conjuntos compactos.

Se puede probar que un cálculo que satisfaga las propiedades anteriores es único.

Observamos que todo lo discutido hasta ahora se cumple textualmente si la familia de operadores acotados L(X) se reemplaza por un álgebra de Banach A. El cálculo funcional se puede definir exactamente de la misma manera para un elemento en A.

Consideraciones espectrales

Teorema de mapeo espectral

Se sabe que el teorema de mapeo espectral se cumple para el cálculo funcional polinómico: para cualquier polinomio p, σ(p (T)) = p(σ(T)). Esto se puede extender al cálculo holomorfo. Para mostrar f(σ(T)) ⊂ σ(f(T)), sea μ cualquier número complejo. Como resultado de un análisis complejo, existe una función g holomorfa en una vecindad de σ(T) tal que

{displaystyle f(z)-f(mu)=(z-mu)g(z).,}

Según la propiedad del homomorfismo, f(T) − f(μ) = (T − μ)g(T). Por lo tanto, μ ∈ σ(T) implica f(μ) ∈ σ(f(T)).

Para la otra inclusión, si μ no está en f(σ(T)), entonces El cálculo funcional es aplicable a

{displaystyle g(z)={frac {1}{f(z)-mu }}.}

Entonces g(T)(f(T) − μ ) = yo. Por lo tanto, μ no se encuentra en σ(f(T)).

Proyecciones espectrales

La idea subyacente es la siguiente. Supongamos que K es un subconjunto de σ()T) y U,V son barrios descomunales K y σ()T) K respectivamente. Define e()z) = 1 si z ▪ U y e()z) = 0 si z ▪ V. Entonces... e es una función holomorfa con [e()z)² = e()z) y así, para un contorno adecuado que se encuentra en U ∪ V y que encierra σ(T), el operador lineal

{displaystyle e(T)={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }{frac {e(z)}{z-T}},dz}

será una proyección acotada que conmuta con T y proporciona una gran cantidad de información útil.

Resulta que este escenario es posible si y sólo si K es abierto y cerrado en la topología del subespacio en σ(T) . Además, el conjunto V se puede ignorar con seguridad ya que e es cero en él y, por lo tanto, no contribuye a la integral. La proyección e(T) se llama proyección espectral de T en K y se denota por P(K;T). Así, cada subconjunto K de σ(T) que es abierto y cerrado en la topología subespacial tiene una proyección espectral asociada dada por

{displaystyle P(K;T)={frac {1}{2pi i}}int nolimits _{Gamma }{frac {dz}{z-T}}}

donde Γ es un contorno que encierra K pero no otros puntos de σ(T).

Dado que P = P(K;T) está acotado y conmuta con T permite expresar T en la forma U ⊕ V donde U = T |_PX y V = T|_(1−P)X. Tanto PX como (1 − P)X son subespacios invariantes de T además σ(U) = K y σ(V) = σ(T) K. Una propiedad clave es la ortogonalidad mutua. Si L es otro conjunto abierto y cerrado en la topología del subespacio en σ(T) entonces P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T) que es cero siempre que K y L son disjuntos.

Las proyecciones espectrales tienen numerosas aplicaciones. Cualquier punto aislado de σ(T) es abierto y cerrado en la topología subespacial y por lo tanto tiene una proyección espectral asociada. Cuando X tiene una dimensión finita σ(T) consta de puntos aislados y las proyecciones espectrales resultantes conducen a una variante de la forma normal de Jordan en la que todos los bloques de Jordan corresponden al mismo valor propio están consolidados. En otras palabras, hay precisamente un bloque por valor propio distinto. La siguiente sección considera esta descomposición con más detalle.

A veces las proyecciones espectrales heredan propiedades de sus operadores principales. Por ejemplo, si T es una matriz positiva con radio espectral r, entonces el teorema de Perron-Frobenius afirma que r ∈ σ(T). La proyección espectral asociada P = P(r;T) también es positiva y por ortogonalidad mutua no existe ninguna otra proyección espectral. La proyección puede tener una fila o columna positiva. De hecho TP = rP y (T/r)ⁿ → P como n → ∞ por lo que esta proyección P (que se llama proyección de Perron) se aproxima a (T/r)ⁿ a medida que n aumenta, y cada una de sus columnas es un vector propio de T.

De manera más general, si T es un operador compacto, entonces todos los puntos distintos de cero en σ(T) están aislados y, por lo tanto, cualquier subconjunto finito de ellos puede usarse para descomponer T. La proyección espectral asociada siempre tiene un rango finito. Aquellos operadores en L(X) con características espectrales similares se conocen como operadores Riesz. Muchas clases de operadores Riesz (incluidos los operadores compactos) son ideales en L(X) y proporcionan un rico campo para la investigación. Sin embargo, si X es un espacio de Hilbert, hay exactamente un ideal cerrado intercalado entre los operadores de Riesz y los de rango finito.

Gran parte de la discusión anterior se puede establecer en el contexto más general de un álgebra Banach complejo. Aquí las proyecciones espectrales se denominan idempotents espectrales ya que puede que ya no haya espacio para que puedan proyectarse.

Descomposición subespacial invariante

Si el espectro σ()T) no está conectado, X puede ser descompuesto en subespacios invariantes de T usando el cálculo funcional. Vamos. σ()TSer un sindicato descomunal

{displaystyle sigma (T)=bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}

Defina e_i para que sea 1 en algún vecindario que contenga solo el componente F_i y 0 en otros lugares . Por la propiedad del homomorfismo, e_i(T) es una proyección para todo i. De hecho, es solo la proyección espectral P(F_i;T) descrita anteriormente. La relación e_i(T) T = T e_i (T) significa el rango de cada e_i(T), denotado por X_i, es un subespacio invariante de T. Desde

{displaystyle sum _{i}e_{i}(T)=I,,}

X se puede expresar en términos de estos subespacios complementarios:

{displaystyle X=sum _{i}X_{i}.,}

Del mismo modo, si T_i está T restringido a X_i, entonces

{displaystyle T=sum _{i}T_{i}.,}

Considerar la suma directa

{displaystyle X'=bigoplus _{i}X_{i}.}

Con la norma

{displaystyle left|bigoplus _{i}x_{i}right|=sum _{i}|x_{i}|,}

X' es un espacio de Banach. El mapeo R: X' → X definido por

{displaystyle Rleft(bigoplus _{i}x_{i}right)=sum _{i}x_{i}}

es un isomorfismo del espacio de Banach, y vemos que

{displaystyle RTR^{-1}=bigoplus _{i}T_{i}.}

Esto puede verse como una diagonalización en bloque de T.

Cuando X es de dimensión finita, σ(T) = {λ_i} es un conjunto finito de puntos en el plano complejo. Elija e_i para que sea 1 en un disco abierto que contenga solo λ_i de el espectro. La matriz diagonal de bloque correspondiente

{displaystyle bigoplus _{i}T_{i}}

es la forma canónica jordana de T.

Resultados relacionados

Con suposiciones más sólidas, cuando T es un operador normal que actúa en un espacio de Hilbert, se puede ampliar el dominio del cálculo funcional. Al comparar los dos resultados, se puede hacer una analogía aproximada con la relación entre el teorema espectral para matrices normales y la forma canónica de Jordan. Cuando T es un operador normal, se puede obtener un cálculo funcional continuo, es decir, se puede evaluar f(T) con siendo f una función continua definida en σ(T). Utilizando la maquinaria de la teoría de la medida, esto se puede extender a funciones que sólo son mensurables (ver Cálculo funcional de Borel). En ese contexto, si E ⊂ σ(T) es un conjunto de Borel y 1_E es la función característica de E, el operador de proyección 1_E(T) es un refinamiento de e_i(T ) discutido anteriormente.

El cálculo funcional de Borel se extiende a operadores autoadjuntos ilimitados en un espacio de Hilbert.

En un lenguaje un poco más abstracto, el cálculo funcional holomórfico se puede extender a cualquier elemento de un álgebra de Banach, utilizando esencialmente los mismos argumentos que antes. De manera similar, el cálculo funcional continuo es válido para elementos normales en cualquier álgebra C* y el cálculo funcional medible para elementos normales en cualquier álgebra de von Neumann.

Operadores ilimitados

Un cálculo funcional holomórfico se puede definir de manera similar para operadores cerrados ilimitados con un conjunto resolutivo no vacío.

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