Cálculo funcional continuo

En matemáticas, particularmente en teoría de operadores y teoría de álgebra C*, un cálculo funcional continuo es un cálculo funcional que permite la aplicación de una función continua a elementos normales de un álgebra C*.

Teorema

Teorema. Sea x un elemento normal de un álgebra C* A con un elemento identidad e. Sea C el álgebra C* de las funciones continuas acotadas en el espectro σ(x) de x. Entonces existe un mapeo único π: C → A, donde π(f) se denota f(x), tal que π es un morfismo de C* que conserva la unidad -álgebras y π(1) = e y π(id) = x, donde id denota la función z → z en σ(< i>x).

En particular, este teorema implica que los operadores normales acotados en un espacio de Hilbert tienen un cálculo funcional continuo. Su prueba es casi inmediata a partir de la representación de Gelfand: basta asumir que A es el álgebra C* de funciones continuas en algún espacio compacto X y definir

${displaystyle pi (f)=fcirc x.}$

La unicidad se deriva de la aplicación del teorema de Stone-Weierstrass. Además, el teorema del mapeo espectral se cumple:

${displaystyle sigma (f(x))=f(sigma (x)). }$