Cálculo estocástico

Cálculo estocástico es una rama de las matemáticas que opera sobre procesos estocásticos. Permite definir una teoría de integración consistente para integrales de procesos estocásticos con respecto a procesos estocásticos. Este campo fue creado e iniciado por el matemático japonés Kiyosi Itô durante la Segunda Guerra Mundial.

El proceso estocástico más conocido al que se aplica el cálculo estocástico es el proceso de Wiener (llamado así en honor a Norbert Wiener), que se utiliza para modelar el movimiento browniano según lo descrito por Louis Bachelier en 1900 y por Albert Einstein en 1905 y otros procesos físicos de difusión en el espacio de partículas sujetas a fuerzas aleatorias. Desde la década de 1970, el proceso de Wiener se ha aplicado ampliamente en matemáticas financieras y economía para modelar la evolución en el tiempo de los precios de las acciones y las tasas de interés de los bonos.

Los tipos principales de cálculo estocástico son el cálculo de Itô y su pariente variacional, el cálculo de Malliavin. Por razones técnicas, la integral de Itô es la más útil para clases generales de procesos, pero la integral de Stratonovich relacionada es frecuentemente útil en la formulación de problemas (particularmente en disciplinas de ingeniería). La integral de Stratonovich se puede expresar fácilmente en términos de la integral de Itô. El principal beneficio de la integral de Stratonovich es que obedece la regla de la cadena habitual y, por lo tanto, no requiere el lema de It. Esto permite que los problemas se expresen en una forma invariable del sistema de coordenadas, lo cual es invaluable cuando se desarrolla el cálculo estocástico en variedades que no sean Rⁿ. El teorema de la convergencia dominada no se cumple para la integral de Stratonovich; en consecuencia, es muy difícil probar los resultados sin volver a expresar las integrales en forma de Itô.

Itô integral

El Itô integral es central en el estudio del cálculo estocástico. La integral ∫ ∫ HdX{displaystyle int H,dX} se define para un semimartingale X and locally bounded previsible proceso H.

Integral de Stratonovich

El Stratonovich integral de un semimartingale X{displaystyle X} contra otro semimartingale Y se puede definir en términos de la integral Itô como

∫ ∫ 0tXs− − ∘ ∘ dYs:=∫ ∫ 0tXs− − dYs+12[X,Y]tc,{displaystyle int ¿Qué? #### ¿Qué? {1} {2}left[X,Yright]_{t} {c}

donde [X, Y]_t^c denota la covariación cuadrática de las partes continuas de X y Y. La notación alternativa

∫ ∫ 0tXs∂ ∂ Ys{displaystyle int ################################################################################################################################################################################################################################################################ Y...

también se usa para denotar la integral de Stratonovich.

Aplicaciones

Una aplicación importante del cálculo estocástico es en las finanzas matemáticas, en las que a menudo se supone que los precios de los activos siguen ecuaciones diferenciales estocásticas. Por ejemplo, el modelo de Black-Scholes valora las opciones como si siguieran un movimiento browniano geométrico, lo que ilustra las oportunidades y los riesgos de aplicar el cálculo estocástico.