Cadena (topología algebraica)

En topología algebraica, una k-cadena es una combinación lineal formal de las celdas k en un complejo de celdas. En complejos simpliciales (respectivamente, complejos cúbicos), k-cadenas son combinaciones de k-simples (respectivamente, k-cubes), pero no necesariamente conectados. Las cadenas se usan en homología; los elementos de un grupo de homología son clases de equivalencia de cadenas.

Definición

Para un complejo simplicial X{displaystyle X}, el grupo Cn()X){displaystyle C_{n}(X)} de n{displaystyle n}- cadenas de X{displaystyle X} es dado por:

Cn()X)={}.. imiσ σ iSilenciomi▪ ▪ Z}{displaystyle C_{n}(X)=left{sum limits ¿Qué? ¿Por qué?

Donde σ σ i{displaystyle sigma _{i} son singular n{displaystyle n}- Crímenes de X{displaystyle X}. Note que cualquier elemento en Cn()X){displaystyle C_{n}(X)} no es necesario ser un complejo simplicial conectado.

Integración en cadenas

La integración se define en cadenas tomando la combinación lineal de integrales sobre los simples en la cadena con coeficientes (que normalmente son números enteros). El conjunto de todas las cadenas k forma un grupo y la secuencia de estos grupos se denomina cadena compleja.

Operador de límite en cadenas

El límite de una curva poligonal es una combinación lineal de sus nodos; en este caso, alguna combinación lineal de A₁ A₆. Asumiendo que todos los segmentos estén orientados de izquierda a derecha (en orden creciente de A_k A_{k+ 1}), el límite es A₆ − A₁.

Una curva poligonal cerrada, asumiendo orientación consistente, tiene límite nulo.

El límite de una cadena es la combinación lineal de los límites de los simples en la cadena. El límite de una cadena k es una cadena (k−1). Tenga en cuenta que el límite de un simplex no es un simplex, sino una cadena con coeficientes 1 o −1; por lo tanto, las cadenas son el cierre de simples bajo el operador de límite.

Ejemplo 1: El límite de un camino es la diferencia formal de sus puntos finales: es una suma telescópica. Para ilustrar, si la cadena 1 c=t1+t2+t3{displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3},} es un camino desde el punto v1{displaystyle V_{1},} al punto v4{displaystyle ¿Qué?, donde t1=[v1,v2]{displaystyle [v_{1}= [v_{1},v_{2}, t2=[v2,v3]{displaystyle ¿Qué? y t3=[v3,v4]{displaystyle [v_{3],v_{4} son sus constituyentes 1-simplices, entonces

∂ ∂ 1c=∂ ∂ 1()t1+t2+t3)=∂ ∂ 1()t1)+∂ ∂ 1()t2)+∂ ∂ 1()t3)=∂ ∂ 1()[v1,v2])+∂ ∂ 1()[v2,v3])+∂ ∂ 1()[v3,v4])=()[v2]− − [v1])+()[v3]− − [v2])+()[v4]− − [v3])=[v4]− − [v1].{displaystyle {begin{aligned}partial [4] {4} {0} {2}c]cH00}cH00}

Ejemplo 2: El límite del triángulo es una suma formal de sus aristas con signos dispuestos para hacer el recorrido del límite en sentido antihorario.

Una cadena se llama ciclo cuando su límite es cero. Una cadena que es el límite de otra cadena se denomina límite. Los límites son ciclos, por lo que las cadenas forman un complejo de cadena, cuyos grupos de homología (límites de módulos de ciclos) se denominan grupos de homología simpliciales.

Ejemplo 3: El plano perforado en el origen tiene un grupo de homología 1 no trivial ya que el círculo unitario es un ciclo, pero no un límite.

En geometría diferencial, la dualidad entre el operador de límite en las cadenas y la derivada exterior se expresa mediante la regla general de Stokes' teorema.