Cadena de reglas

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Formula para derivados de funciones compuestas

En cálculo, el Regla de cadena es una fórmula que expresa el derivado de la composición de dos funciones diferenciables $f$ y $g$ en términos de los derivados de $f$ y $g$ . Más precisamente, si ${displaystyle h=fcirc g}$ es la función tal que ${displaystyle h(x)=f(g(x))}$ para todos $x$ , entonces la regla de la cadena es, en la notación de Lagrange,

{displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).}

o, de manera equivalente,

{displaystyle h'=(fcirc g)'=(f'circ g)cdot g'.}

La regla de la cadena también se puede expresar en la notación de Leibniz. Si una variable $z$ depende de la variable $y$ , que a su vez depende de la variable $x$ (es decir, $y$ y $z$ son variables dependientes), luego $z$ depende de $x$ también, a través de la variable intermedia $y$ . En este caso, la regla de la cadena se expresa como

{displaystyle {frac {dz}{dx}}={frac {dz}{dy}}cdot {frac {dy}{dx}},}

{displaystyle left.{frac {dz}{dx}}right|_{x}=left.{frac {dz}{dy}}right|_{y(x)}cdot left.{frac {dy}{dx}}right|_{x},}

para indicar en qué puntos deben evaluarse las derivadas.

En integración, la contraparte de la regla de la cadena es la regla de sustitución.

Explicación intuitiva

Intuitivamente, la regla de la cadena establece que conocer la tasa de cambio instantánea de $z$ en relación con $y$ y el de $y$ relativo a $x$ permite calcular la tasa de cambio instantánea de $z$ en relación con $x$ como el producto de las dos tasas de cambio.

Como dijo George F. Simmons: "si un automóvil viaja el doble de rápido que una bicicleta y la bicicleta es cuatro veces más rápida que un hombre que camina, entonces el automóvil viaja 2 × 4 = 8 veces más rápido como el hombre."

La relación entre este ejemplo y la regla de la cadena es la siguiente. Vamos $z$ , $Sí.$ y $x$ sean las posiciones (variables) del coche, la bicicleta y el hombre caminante, respectivamente. La tasa de cambio de posiciones relativas del coche y la bicicleta es ${textstyle {frac {dz}{dy}}=2.}$ Análogamente, ${textstyle {frac {dy}{dx}}=4.}$ Así que la tasa de cambio de las posiciones relativas del coche y el hombre caminante es

{displaystyle {frac {dz}{dx}}={frac {dz}{dy}}cdot {frac {dy}{dx}}=2cdot 4=8.}

La tasa de cambio de posiciones es la relación de las velocidades, y la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo; es decir,

{displaystyle {frac {dz}{dx}}={frac {frac {dz}{dt}}{frac {dx}{dt}}},}

o, de manera equivalente,

{displaystyle {frac {dz}{dt}}={frac {dz}{dx}}cdot {frac {dx}{dt}},}

que también es una aplicación de la regla de la cadena.

Historia

La regla de cadena parece haber sido usada por Gottfried Wilhelm Leibniz. Lo usó para calcular el derivado de $sqrt{a + bz + cz^2}$ como el compuesto de la función de la raíz cuadrada y la función ${displaystyle a+bz+cz^{2}!}$ . Lo mencionó por primera vez en una memoria de 1676 (con un error de signo en el cálculo). La notación común de la regla de cadena se debe a Leibniz. Guillaume de l'Hôpital usó la regla de cadena implícitamente en su Analyse des infiniment petits. La regla de la cadena no aparece en ninguno de los libros de análisis de Leonhard Euler, aunque fueron escritos durante cien años después del descubrimiento de Leibniz.

Declaración

La forma más simple de la regla de cadena es para funciones de valor real de una variable real. Dice que si $g$ es una función diferente en un punto $c$ (es decir, el derivado $g . c)$ existe) y $f$ es una función diferente en $g () c)$ , entonces la función compuesta $fcirc g$ es diferente en $c$ , y el derivado es

(fcirc g)'(c) = f'(g(c))cdot g'(c).

La regla a veces se abrevia como

{displaystyle (fcirc g)'=(f'circ g)cdot g'.}

Si $y = f (u)$ y $u = g (x)$ , entonces esta forma abreviada se escribe en notación de Leibniz como:

{frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}cdot {frac {du}{dx}}.

También se pueden indicar explícitamente los puntos donde se evalúan los derivados:

{displaystyle left.{frac {dy}{dx}}right|_{x=c}=left.{frac {dy}{du}}right|_{u=g(c)}cdot left.{frac {du}{dx}}right|_{x=c}.}

Llevar el mismo razonamiento, dado $n$ funciones ${displaystyle f_{1},ldotsf_{n}!}$ con la función compuesta ${displaystyle f_{1}circ (f_{2}circ cdots (f_{n-1}circ f_{n}))!}$ , si cada función ${displaystyle f_{i}!}$ es diferente en su entrada inmediata, entonces la función compuesta también es diferente por la aplicación repetida de la Regla de Cadena, donde el derivado es (en la notación de Leibniz):

{displaystyle {frac {df_{1}}{dx}}={frac {df_{1}}{df_{2}}}{frac {df_{2}}{df_{3}}}cdots {frac {df_{n}}{dx}}.}

Aplicaciones

Compuestos de más de dos funciones

La regla de la cadena se puede aplicar a compuestos de más de dos funciones. Para tomar la derivada de un compuesto de más de dos funciones, observe que el compuesto de $f$ , $g$ , y $h$ (en ese orden) es la combinación de $f$ con $g \circ h$ . La regla de la cadena establece que para calcular la derivada de $f \circ g \circ h$ , es suficiente para calcular la derivada de $f$ y la derivada de $g \circ h$ . La derivada de $f$ se puede calcular directamente, y la derivada de $g \circ h$ se puede calcular aplicando de nuevo la regla de la cadena.

Para ser concreto, considere la función

{displaystyle y=e^{sin(x^{2})}.}

Esto se puede descomponer como el compuesto de tres funciones:

{displaystyle {begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\[6pt]u&=g(v)=sin v=sin(x^{2}),\[6pt]v&=h(x)=x^{2}.end{aligned}}}

Sus derivados son:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u}=e^{sin(x^{2})},\[6pt]{frac {du}{dv}}&=g'(v)=cos v=cos(x^{2}),\[6pt]{frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.end{aligned}}}

La regla de la cadena establece que la derivada de su compuesto en el punto $x = a$ es:

{displaystyle {begin{aligned}(fcirc gcirc h)'(a)&=f'((gcirc h)(a))cdot (gcirc h)'(a)\[10pt]&=f'((gcirc h)(a))cdot g'(h(a))cdot h'(a)=(f'circ gcirc h)(a)cdot (g'circ h)(a)cdot h'(a).end{aligned}}}

En la notación de Leibniz, esto es:

frac{dy}{dx} = left.frac{dy}{du}right|_{u=g(h(a))}cdotleft.frac{du}{dv}right|_{v=h(a)}cdotleft.frac{dv}{dx}right|_{x=a},

o para abreviar,

frac{dy}{dx} = frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dv}cdotfrac{dv}{dx}.

La función derivada es por lo tanto:

{displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{sin(x^{2})}cdot cos(x^{2})cdot 2x.}

Otra forma de calcular esta derivada es ver la función compuesta $f \circ g \circ h$ como el compuesto de $f \circ g$ y h. Aplicando la regla de la cadena de esta manera se obtendría:

(f circ g circ h)'(a) = (f circ g)'(h(a))cdot h'(a) = f'(g(h(a)))cdot g'(h(a))cdot h'(a).

Esto es lo mismo que lo que se calculó anteriormente. Esto debería esperarse porque $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .

A veces, es necesario diferenciar una composición arbitrariamente larga de la forma ${displaystyle f_{1}circ f_{2}circ cdots circ f_{n-1}circ f_{n}!}$ . En este caso, definir

{displaystyle f_{a,.,.,b}=f_{a}circ f_{a+1}circ cdots circ f_{b-1}circ f_{b}}

Donde ${displaystyle f_{a,.,.,a}=f_{a}}$ y ${displaystyle f_{a,.,.,b}(x)=x}$ cuando $<math alttext="{displaystyle b b.a{displaystyle b madea} <img alt="b$ . Entonces la regla de la cadena toma la forma

{displaystyle Df_{1,.,.,n}=(Df_{1}circ f_{2,.,.,n})(Df_{2}circ f_{3,.,.,n})cdots (Df_{n-1}circ f_{n,.,.,n})Df_{n}=prod _{k=1}^{n}left[Df_{k}circ f_{(k+1),.,.,n}right]}

o, en la notación de Lagrange,

{displaystyle f_{1,.,.,n}'(x)=f_{1}'left(f_{2,.,.,n}(x)right);f_{2}'left(f_{3,.,.,n}(x)right)cdots f_{n-1}'left(f_{n,.,.,n}(x)right);f_{n}'(x)=prod _{k=1}^{n}f_{k}'left(f_{(k+1,.,.,n)}(x)right)}

Regla del cociente

La regla de la cadena se puede utilizar para derivar algunas reglas de diferenciación bien conocidas. Por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto. Para ver esto, escribe la función $f (x)/ g (x)$ como el producto $f (x) \cdot 1/ g (x)$ . Primero aplica la regla del producto:

begin{align} frac{d}{dx}left(frac{f(x)}{g(x)}right) &= frac{d}{dx}left(f(x)cdotfrac{1}{g(x)}right) \ &= f'(x)cdotfrac{1}{g(x)} + f(x)cdotfrac{d}{dx}left(frac{1}{g(x)}right). end{align}

Para calcular el derivado de $1/ g () x)$ , note que es el compuesto de $g$ con la función recíproca, es decir, la función que envía $x$ a $1/ x$ . El derivado de la función recíproca es ${displaystyle -1/x^{2}!}$ . Al aplicar la regla de cadena, la última expresión se convierte en:

f'(x)cdotfrac{1}{g(x)} + f(x)cdotleft(-frac{1}{g(x)^2}cdot g'(x)right) = frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2},

que es la fórmula habitual para la regla del cociente.

Derivadas de funciones inversas

Suponga que $y = g (x)$ tiene una función inversa. Llame a su función inversa $f$ para que tengamos $x = f (y)$ . Existe una fórmula para la derivada de $f$ en términos de la derivada de $g$ . Para ver esto, tenga en cuenta que $f$ y $g$ satisface la fórmula

f(g(x)) = x.

Y porque las funciones $f(g(x))$ y $x$ son iguales, sus derivados deben ser iguales. El derivado de $x$ es la función constante con el valor 1, y el derivado de $f(g(x))$ está determinado por la regla de la cadena. Por lo tanto, tenemos que:

f'(g(x)) g'(x) = 1.

Para expresar $f '$ como función de una variable independiente $Sí.$ , sustituimos $f(y)$ para $x$ donde quiera que aparezca. Entonces podemos resolverlo. $f '$ .

{displaystyle {begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\[5pt]f'(y)g'(f(y))&=1\[5pt]f'(y)={frac {1}{g'(f(y))}}.end{aligned}}}

Por ejemplo, considere la función $g (x) = e x$ . Tiene un inverso $f (y) = ln y$ . Porque $g'(x) = e x$ , la fórmula anterior dice que

frac{d}{dy}ln y = frac{1}{e^{ln y}} = frac{1}{y}.

Esta fórmula es verdadera siempre que $g$ sea diferenciable y su inversa $f$ también es diferenciable. Esta fórmula puede fallar cuando una de estas condiciones no es cierta. Por ejemplo, considere $g (x) = x 3$ . Su inversa es $f (y) = y 1/3$ , que no es diferenciable en cero. Si intentamos usar la fórmula anterior para calcular la derivada de $f$ en cero, entonces debemos evaluar $1/ g'(f (0))$ . Dado que $f (0) = 0$ y $g'(0) = 0$ , debemos evaluar 1/0, que no está definido. Por lo tanto, la fórmula falla en este caso. Esto no es sorprendente porque $f$ no es diferenciable en cero.

Derivados superiores

La fórmula de Faà di Bruno generaliza la regla de la cadena a derivadas superiores. Suponiendo que $y = f (u)$ y $u = g (x)$ , entonces las primeras derivadas son:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{dx}}&={frac {dy}{du}}{frac {du}{dx}}\[4pt]{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={frac {d^{2}y}{du^{2}}}left({frac {du}{dx}}right)^{2}+{frac {dy}{du}}{frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\[4pt]{frac {d^{3}y}{dx^{3}}}&={frac {d^{3}y}{du^{3}}}left({frac {du}{dx}}right)^{3}+3,{frac {d^{2}y}{du^{2}}}{frac {du}{dx}}{frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{frac {dy}{du}}{frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\[4pt]{frac {d^{4}y}{dx^{4}}}&={frac {d^{4}y}{du^{4}}}left({frac {du}{dx}}right)^{4}+6,{frac {d^{3}y}{du^{3}}}left({frac {du}{dx}}right)^{2}{frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{frac {d^{2}y}{du^{2}}}left(4,{frac {du}{dx}}{frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+3,left({frac {d^{2}u}{dx^{2}}}right)^{2}right)+{frac {dy}{du}}{frac {d^{4}u}{dx^{4}}}.end{aligned}}}

Pruebas

Primera prueba

Una prueba de la regla de la cadena comienza definiendo la derivada de la función compuesta $f \circ g$ , donde tome el límite del cociente de diferencia para $f \circ g$ como $x$ se aproxima a $a$ :

(f circ g)'(a) = lim_{x to a} frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}.

Supongamos por el momento que ${displaystyle g(x)!}$ no es igual $g(a)$ para cualquier $x$ cerca $a$ . Entonces la expresión anterior es igual al producto de dos factores:

lim_{x to a} frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} cdot frac{g(x) - g(a)}{x - a}.

Si $g$ oscila cerca $a$ , entonces podría suceder que no importa lo cerca que uno llegue $a$ , siempre hay un aún más cerca $x$ tales que $g () x) g () a)$ . Por ejemplo, esto ocurre cerca $a = 0$ para la función continua $g$ definidas por $g () x) = 0$ para $x = 0$ y $g () x) x 2 pecado(1/ x)$ De lo contrario. Cuando esto sucede, la expresión anterior es indefinida porque implica división por cero. Para trabajar en torno a esto, introduzca una función $Q$ como sigue:

{displaystyle Q(y)={begin{cases}displaystyle {frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&yneq g(a),\f'(g(a)),&y=g(a).end{cases}}}

Mostraremos que el cociente de diferencia para $f \circ g$ siempre es igual a:

Q(g(x)) cdot frac{g(x) - g(a)}{x - a}.

Siempre que $g (x)$ no sea igual a $g (a)$ , esto es claro porque los factores de $g (x) - g (a)$ cancelar. Cuando $g (x)$ es igual a $g (a)$ , entonces el cociente de diferencia para $f \circ g$ es cero porque $f (g (x))$ es igual a $f (g (a))$ , y el producto anterior es cero porque es igual a $f'(g (a))$ veces cero. Entonces, el producto anterior siempre es igual al cociente de la diferencia, y para mostrar que la derivada de $f \circ g$ en $a$ existe y para determinar su valor, solo necesitamos mostrar que el límite es $x$ va a $a$ del producto anterior existe y determina su valor.

Para ello, recuerda que el límite de un producto existe si existen los límites de sus factores. Cuando esto sucede, el límite del producto de estos dos factores será igual al producto de los límites de los factores. Los dos factores son $Q (g (x))$ y $(g (x) - g (a)) / (x - a)$ . Este último es el cociente de diferencia para $g$ en $a$ , y porque $g$ es diferenciable en $a$ por suposición, su límite como $x$ tiende a $a$ existe y es igual a $g'(a)$ .

En cuanto a $Q (g (x))$ , observe que $Q$ se define dondequiera que $f$ es. Además, $f$ es diferenciable en $g (a)$ por suposición, entonces $Q$ es continua en $g (a)$ , por definición de la derivada. La función $g$ es continua en $a$ porque es diferenciable en $a$ , y por lo tanto $Q \circ g$ es continua en $a$ . Entonces su límite como $x$ va a $a$ existe y es igual a $Q (g (a))$ , que es $f'(g (a))$ .

Esto muestra que los límites de ambos factores existen y que son iguales a $f'(g (a))$ y $g'(a)$ , respectivamente. Por lo tanto, la derivada de $f \circ g$ en a existe y es igual a $f'(g (a))$ $g'(a)$ .

Caso multivariable

La generalización de la regla de la cadena a funciones de múltiples variables es bastante técnica. Sin embargo, es más sencillo escribir en el caso de funciones de la forma

${displaystyle f(g_{1}(x),dotsg_{k}(x)).}$

Como este caso ocurre a menudo en el estudio de funciones de una sola variable, vale la pena describirlo por separado.

Caso de f(g1(x),... gk(x))

Para escribir la regla de la cadena para una función de la forma

$f () g 1 () x),... g k () x)$ ,

se necesitan las derivadas parciales de $f$ con respecto a su $k$ argumentos. Las notaciones usuales para derivadas parciales implican nombres para los argumentos de la función. Como estos argumentos no se nombran en la fórmula anterior, es más simple y claro denotar por

${displaystyle D_{i}f}$

la derivada parcial de $f$ con respecto a su $i$ ésimo argumento, y por

${displaystyle D_{i}f(z)}$

el valor de esta derivada en $z$ .

Con esta notación, la regla de la cadena es

${displaystyle {frac {d}{dx}}f(g_{1}(x),dotsg_{k}(x))=sum _{i=1}^{k}left({frac {d}{dx}}{g_{i}}(x)right)D_{i}f(g_{1}(x),dotsg_{k}(x)).}$

Ejemplo: operaciones aritméticas

Si la función $f$ es suma, es decir, si

${displaystyle f(u,v)=u+v,}$

entonces ${textstyle D_{1}f={frac {partial f}{partial u}}=1}$ y ${textstyle D_{2}f={frac {partial f}{partial v}}=1}$ . Así, la regla de cadena da

${displaystyle {frac {d}{dx}}(g(x)+h(x))=left({frac {d}{dx}}g(x)right)D_{1}f+left({frac {d}{dx}}h(x)right)D_{2}f={frac {d}{dx}}g(x)+{frac {d}{dx}}h(x).}$

Para la multiplicación

${displaystyle f(u,v)=uv,}$

los parciales son ${displaystyle D_{1}f=v}$ y ${displaystyle D_{2}f=u}$ . Así,

${displaystyle {frac {d}{dx}}(g(x)h(x))=h(x){frac {d}{dx}}g(x)+g(x){frac {d}{dx}}h(x).}$

El caso de la exponenciación

${displaystyle f(u,v)=u^{v}}$

es un poco más complicado, ya que

${displaystyle D_{1}f=vu^{v-1},}$

y, como ${displaystyle u^{v}=e^{vln u},}$

${displaystyle D_{2}f=u^{v}ln u.}$

Se sigue que

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(g(x)^{h(x)}right)=h(x)g(x)^{h(x)-1}{frac {d}{dx}}g(x)+g(x)^{h(x)}ln g(x){frac {d}{dx}}h(x).}$

Regla general

La forma más sencilla de escribir la regla de la cadena en el caso general es usar la derivada total, que es una transformación lineal que captura todas las derivadas direccionales en una sola fórmula. Considere las funciones diferenciables $f : R m \to R k$ y $g : R n \to R m$ , y un punto $a$ en $R n$ . Sea $D a g$ la derivada total de g en $a$ y $D g (a) f$ denota la derivada total de f en $g (a)$ . Estas dos derivadas son transformaciones lineales $R n \to R m$ y $R m \to R k$ , respectivamente, para que puedan componerse. La regla de la cadena para las derivadas totales es que su compuesto es la derivada total de $f \circ g$ en a:

$D_{mathbf{a}}(f circ g) = D_{g(mathbf{a})}f circ D_{mathbf{a}}g,$

o para abreviar,

$D(f circ g) = Df circ Dg.$

La regla de la cadena de dimensiones superiores se puede probar usando una técnica similar a la segunda prueba dada arriba.

Debido a que la derivada total es una transformación lineal, las funciones que aparecen en la fórmula se pueden reescribir como matrices. La matriz correspondiente a una derivada total se denomina matriz jacobiana, y la compuesta de dos derivadas corresponde al producto de sus matrices jacobianas. Desde esta perspectiva, la regla de la cadena dice:

$J_{{fcirc g}}({mathbf {a}})=J_{{f}}(g({mathbf {a}}))J_{{g}}({mathbf {a}}),$

o para abreviar,

$J_{{fcirc g}}=(J_{f}circ g)J_{g}.$

Es decir, el jacobiano de una función compuesta es el producto de los jacobianos de las funciones compuestas (evaluadas en los puntos apropiados).

La regla de la cadena de dimensiones superiores es una generalización de la regla de la cadena unidimensional. Si k, m y n son 1, entonces $f : R \to R$ y $g : R \to R$ , entonces las matrices jacobianas de f y g son $1 \times 1$ . En concreto, son:

${begin{aligned}J_{g}(a)&={begin{pmatrix}g'(a)end{pmatrix}},\J_{{f}}(g(a))&={begin{pmatrix}f'(g(a))end{pmatrix}}.end{aligned}}$

El jacobiano de f ∘ g es el producto de estas matrices $1 \times 1$ , por lo que es $f'(g (a))\cdot g'(a)$ , como se esperaba de la regla de la cadena unidimensional. En el lenguaje de las transformaciones lineales, D_a(g) es la función que escala un vector por un factor de g′(a) y D_g(a)(f) es la función que escala un vector por un factor de f′(g(a)). La regla de la cadena dice que la combinación de estas dos transformaciones lineales es la transformación lineal $D a (f \circ g)$ , y por lo tanto es la función que escala un vector por f′(g (a))⋅g′(a).

Otra forma de escribir la regla de la cadena se usa cuando f y g se expresan en términos de sus componentes como $y = f (u) = (f 1 (u), \dots, f k (u))$ y $u = g (x) = (g 1 (x), \dots, g m (x))$ . En este caso, la regla anterior para matrices jacobianas generalmente se escribe como:

$frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial(x_1, ldots, x_n)} = frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial(u_1, ldots, u_m)} frac{partial(u_1, ldots, u_m)}{partial(x_1, ldots, x_n)}.$

La regla de la cadena para derivadas totales implica una regla de la cadena para derivadas parciales. Recuerde que cuando existe la derivada total, la derivada parcial en la dirección de coordenadas iésima se encuentra multiplicando la matriz jacobiana por el vector base iésimo. Al hacer esto con la fórmula anterior, encontramos:

$frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial x_i} = frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial(u_1, ldots, u_m)} frac{partial(u_1, ldots, u_m)}{partial x_i}.$

Dado que las entradas de la matriz jacobiana son derivadas parciales, podemos simplificar la fórmula anterior para obtener:

$frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial x_i} = sum_{ell = 1}^m frac{partial(y_1, ldots, y_k)}{partial u_ell} frac{partial u_ell}{partial x_i}.$

Más conceptualmente, esta regla expresa el hecho de que un cambio en la dirección x_i puede cambiar todo g₁ a g_m, y cualquiera de estos cambios puede afectar a f.

En el caso especial donde $k = 1$ , de modo que f sea una función de valor real, entonces esto fórmula simplifica aún más:

$frac{partial y}{partial x_i} = sum_{ell = 1}^m frac{partial y}{partial u_ell} frac{partial u_ell}{partial x_i}.$

Esto se puede reescribir como un producto escalar. Recordando que $u = (g 1, \dots, g m)$ , la derivada parcial $\partial u / \partial x i$ también es un vector, y la regla de la cadena dice que:

${displaystyle {frac {partial y}{partial x_{i}}}=nabla ycdot {frac {partial mathbf {u} }{partial x_{i}}}.}$

Ejemplo

Dado $u (x, y) = x 2 + 2 y$ donde $x (r, t) = r sin(t)$ y $y (r, t) = sin 2 (t)$ , determine el valor de $\partial u / \partial r$ y $\partial u / \partial t$ utilizando la regla de la cadena.

${frac {partial u}{partial r}}={frac {partial u}{partial x}}{frac {partial x}{partial r}}+{frac {partial u}{partial y}}{frac {partial y}{partial r}}=(2x)(sin(t))+(2)(0)=2rsin ^{2}(t),$

$begin{align}frac{partial u}{partial t} &= frac{partial u}{partial x} frac{partial x}{partial t}+frac{partial u}{partial y} frac{partial y}{partial t} \ &= (2x)(rcos(t)) + (2)(2sin(t)cos(t)) \ &= (2rsin(t))(rcos(t)) + 4sin(t)cos(t) \ &= 2(r^2 + 2) sin(t)cos(t) \ &= (r^2 + 2) sin(2t).end{align}$

Derivadas superiores de funciones multivariables

La fórmula de Faà di Bruno para derivadas de orden superior de funciones de una sola variable se generaliza al caso de múltiples variables. Si $y = f (u)$ es una función de $u = g (x)$ como arriba, luego la segunda derivada de $f \circ g$ es:

${frac {partial ^{2}y}{partial x_{i}partial x_{j}}}=sum _{k}left({frac {partial y}{partial u_{k}}}{frac {partial ^{2}u_{k}}{partial x_{i}partial x_{j}}}right)+sum _{{k,ell }}left({frac {partial ^{2}y}{partial u_{k}partial u_{ell }}}{frac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{ell }}{partial x_{j}}}right).$

Otras generalizaciones

Todas las extensiones del cálculo tienen una regla de la cadena. En la mayoría de estos, la fórmula sigue siendo la misma, aunque el significado de esa fórmula puede ser muy diferente.

Una generalización es para variedades. En esta situación, la regla de la cadena representa el hecho de que la derivada de $f \circ g$ es el compuesto de la derivada de f y la derivada de g. Este teorema es una consecuencia inmediata de la regla de la cadena de dimensiones superiores dada anteriormente, y tiene exactamente la misma fórmula.

La regla de la cadena también es válida para derivados de Fréchet en espacios de Banach. Se mantiene la misma fórmula que antes. Este caso y el anterior admiten una generalización simultánea a las variedades de Banach.

En álgebra diferencial, la derivada se interpreta como un morfismo de módulos de diferenciales de Kähler. Un homomorfismo de anillos de anillos conmutativos $f : R \to S$ determina un morfismo de diferenciales de Kähler $Df : Ω R \to Ω S$ que envía un elemento dr a d(f(r)), el diferencial exterior de f(r). La fórmula $D (f \circ g) = Df \circ Dg$ también se aplica en este contexto.

La característica común de estos ejemplos es que son expresiones de la idea de que la derivada es parte de un funtor. Un funtor es una operación sobre espacios y funciones entre ellos. Asocia a cada espacio un nuevo espacio ya cada función entre dos espacios una nueva función entre los correspondientes nuevos espacios. En cada uno de los casos anteriores, el funtor envía cada espacio a su paquete tangente y envía cada función a su derivada. Por ejemplo, en el caso de la variedad, la derivada envía una variedad C^r a una variedad C^{variedad r−1} (su paquete tangente) y una función C^r a su derivada total. Hay un requisito para que esto sea un funtor, a saber, que la derivada de un compuesto debe ser el compuesto de las derivadas. Esta es exactamente la fórmula $D (f \circ g) = Df \circ DG$ .

También existen reglas de cadena en el cálculo estocástico. Uno de estos, el lema de Itō, expresa la combinación de un proceso de Itō (o más generalmente una semimartingala) dX_t con un función dos veces diferenciable f. En el lema de Itō, la derivada de la función compuesta depende no solo de dX_t y la derivada de f sino también en la segunda derivada de f. La dependencia de la segunda derivada es una consecuencia de la variación cuadrática distinta de cero del proceso estocástico, lo que en términos generales significa que el proceso puede moverse hacia arriba y hacia abajo de una manera muy aproximada. Esta variante de la regla de la cadena no es un ejemplo de un funtor porque las dos funciones que se componen son de diferentes tipos.

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