C-simetría

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Simmetry of physical laws under a charge-conjugation transformation

En física, la conjugación de carga es una transformación que cambia todas las partículas con sus correspondientes antipartículas, cambiando así el signo de todas las cargas: no solo la carga eléctrica sino también las cargas relevantes para otras fuerzas. El término simetría C es una abreviatura de la frase "simetría de conjugación de carga", y se usa en discusiones sobre la simetría de leyes físicas bajo conjugación de carga. Otras simetrías discretas importantes son la simetría P (paridad) y la simetría T (inversión de tiempo).

Estas simetrías discretas, C, P y T, son simetrías de las ecuaciones que describen las fuerzas fundamentales conocidas de la naturaleza: electromagnetismo, gravedad, interacciones fuertes y débiles. Verificar si alguna ecuación matemática dada modela correctamente la naturaleza requiere dar una interpretación física no solo a las simetrías continuas, como el movimiento en el tiempo, sino también a sus simetrías discretas, y luego determinar si la naturaleza se adhiere a estas simetrías. A diferencia de las simetrías continuas, la interpretación de las simetrías discretas es un poco más exigente intelectualmente y confusa. Una sorpresa temprana apareció en la década de 1950, cuando Chien Shiung Wu demostró que la interacción débil violaba la simetría P. Durante varias décadas, parecía que se conservaba la simetría combinada CP, hasta que se descubrieron interacciones que violaban CP. Ambos descubrimientos conducen a premios Nobel.

La simetría C es particularmente problemática, físicamente, ya que el universo está lleno principalmente de materia, no de antimateria, mientras que la ingenua simetría C de las leyes físicas sugiere que debería haber cantidades iguales de ambas. Actualmente se cree que la violación de CP durante el universo primitivo puede explicar el "exceso" asunto, aunque el debate no está zanjado. Los libros de texto anteriores sobre cosmología, anteriores a la década de 1970, sugerían rutinariamente que quizás las galaxias distantes estaban compuestas completamente de antimateria, manteniendo así un saldo neto de cero en el universo.

Este artículo se centra en exponer y articular la simetría C de varias ecuaciones y sistemas teóricos importantes, incluida la ecuación de Dirac y la estructura de la teoría cuántica de campos. Las diversas partículas fundamentales se pueden clasificar según su comportamiento bajo conjugación de carga; esto se describe en el artículo sobre C-parity.

Resumen informal

La conjugación de carga ocurre como una simetría en tres escenarios diferentes pero estrechamente relacionados: una simetría de las soluciones (clásicas, no cuantificadas) de varias ecuaciones diferenciales notables, incluidas la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac, una simetría de la correspondientes campos cuánticos, y en un marco general, una simetría en (pseudo-) geometría Riemanniana. En los tres casos, la simetría finalmente se revela como una simetría bajo conjugación compleja, aunque a veces se ofusca exactamente lo que se conjuga, dependiendo de la notación, las elecciones de coordenadas y otros factores.

En campos clásicos

La simetría de conjugación de carga se interpreta como la de carga eléctrica, porque en los tres casos (clásico, cuántico y geometría), se puede construir corrientes de Noether que se asemejan a las de electrodinámica clásica. Esto surge porque la electrodinámica misma, a través de las ecuaciones de Maxwell, puede ser interpretada como una estructura en un paquete de fibra U(1), el llamado paquete de círculo. Esto proporciona una interpretación geométrica del electromagnetismo: el potencial electromagnético $A_{mu }$ se interpreta como la conexión del medidor (la conexión Ehresmann) en el paquete del círculo. Esta interpretación geométrica permite (literalmente casi) cualquier cosa que posea una estructura compleja-valorada en número que se acopla al campo electromagnético, siempre y cuando este acoplamiento se haga de una manera invariable de calibre. Simetría de Gauge, en este entorno geométrico, es una afirmación que, a medida que se mueve alrededor en el círculo, el objeto acoplado también debe transformarse en una "vía circular", rastreando de manera correspondiente. Más formalmente, se dice que las ecuaciones deben ser invariables bajo un cambio de marcos de coordenadas locales en el círculo. Para U(1), esta es sólo la afirmación de que el sistema es invariante bajo la multiplicación por un factor de fase ${displaystyle e^{iphi (x)}}$ que depende de la coordinación (tiempo espacial) $x.$ En este entorno geométrico, la conjugación de carga se puede entender como la simetría discreta ${displaystyle z=(x+iy)mapsto {overline {z}}=(x-iy)}$ que realiza conjugación compleja, que revierte el sentido de dirección alrededor del círculo.

En teoría cuántica

En la teoría cuántica de campos, la conjugación de carga puede entenderse como el intercambio de partículas con antipartículas. Para entender esta afirmación, uno debe tener una comprensión mínima de lo que es la teoría cuántica de campos. En términos (muy) simplificados, es una técnica para realizar cálculos para obtener soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas a través de la teoría de perturbaciones. Un ingrediente clave de este proceso es el campo cuántico, uno para cada una de las ecuaciones diferenciales (libres, desacopladas) del sistema. Un campo cuántico se escribe convencionalmente como

{displaystyle psi (x)=int d^{3}psum _{sigman}e^{-ipcdot x}aleft({vec {p}},sigmanright)uleft({vec {p}},sigmanright)+e^{ipcdot x}a^{dagger }left({vec {p}},sigmanright)vleft({vec {p}},sigmanright)}

Donde ${vec {p}}$ es el impulso, $sigma$ es una etiqueta de giro, $n$ es una etiqueta auxiliar para otros estados del sistema. El $a$ y $a^dagger$ son operadores de creación y aniquilación (operadores de escaleras) y $u,v$ son soluciones a la ecuación diferencial (gratuita, no interaccionante, sin enfriar). El campo cuántico juega un papel central porque, en general, no se sabe cómo obtener soluciones exactas al sistema de preguntas diferenciales acopladas. Sin embargo, a través de la teoría de la perturbación, se pueden construir soluciones aproximadas como combinaciones de soluciones de campo libre. Para realizar esta construcción, hay que poder extraer y trabajar con cualquier solución de campo libre dada, a pedido, cuando sea necesario. El campo cuántico proporciona exactamente esto: enumera todas las posibles soluciones de campo libre en un espacio vectorial de tal manera que cualquiera de ellos puede ser señalado en cualquier momento dado, a través de los operadores de creación y aniquilación.

Los operadores de creación y aniquilación obedecen a las relaciones de conmutación canónica, en que el único operador "deshacer" lo que el otro "crea". Esto implica que cualquier solución dada ${displaystyle uleft({vec {p}},sigmanright)}$ debe ser emparejado con su "anti-solución" ${displaystyle vleft({vec {p}},sigmanright)}$ para que uno deshacer o cancelar el otro. El emparejamiento debe ser realizado para que todas las simetrías se conservan. Como uno está generalmente interesado en la invariancia de Lorentz, el campo cuántico contiene una integral sobre todos los posibles marcos de coordenadas de Lorentz, escritos arriba como una integral sobre todo momento posiblea (es un integral sobre la fibra del paquete de marco). La pareja requiere que un dado ${displaystyle uleft({vec {p}}right)}$ se asocia con un ${displaystyle vleft({vec {p}}right)}$ del impulso y la energía opuestos. El campo cuántico es también una suma sobre todos los estados de giro posibles; el doble emparejado de nuevo coincide con los giros opuestos. Del mismo modo para cualquier otro número cuántico, estos también están emparejados como opuestos. Hay una dificultad técnica para llevar a cabo este doble par: uno debe describir lo que significa para alguna solución dada $u$ ser "dual a" otra solución $v,$ y describirlo de tal manera que sigue siendo consistentemente dual al integrarse sobre la fibra del paquete de marco, al integrar (sumar) la fibra que describe el giro, y al integrar (sumar) cualquier otra fibra que ocurra en la teoría.

Cuando la fibra que debe integrarse es la fibra U(1) del electromagnetismo, el emparejamiento dual es tal que la dirección (orientación) en la fibra se invierte. Cuando la fibra a integrarse es la fibra SU(3) de la carga de color, el emparejado dual de nuevo revierte la orientación. Este "sólo funciona" para SU(3) porque tiene dos representaciones fundamentales duales ${displaystyle mathbf {3} }$ y ${displaystyle {overline {mathbf {3} }}}$ que se puede emparejar naturalmente. Esta prescripción para un campo cuántico se generaliza naturalmente a cualquier situación donde se pueda enumerar las simetrías continuas del sistema y definir duales de manera coherente y coherente. El emparejamiento une cargas opuestas en el sentido completamente abstracto. En física, una carga se asocia con un generador de una simetría continua. Diferentes cargos se asocian con diferentes eigenspaces de los invariantes de Casimir del álgebra universal envolvente para esas simetrías. Este es el caso ambos la simetría de Lorentz del eje espacial subyacente, así como las simetrías de cualquier fibra en el paquete de fibra que se plantea sobre el colector espacial. La dualidad reemplaza el generador de la simetría con menos el generador. La conjugación de carga se asocia así con la reflexión a lo largo del paquete de línea o conjunto determinante del espacio de las simetrías.

Lo anterior entonces es un bosquejo de la idea general de un campo cuántico en la teoría del campo cuántico. La interpretación física es que las soluciones ${displaystyle uleft({vec {p}},sigmanright)}$ corresponde a partículas y soluciones ${displaystyle vleft({vec {p}},sigmanright)}$ corresponden a antipartículas, por lo que la conjugación de carga es un emparejamiento de los dos. Este boceto también proporciona suficientes indicios para indicar cómo podría parecer la conjugación de carga en un entorno geométrico general. No hay ningún requisito obligado en particular para usar la teoría de la perturbación, para construir campos cuánticos que actuarán como intermediarios en una expansión perturbadora. La conjugación de carga se puede dar un entorno general.

En geometría

Para el general Riemannian y pseudo-Riemannian manifolds, uno tiene un paquete tangente, un paquete cotangente y una métrica que une a los dos juntos. Hay varias cosas interesantes que uno puede hacer, cuando se presenta con esta situación. Uno es que la estructura lisa permite que las ecuaciones diferenciales se planteen en el colector; los espacios tangentes y cotangentes proporcionan suficiente estructura para realizar cálculos en los colectores. De interés clave es el Laplacian, y, con un término constante, lo que equivale al operador Klein-Gordon. Los racimos de cobre, por su construcción básica, son siempre andamios simpáticos. Manifolds Symplectic tienen coordenadas canónicas $x,p$ interpretado como posición e impulso, obedeciendo las relaciones de conmutación canónica. Esto proporciona la infraestructura básica para extender la dualidad, y así cargar la conjugación, a este entorno general.

Una segunda cosa interesante que uno puede hacer es construir una estructura de giro. Tal vez lo más notable de esto es que es una generalización muy reconocible a una $(p,q)$ - dimensional pseudo-Riemannian manifold del concepto de física convencional de espinas que viven en un espacio de Minkowski (1,3)-dimensional. La construcción pasa a través de un álgebra compleja Clifford para construir un paquete Clifford y un eje de giro. Al final de esta construcción, se obtiene un sistema que es notablemente familiar, si uno ya está familiarizado con las espinas Dirac y la ecuación Dirac. Varias analogías pasan a este caso general. Primero, las espinas son las espinas Weyl, y vienen en pares complejo-conjugados. Son naturalmente anti-commuting (esto se deriva del álgebra Clifford), que es exactamente lo que uno quiere hacer contacto con el principio de exclusión Pauli. Otro es la existencia de un elemento quiral, análogo a la matriz gamma $gamma _{5}$ que clasifica estas espinas en subespaciales de mano izquierda y derecha. La complejidad es un ingrediente clave, y proporciona "electromagnetismo" en este entorno generalizado. El paquete de espinas no se transforma "justo" bajo el grupo pseudo-ortogonal ${displaystyle SO(p,q)}$ , la generalización del grupo Lorentz $SO(1,3)$ , pero bajo un grupo más grande, el grupo de giro complejo ${displaystyle mathrm {Spin} ^{mathbb {C} }(p,q).}$ Es más grande en que tiene una cobertura doble ${displaystyle SO(p,q)times U(1).}$

El $U(1)$ la pieza se puede identificar con electromagnetismo de varias maneras diferentes. Una manera es que los operadores de Dirac en el eje giratorio, cuando se colocan, contienen una pieza $F=dA$ con $A$ de esa parte de la conexión asociada con la $U(1)$ pedazo. Esto es totalmente análogo a lo que sucede cuando se coloca la ecuación Dirac ordinaria en tiempo espacial de Minkowski ordinario. Una segunda pista es que esto $U(1)$ la pieza se asocia con el paquete determinante de la estructura de la columna, atar efectivamente las espinas izquierda y derecha a través de la conjugación compleja.

Lo que queda es trabajar a través de las simetrías discretas de la construcción anterior. Hay varios que parecen generalizar la simetría P y la simetría T. Identificar el $p$ dimensiones con el tiempo, y $q$ dimensiones con espacio, se puede revertir los vectores tangentes en los $p$ subespacial dimensional para conseguir la inversión del tiempo, y volteando la dirección de la $q$ dimensiones corresponde a la paridad. La simetría C se puede identificar con la reflexión sobre el paquete de línea. Para atar todos estos juntos en un nudo, uno finalmente tiene el concepto de transposición, en que los elementos del álgebra Clifford se pueden escribir en orden inverso (transpuesto). El resultado neto es que no sólo las ideas de la física convencional de los campos pasan al escenario general Riemanniano, sino también las ideas de las simetrías discretas.

Hay dos formas de reaccionar ante esto. Una es tratarlo como una curiosidad interesante. La otra es darse cuenta de que, en las dimensiones bajas (en el espacio-tiempo de baja dimensión) hay muchos "accidentales" isomorfismos entre varios grupos de Lie y otras estructuras variadas. Ser capaz de examinarlos en un entorno general desenreda estas relaciones, exponiendo más claramente 'de dónde vienen las cosas'.

Conjugación de carga para campos de Dirac

Las leyes del electromagnetismo (tanto clásicas como cuánticas) son invariantes ante el intercambio de cargas eléctricas con sus negativos. Para el caso de electrones y quarks, los cuales son campos de fermiones de partículas fundamentales, las excitaciones de campo de una sola partícula se describen mediante la ecuación de Dirac

{displaystyle (i{partial !!!{big /}}-q{A!!!{big /}}-m)psi =0}

Uno desea encontrar una solución de carga conjugada

{displaystyle (i{partial !!!{big /}}+q{A!!!{big /}}-m)psi ^{c}=0}

Un puñado de manipulaciones algebraicas son suficientes para obtener el segundo de la primera. Exposiciones estándar de la ecuación Dirac demuestran un campo conjugado ${displaystyle {overline {psi }}=psi ^{dagger }gamma ^{0},}$ interpretado como un campo antipartícula, satisfaciendo la ecuación Dirac compleja-transpuesta

{displaystyle {overline {psi }}(-i{partial !!!{big /}}-q{A!!!{big /}}-m)=0}

Tenga en cuenta que algunos pero no todos los signos han volteado. Transponer esta espalda de nuevo da casi la forma deseada, siempre que uno pueda encontrar una matriz 4×4 $C$ que transpone las matrices gamma para insertar el cambio de signo requerido:

{displaystyle Cgamma _{mu }C^{-1}=-gamma _{mu }^{textsf {T}}}

La solución conjugada de carga viene dada por la involución

{displaystyle psi mapsto psi ^{c}=eta _{c},C{overline {psi }}^{textsf {T}}}

La matriz 4×4 ${displaystyle C,}$ llamada matriz de conjugación de carga, tiene una forma explícita dada en el artículo sobre matrices gamma. Curiosamente, esta forma no es independiente de la representación, pero depende de la representación matriz específica elegida para el grupo gamma (el subgrupo del álgebra Clifford capturando las propiedades algebraicas de las matrices gamma). Esta matriz depende de la representación debido a una interacción sutil que implica la complejidad del grupo de giro que describe la covariancia de Lorentz de partículas cargadas. El número complejo $eta _{c}$ es un factor de fase arbitraria ${displaystyle |eta _{c}|=1,}$ en general ${displaystyle eta _{c}=1.}$

Conjugación de carga, quiralidad, helicidad

La interacción entre la quiralidad y la conjugación de carga es un poco sutil y requiere articulación. A menudo se dice que la conjugación de carga no altera la quiralidad de las partículas. Este no es el caso de los campos, la diferencia que surge en la "teoría del agujero" interpretación de partículas, donde una antipartícula se interpreta como la ausencia de una partícula. Esto se articula a continuación.

Convencionalmente, $gamma _{5}$ se utiliza como operador de quiridad. Bajo control conjugación, se transforma como

{displaystyle Cgamma _{5}C^{-1}=gamma _{5}^{textsf {T}}}

o no ${displaystyle gamma _{5}^{textsf {T}}}$ iguales $gamma _{5}$ depende de la representación elegida para las matrices gamma. En la base Dirac y chiral, uno tiene que ${displaystyle gamma _{5}^{textsf {T}}=gamma _{5}}$ , mientras ${displaystyle gamma _{5}^{textsf {T}}=-gamma _{5}}$ se obtiene en la base de Mallorca. Un ejemplo de trabajo sigue.

Espinores de Weyl

Para el caso de los campos de espinores de Dirac sin masa, la quiralidad es igual a la helicidad para las soluciones de energía positiva (y menos la helicidad para las soluciones de energía negativa). Se obtiene esto escribiendo la ecuación de Dirac sin masa como

{displaystyle ipartial !!!{big /}psi =0}

Multiplying by ${displaystyle gamma ^{5}gamma ^{0}=-igamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}}$ uno obtiene

{displaystyle {epsilon _{ij}}^{m}sigma ^{ij}partial _{m}psi =gamma _{5}partial _{t}psi }

Donde ${displaystyle sigma ^{mu nu }=ileft[gamma ^{mu },gamma ^{nu }right]/2}$ es el operador de impulso angular y $epsilon _{ijk}$ es el tensor totalmente antisimétrico. Esto se puede llevar a una forma ligeramente más reconocible definiendo el operador de giro 3D ${displaystyle Sigma ^{m}equiv {epsilon _{ij}}^{m}sigma ^{ij},}$ tomar un estado de onda de avión ${displaystyle psi (x)=e^{-ikcdot x}psi (k)}$ , aplicando la restricción de la muñeca que ${displaystyle kcdot k=0}$ y normalizar el impulso para ser un vector de unidad 3D: ${displaystyle {hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$ para escribir

{displaystyle left(Sigma cdot {hat {k}}right)psi =gamma _{5}psi ~.}

Examinando lo anterior, se concluye que el impulso angular eigenstates (helicity eigenstates) corresponde a eigenstates del operador quiral. Esto permite que el campo Dirac sin masa se divida limpiamente en un par de espinas Weyl ${displaystyle psi _{text{L}}}$ y ${displaystyle psi _{text{R}},}$ cada uno satisface individualmente la ecuación de Weyl, pero con energía opuesta:

{displaystyle left(-p_{0}+sigma cdot {vec {p}}right)psi _{text{R}}=0}

{displaystyle left(p_{0}+sigma cdot {vec {p}}right)psi _{text{L}}=0}

Tenga en cuenta la libertad que uno tiene para equiparar la helicidad negativa con energía negativa, y por lo tanto la antipartícula con la partícula de la helicidad opuesta. Para ser claros, $sigma$ Aquí están las matrices Pauli, y ${displaystyle p_{mu }=ipartial _{mu }}$ es el operador de impulso.

Conjugación de carga en la base quiral

Tomando la representación de Weyl de las matrices gamma, uno puede escribir un espinor de Dirac (ahora tomado como masivo) como

{displaystyle psi ={begin{pmatrix}psi _{text{L}}\psi _{text{R}}end{pmatrix}}}

El campo dual correspondiente (antipartículas) es

{displaystyle {overline {psi }}^{textsf {T}}=left(psi ^{dagger }gamma ^{0}right)^{textsf {T}}={begin{pmatrix}0&I\I&0end{pmatrix}}{begin{pmatrix}psi _{text{L}}^{*}\psi _{text{R}}^{*}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}psi _{text{R}}^{*}\psi _{text{L}}^{*}end{pmatrix}}}

Los espinores de carga conjugada son

{displaystyle psi ^{c}={begin{pmatrix}psi _{text{L}}^{c}\psi _{text{R}}^{c}end{pmatrix}}=eta _{c}C{overline {psi }}^{textsf {T}}=eta _{c}{begin{pmatrix}-isigma ^{2}&0\0&isigma ^{2}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}psi _{text{R}}^{*}\psi _{text{L}}^{*}end{pmatrix}}=eta _{c}{begin{pmatrix}-isigma ^{2}psi _{text{R}}^{*}\isigma ^{2}psi _{text{L}}^{*}end{pmatrix}}}

donde, como antes, $eta _{c}$ es un factor de fase que se puede tomar ${displaystyle eta _{c}=1.}$ Tenga en cuenta que los estados izquierdo y derecho son intercambiados. Esto se puede restaurar con una transformación de paridad. Bajo la paridad, la espina dorsal Dirac se transforma como

{displaystyle psi left(t,{vec {x}}right)mapsto psi ^{p}left(t,{vec {x}}right)=gamma ^{0}psi left(t,-{vec {x}}right)}

Bajo cobro y paridad combinados, entonces uno tiene

{displaystyle psi left(t,{vec {x}}right)mapsto psi ^{cp}left(t,{vec {x}}right)={begin{pmatrix}psi _{text{L}}^{cp}left(t,{vec {x}}right)\psi _{text{R}}^{cp}left(t,{vec {x}}right)end{pmatrix}}=eta _{c}{begin{pmatrix}-isigma ^{2}psi _{text{L}}^{*}left(t,-{vec {x}}right)\isigma ^{2}psi _{text{R}}^{*}left(t,-{vec {x}}right)end{pmatrix}}}

Convencionalmente, uno toma ${displaystyle eta _{c}=1}$ globalmente. Véase, sin embargo, la nota que figura a continuación.

Condición de majorana

La condición de Majorana impone una restricción entre el campo y su carga conjugada, es decir, que deben ser iguales: ${displaystyle psi =psi ^{c}.}$ Esto es tal vez mejor dicho como el requisito de que la espina dorsal Majorana debe ser un eigenstat de la carga involución de la conjugación.

Hacerlo requiere algún cuidado notacional. En muchos textos discutiendo la conjugación de carga, la involución ${displaystyle psi mapsto psi ^{c}}$ no se da un nombre simbólico explícito, cuando se aplica a Soluciones de partículas individuales de la ecuación Dirac. Esto contrasta con el caso cuando el quantized field es discutido, donde un operador unitario ${mathcal {C}}$ se define (como se hace en una sección posterior, infra). Para la presente sección, que la involución sea nombrada como ${displaystyle {mathsf {C}}:psi mapsto psi ^{c}}$ así ${displaystyle {mathsf {C}}psi =psi ^{c}.}$ Tomando esto para ser un operador lineal, uno puede considerar sus eigenstates. La condición de Majorana señala uno de estos: ${displaystyle {mathsf {C}}psi =psi.}$ Sin embargo, hay dos eigenstates: ${displaystyle {mathsf {C}}psi ^{(pm)}=pm psi ^{(pm)}.}$ Continuing in the Weyl basis, as above, these eigenstates are

{displaystyle psi ^{(+)}={begin{pmatrix}psi _{text{L}}\isigma ^{2}psi _{text{L}}^{*}end{pmatrix}}}

{displaystyle psi ^{(-)}={begin{pmatrix}isigma ^{2}psi _{text{R}}^{*}\psi _{text{R}}end{pmatrix}}}

La espina dorsal de Mallorca se toma convencionalmente como sólo el eigenstat positivo, es decir, ${displaystyle psi ^{(+)}.}$ El operador chiral $gamma _{5}$ intercambia estos dos, en eso

{displaystyle gamma _{5}{mathsf {C}}=-{mathsf {C}}gamma _{5}}

Esto se verifica fácilmente por sustitución directa. Ten en cuenta que $mathsf{C}$ ¿Sí? no han tenido una representación de matriz 4×4! Más precisamente, no hay una matriz compleja de 4×4 que pueda llevar un número complejo a su complejo conjugado; esta inversión requeriría una matriz real de 8×8. La interpretación física de la conjugación compleja como conjugación de carga se hace evidente al considerar la conjugación compleja de los campos escalares, descrita en una sección posterior a continuación.

Los proyectores sobre los eigenstates quiral pueden ser escritos como ${displaystyle P_{text{L}}=left(1-gamma _{5}right)/2}$ y ${displaystyle P_{text{R}}=left(1+gamma _{5}right)/2,}$ y así lo anterior se traduce en

{displaystyle P_{text{L}}{mathsf {C}}={mathsf {C}}P_{text{R}}~.}

Esto demuestra directamente que cargar la conjugación, aplicada a soluciones complejas de partículas únicas valoradas en número de la ecuación Dirac voltea la quiridad de la solución. Los proyectores sobre la conjugación de carga eigenspaces son ${displaystyle P^{(+)}=(1+{mathsf {C}})P_{text{L}}}$ y ${displaystyle P^{(-)}=(1-{mathsf {C}})P_{text{R}}.}$

Interpretación geométrica

El factor de fase ${displaystyle eta _{c} }$ se puede dar una interpretación geométrica. Se ha observado que, para las espinas Dirac masivas, el factor de fase "arbitraria" ${displaystyle eta _{c} }$ puede depender tanto del impulso como de la helicidad (pero no de la quiridad). Esto se puede interpretar como decir que esta fase puede variar a lo largo de la fibra del paquete de espinas, dependiendo de la elección local de un marco de coordenadas. Ponga otra manera, un campo de espina dorsal es una sección local del paquete de espina dorsal, y los impulsos y rotaciones de Lorentz corresponden a movimientos a lo largo de las fibras del conjunto de marco correspondiente (de nuevo, sólo una elección del marco de coordenadas local). Examinado de esta manera, esta libertad de fase extra puede interpretarse como la fase que surge del campo electromagnético. Para las espinas de Mallorca, la fase se limitaría a no variar bajo impulsos y rotaciones.

Conjugación de carga para campos cuantificados

Lo anterior describe la conjugación de carga para las soluciones de partículas únicas. Cuando el campo Dirac es de segunda cuantificación, como en la teoría del campo cuántico, la espina y los campos electromagnéticos son descritos por los operadores. La involución de carga se manifiesta entonces como un operador unitario ${mathcal {C}}$ (en fuente caligráfica) actuando en los campos de partículas, expresados como

${displaystyle psi mapsto psi ^{c}={mathcal {C}} psi {mathcal {C}}^{dagger }=eta _{c} C {overline {psi }}^{textsf {T}}}$
${displaystyle {overline {psi }}mapsto {overline {psi }}^{c}={mathcal {C}} {overline {psi }} {mathcal {C}}^{dagger }=eta _{c}^{*} psi ^{textsf {T}} C^{-1}}$
${displaystyle A_{mu }mapsto A_{mu }^{c}={mathcal {C}} A_{mu } {mathcal {C}}^{dagger }=-A_{mu } }$

donde el no caligráfico ${displaystyle C }$ es la misma matriz 4×4 dada antes.

Inversión de carga en la teoría electrodébil

La conjugación de carga no altera la quiralidad de las partículas. Un neutrino zurdo sería tomado por conjugación de carga en un antineutrino zurdo, que no interactúa en el Modelo Estándar. Esta propiedad es lo que significa la "violación máxima" de C-simetría en la interacción débil.

Algunas extensiones postuladas del modelo estándar, como los modelos de izquierda a derecha, restauran esta simetría C.

Campos escalares

El campo Dirac tiene un "hidden" $U(1)$ libertad de calibre, permitiéndole acoplar directamente al campo electromagnético sin ninguna modificación adicional a la ecuación Dirac o al campo mismo. Este no es el caso de los campos de escalar, que debe ser explícitamente "complejo" a la pareja al electromagnetismo. Esto se hace por "tensoring in" un factor adicional del plano complejo $mathbb {C}$ en el campo, o construir un producto cartesiano con $U(1)$ .

Una técnica muy convencional es simplemente empezar con dos campos de escalar reales, $phi$ y $chi$ y crear una combinación lineal

{displaystyle psi mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} {phi +ichi over {sqrt {2}}}}

La involución de carga es entonces la cartografía ${displaystyle {mathsf {C}}:imapsto -i}$ ya que esto es suficiente para revertir el signo en el potencial electromagnético (ya que este número complejo se está utilizando para combinarlo). Para campos de escalar reales, la conjugación de carga es sólo el mapa de identidad: ${displaystyle {mathsf {C}}:phi mapsto phi }$ y ${displaystyle {mathsf {C}}:chi mapsto chi }$ y así, para el campo complejo, la conjugación de carga es sólo ${displaystyle {mathsf {C}}:psi mapsto psi ^{*}.}$ La flecha "mapsto" $mapsto$ es conveniente para rastrear "qué va donde"; la notación mayor equivalente es simplemente para escribir ${displaystyle {mathsf {C}}phi =phi }$ y ${displaystyle {mathsf {C}}chi =chi }$ y ${displaystyle {mathsf {C}}psi =psi ^{*}.}$

Lo anterior describe la construcción convencional de un campo de escalar cargado. También es posible introducir la estructura algebraica adicional en los campos de otras maneras. En particular, se puede definir un campo "real" comportándose como ${displaystyle {mathsf {C}}:phi mapsto -phi }$ . Como es real, no puede combinarse con el electromagnetismo por sí mismo, pero, cuando se complejo, resultaría en un campo cargado que se transforma como ${displaystyle {mathsf {C}}:psi mapsto -psi ^{*}.}$ Debido a que la simetría C es una simetría discreta, uno tiene cierta libertad para jugar estos tipos de juegos algebraicos en la búsqueda de una teoría que modela correctamente algunas realidad física dada.

En la literatura física, una transformación como ${displaystyle {mathsf {C}}:phi mapsto phi ^{c}=-phi }$ puede ser escrito sin ninguna explicación adicional. La interpretación matemática formal de esto es que el campo $phi$ es un elemento ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {Z} _{2}}$ Donde ${displaystyle mathbb {Z} _{2}={+1,-1}.}$ Así, correctamente hablando, el campo debe ser escrito como ${displaystyle phi =(r,c)}$ que se comporta bajo control conjugación como ${displaystyle {mathsf {C}}:(r,c)mapsto (r,-c).}$ Es muy tentador, pero no formalmente correcto multiplicarlos, moverse alrededor de la ubicación de este signo de menos; esto en su mayoría "sólo funciona", pero un fracaso para rastrearlo adecuadamente llevará a confusión.

Combinación de carga e inversión de paridad

Durante algún tiempo se creyó que la simetría C podía combinarse con la transformación de inversión de paridad (ver simetría P) para preservar una simetría CP combinada. Sin embargo, se han identificado violaciones de esta simetría en las interacciones débiles (particularmente en los kaones y mesones B). En el Modelo Estándar, esta violación de CP se debe a una sola fase en la matriz CKM. Si CP se combina con inversión de tiempo (simetría T), la simetría CPT resultante se puede mostrar usando solo los axiomas de Wightman para que se obedezca universalmente.

En la configuración general

El análogo de la conjugación de carga se puede definir para matrices gamma de mayor dimensión, con una construcción explícita para los espinores de Weyl que se proporciona en el artículo sobre matrices de Weyl-Brauer. Tenga en cuenta, sin embargo, que los espinores, tal como se definen de manera abstracta en la teoría de la representación de las álgebras de Clifford, no son campos; más bien, se debe pensar que existen en un espacio-tiempo de dimensión cero.

El análogo de la simetría T sigue de ${displaystyle gamma ^{1}gamma ^{3}}$ como el operador de T-conjugación para las espinas Dirac. Las espinas también tienen una simetría P inherente, obtenida revertiendo la dirección de todos los vectores de base del álgebra Clifford del cual se construyen las espinas. La relación con las simetrías P y T para un campo de fermión en un manifold espacio es un poco sutil, pero se puede caracterizar aproximadamente como sigue. Cuando una espina dorsal se construye a través de un álgebra Clifford, la construcción requiere un espacio vectorial en el que construir. Por convención, este espacio vectorial es el espacio tangente del manifold espacio en un punto espacio fijo dado (una sola fibra en el manifold tangente). Las operaciones P y T aplicadas a la plataforma espacial se pueden entender también como voltear las coordenadas del espacio tangente; por lo tanto, los dos están pegados juntos. Flipping the parity or the direction of time in one also flips it in the other. Es una convención. Uno puede desencolarse al no propagar esta conexión.

Esto se hace tomando el espacio tangente como un espacio vectorial, extendiéndolo a un álgebra tensorial y luego usando un producto interno en el espacio vectorial para definir un álgebra de Clifford. Al tratar cada álgebra como una fibra, se obtiene un haz de fibras llamado haz de Clifford. Bajo un cambio de base del espacio tangente, los elementos del álgebra de Clifford se transforman según el grupo de espín. La construcción de un haz de fibras principal con el grupo de espín como resultado de la fibra es una estructura de espín.

Todo lo que falta en los párrafos anteriores son los propios espinores. Estos requieren la "complejización" de la variedad tangente: tensorándola con el plano complejo. Una vez hecho esto, se pueden construir los espinores de Weyl. Estos tienen la forma

{displaystyle w_{j}={frac {1}{sqrt {2}}}left(e_{2j}-ie_{2j+1}right)}

Donde $e_{j}$ son los vectores base para el espacio vectorial ${displaystyle V=T_{p}M}$ , el espacio tangente en el punto $pin M$ en el vehículo espacial ${displaystyle M.}$ Las espinas Weyl, junto con sus complejos conjugados abarcan el espacio tangente, en el sentido de que

{displaystyle Votimes mathbb {C} =Woplus {overline {W}}}

El álgebra alterna ${displaystyle wedge W}$ se llama el espacio de la espina dorsal, es donde viven las espinas, así como productos de espinas (por ejemplo, objetos con valores de giro más altos, incluyendo vectores y tensores).

Tomar una pausa; esta sección debería ampliar las siguientes declaraciones:

Obstrucción a la construcción de estructuras de spin es Stiefel-Whitney class

w

₂

Conjugación compleja intercambia las dos espinas

Los operadores de Dirac pueden definir ese cuadrado al Laplacian, es decir, el cuadrado de la conexión Levi-Civita (más curvatura de escalar más curvatura del paquete de línea)

la curvatura del paquete de línea es explícitamente

F = dA

ergo debe ser E

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