C*-álgebra

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Espacio vectorial complejo topológico

En matemáticas, específicamente en análisis funcional, un C^∗-álgebra (pronunciado "C-star") es un álgebra de Banach junto con un involución que satisface las propiedades del adjunto. Un caso particular es el de un álgebra compleja A de operadores lineales continuos sobre un espacio complejo de Hilbert con dos propiedades adicionales:

A es un conjunto cerrado topológicamente en la topología de la norma de los operadores.
A está cerrado bajo el funcionamiento de la toma de adjoints de operadores.

Otra clase importante de álgebras no Hilbert C* incluye el álgebra $C_0(X)$ de funciones continuas de valor complejo X que desaparecen en el infinito, donde X es un espacio Hausdorff compacto localmente.

Las álgebras C* se consideraron por primera vez principalmente por su uso en la mecánica cuántica para modelar álgebras de observables físicos. Esta línea de investigación comenzó con la mecánica matricial de Werner Heisenberg y, de una forma más matemáticamente desarrollada, con Pascual Jordan alrededor de 1933. Posteriormente, John von Neumann intentó establecer un marco general para estas álgebras, que culminó en una serie de artículos sobre anillos de operadores. Estos documentos consideraron una clase especial de C*-álgebras que ahora se conocen como álgebras de von Neumann.

Alrededor de 1943, el trabajo de Israel Gelfand y Mark Naimark produjo una caracterización abstracta de las C*-álgebras sin hacer referencia a los operadores en un espacio de Hilbert.

Las álgebras C* son ahora una herramienta importante en la teoría de las representaciones unitarias de grupos localmente compactos y también se utilizan en formulaciones algebraicas de la mecánica cuántica. Otra área activa de investigación es el programa para obtener clasificación, o para determinar el grado de clasificación posible, para C*-álgebras nucleares simples separables.

Caracterización abstracta

Comenzamos con la caracterización abstracta de C*-álgebras dada en el artículo de 1943 de Gelfand y Naimark.

A C*-algebra, A, es un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos, junto con un mapa ${textstyle xmapsto x^{*}}$ para ${textstyle xin A}$ con las siguientes propiedades:

Es una involución, por cada x dentro A:

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

Para todos x, Sí. dentro A:

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

Para cada número complejo λ en C y todos x dentro A:

(lambda x)^{*}={overline {lambda }}x^{*}.

Para todos x dentro A:

|x^{*}x|=|x||x^{*}|.

Observación. Las primeras tres identidades dicen que A es un *-álgebra. La última identidad se denomina identidad C* y es equivalente a:

$|xx^{*}|=|x|^{2},$

que a veces se denomina identidad B*. Para conocer la historia detrás de los nombres C*- y B*-álgebras, consulte la sección de historia a continuación.

La identidad C* es un requisito muy estricto. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral, implica que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica:

|x|^{2}=|x^{*}x|=sup{|lambda |:x^{*}x-lambda ,1{text{ is not invertible}}}.

Un mapa lineal acotado, π: A → B, entre C*-álgebras A y B se llama un *-homomorfismo si

Para x y Sí. dentro A

pi (xy)=pi (x)pi (y),

Para x dentro A

pi (x^{*})=pi (x)^{*},

En el caso de C*-álgebras, cualquier *-homomorfismo π entre C*-álgebras es contractivo, es decir, acotado con norma ≤ 1. Además, un *-homomorfismo inyectivo entre C*- álgebras es isométrica. Estas son consecuencias de la identidad C*.

Un homomorfismo * biyectivo π se llama un isomorfismo C*, en cuyo caso A y B se dice que son isomorfos.

Algo de historia: B-álgebras y C-álgebras

El término B*-álgebra fue introducido por C. E. Rickart en 1946 para describir las *-álgebras de Banach que satisfacen la condición:

$lVert xx^{*}rVert =lVert xrVert ^{2}$ para todos x en el álgebra dada B*. (B*-condición)

Esta condición implica automáticamente que la *-involución es isométrica, es decir, ${displaystyle lVert xrVert =lVert x^{*}rVert }$ . Por lo tanto, ${displaystyle lVert xx^{*}rVert =lVert xrVert lVert x^{*}rVert }$ , y por lo tanto, un B*-álgebra es también un C*-álgebra. Por el contrario, la condición C* implica la condición B*. Esto no estrivial, y se puede probar sin usar la condición ${displaystyle lVert xrVert =lVert x^{*}rVert }$ . Por estas razones, el término B*-álgebra rara vez se utiliza en la terminología actual, y ha sido reemplazado por el término 'C*-álgebra'.

El término C*-álgebra fue introducido por I. E. Segal en 1947 para describir las subálgebras cerradas por normas de B(H), es decir, el espacio de operadores acotados en algún espacio de Hilbert H. 'C' significaba 'cerrado'. En su artículo, Segal define un álgebra C* como un "álgebra autoadjunta uniformemente cerrada de operadores acotados en un espacio de Hilbert".

Estructura de C*-álgebras

Las álgebras C* tienen una gran cantidad de propiedades que son técnicamente convenientes. Algunas de estas propiedades se pueden establecer usando el cálculo funcional continuo o por reducción a C*-álgebras conmutativas. En este último caso, podemos aprovechar el hecho de que la estructura de estos está completamente determinada por el isomorfismo de Gelfand.

Elementos autoadjuntos

Los elementos unidos son los de la forma ${displaystyle x=x^{*}}$ . El conjunto de elementos de un álgebra C* A de la forma ${displaystyle x^{*}x}$ forma un cono convexo cerrado. Este cono es idéntico a los elementos de la forma ${displaystyle xx^{*}}$ . Los elementos de este cono se llaman no negativo (o a veces positivo, a pesar de que esta terminología choca con su uso para elementos de R)

El conjunto de elementos autoadjuntos de un álgebra C* A naturalmente tiene la estructura de un espacio vectorial parcialmente ordenado; el orden generalmente se denota ${displaystyle geq }$ . En este orden, un elemento autoadjunto $xin A$ satisfizo ${displaystyle xgeq 0}$ si y sólo si el espectro de $x$ es no negativo, si y sólo si ${displaystyle x=s^{*}s}$ para algunos ${displaystyle sin A}$ . Dos elementos autoadjuntos $x$ y $y$ de A satisfacer satisfacción $xgeq y$ si ${displaystyle x-ygeq 0}$ .

Este subespacio parcialmente ordenado permite la definición de un funcional lineal positivo en un álgebra C*, que a su vez se usa para definir los estados de un álgebra C*, que a su vez se puede usar para construir el espectro de un C*-álgebra utilizando la construcción GNS.

Cocientes e identidades aproximadas

Cualquier C*-álgebra A tiene una identidad aproximada. De hecho, existe una familia dirigida {e_λ}_λ∈I de elementos autoadjuntos de A tal que

xe_{lambda }rightarrow x

0leq e_{lambda }leq e_{mu }leq 1quad {mbox{ whenever }}lambda leq mu.

En caso A es separable, A tiene una identidad aproximada secuencial. Más generalmente, A tendrá una identidad aproximada secuencial si y sólo si A contiene a elemento estrictamente positivo, es decir, un elemento positivo h tales que hAh es denso en A.

Usando identidades aproximadas, se puede demostrar que el cociente algebraico de un álgebra C* por un ideal cerrado propio de dos colas, con la norma natural, es un álgebra C*.

Del mismo modo, un ideal cerrado de dos colas de un álgebra C* es en sí mismo un álgebra C*.

Ejemplos

C*-álgebras de dimensión finita

El álgebra M(n, C) de matrices n × n sobre C se convierte en un C*-álgebra si consideramos las matrices como operadores en el espacio euclidiano, Cⁿ, y usamos la norma del operador | |·|| sobre matrices. La involución viene dada por la transpuesta conjugada. De manera más general, se pueden considerar sumas directas finitas de álgebras de matrices. De hecho, todas las C*-álgebras que son de dimensión finita como espacios vectoriales tienen esta forma, excepto el isomorfismo. El requisito autoadjunto significa que las C*-álgebras de dimensión finita son semisimples, de lo que se puede deducir el siguiente teorema de tipo Artin-Wedderburn:

Teorema. A finite-dimensional C*-Álgebra, A, es canónicamente isomorfo a una suma directa finita
$A=bigoplus _{ein min A}Ae$
Donde min A es el conjunto de proyecciones centrales mínimas de autoadjunción no cero A.

Cada álgebra C*, Ae, es isomorfa (de forma no canónica) al álgebra matricial completa M(dim(e), C). La familia finita indexada en min A dada por {dim(e)}_e se llama vector de dimensión de A. Este vector determina de forma única la clase de isomorfismo de un álgebra C* de dimensión finita. En el lenguaje de la teoría K, este vector es el cono positivo del grupo K₀ de A.

Un †-álgebra (o, más explícitamente, un †-álgebra cerrada) es el nombre que se usa ocasionalmente en física para un C*-álgebra de dimensión finita. La daga, †, se usa en el nombre porque los físicos suelen usar el símbolo para denotar un adjunto hermitiano y, a menudo, no les preocupan las sutilezas asociadas con un número infinito de dimensiones. (Los matemáticos suelen utilizar el asterisco, *, para indicar el adjunto hermitiano). Las †-álgebras ocupan un lugar destacado en la mecánica cuántica, y especialmente en la ciencia de la información cuántica.

Una generalización inmediata de las C*-álgebras de dimensión finita son las C*-álgebras de dimensión aproximadamente finita.

C * -álgebras de operadoras

(feminine)

El ejemplo prototípico de un álgebra C* es el álgebra B(H) de operadores lineales acotados (equivalentemente continuos) definidos en un espacio complejo de Hilbert H; aquí x* denota el operador adjunto del operador x: H → H. De hecho, cada C*-álgebra, A, es *-isomorfa a una subálgebra cerrada adjunta cerrada por norma de B(H) para un espacio de Hilbert adecuado, H; este es el contenido del teorema de Gelfand-Naimark.

C*-álgebras de operadores compactos

Sea H un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. El álgebra K(H) de operadores compactos sobre H es una norma subálgebra cerrada de B( H). También está cerrado por involución; por lo tanto, es un C*-álgebra.

Las C*-álgebras concretas de operadores compactos admiten una caracterización similar al teorema de Wedderburn para las C*-álgebras de dimensión finita:

Teorema. Si A es un C*-subalgebra de K()H), entonces existe Hilbert espacios {H_i}_i▪I tales que
$Acong bigoplus _{iin I}K(H_{i}),$
donde la suma (C*-)directa consta de elementos (T_i) del producto cartesiano K()H_i) con SilencioT_iSilencioso → 0.

Aunque K(H) no tiene un elemento de identidad, una identidad secuencial aproximada para K(H) puede ser desarrollado. Para ser específicos, H es isomorfo al espacio de secuencias cuadradas sumables l²; podemos asumir que H = l². Para cada número natural n sea H_n el subespacio de secuencias de l² que desaparecen para los índices k ≥ n y sea e_n la proyección ortogonal sobre H_n. La secuencia {e_n}_n es una identidad aproximada para K(H).

K(H) es un ideal cerrado de dos colas de B(H). Para espacios separables de Hilbert, es el único ideal. El cociente de B(H) por K(H) es el álgebra de Calkin.

C*-álgebras conmutativas

Vamos X ser un espacio Hausdorff compacto localmente. El espacio $C_0(X)$ de funciones continuas de valor complejo X que desaparecer en el infinito (definido en el artículo sobre la compactidad local) forma un álgebra C* conmutativa $C_0(X)$ debajo de la multiplicación y adición del punto. La involución es una conjugación de sentido. $C_0(X)$ tiene un elemento de unidad multiplicativa si y sólo si $X$ es compacto. Como cualquier C*-Álgebra, $C_0(X)$ tiene una identidad aproximada. En el caso de $C_0(X)$ esto es inmediato: considerar el conjunto dirigido de subconjuntos compactos de $X$ , y para cada compacto $K$ Deja ${displaystyle f_{K}}$ ser una función de soporte compacto que es idéntico 1 en $K$ . Tales funciones existen por el teorema de extensión Tietze, que se aplica a espacios Hausdorff compactos localmente. Cualquier secuencia de funciones ${displaystyle {f_{K}}}$ es una identidad aproximada.

La representación de Gelfand indica que cada álgebra C* conmutativa es *-isomorfa al álgebra $C_0(X)$ , donde $X$ es el espacio de personajes equipados con la débil* topología. Además, si $C_0(X)$ es isomorfo a ${displaystyle C_{0}(Y)}$ como C*-álgebras, sigue que $X$ y $Y$ son homeomorfos. Esta caracterización es una de las motivaciones para los programas de topología nomutativa y geometría no transmutante.

Álgebra envolvente C*

Dada una *-álgebra de Banach A con una identidad aproximada, existe una C*-álgebra única (hasta el isomorfismo C*) E( A) y *-morfismo π de A a E(A) que es universal, es decir, cualquier otro continuo * -morfismo π ': A → B factores únicamente a través de π. El álgebra E(A) se llama el álgebra envolvente C* del álgebra *-álgebra de Banach A.

De particular importancia es el C*-álgebra de un grupo G localmente compacto. Esto se define como el álgebra C* envolvente del álgebra de grupos de G. El álgebra C* de G proporciona contexto para el análisis armónico general de G en el caso de que G no sea abeliano. En particular, el dual de un grupo localmente compacto se define como el espacio ideal primitivo del grupo C*-álgebra. Ver espectro de un C*-álgebra.

Álgebras de Von Neumann

Las álgebras de Von Neumann, conocidas como álgebras W* antes de la década de 1960, son un tipo especial de álgebra C*. Deben estar cerrados en la topología de operador débil, que es más débil que la topología estándar.

El teorema de Sherman-Takeda implica que cualquier álgebra C* tiene un álgebra W* envolvente universal, de modo que cualquier homomorfismo a un álgebra W* se factoriza a través de ella.

Tipo para C*-álgebras

Un álgebra C* A es de tipo I si y solo si para todas las representaciones no degeneradas π de A el álgebra de von Neumann π(A)'' (es decir, el bicommutante de π(A)) es un álgebra de von Neumann de tipo I. De hecho, es suficiente considerar solo representaciones factoriales, es decir, representaciones π para las cuales π(A)'' es un factor.

Se dice que un grupo localmente compacto es de tipo I si y solo si su grupo C*-álgebra es de tipo I.

Sin embargo, si un álgebra C* tiene representaciones que no son de tipo I, entonces, según los resultados de James Glimm, también tiene representaciones de tipo II y tipo III. Por lo tanto, para C*-álgebras y grupos localmente compactos, solo tiene sentido hablar de propiedades de tipo I y no tipo I.

C*-álgebras y teoría cuántica de campos

En la mecánica cuántica, normalmente se describe un sistema físico con un C*-álgebra A con elemento unidad; los elementos autoadjuntos de A (elementos x con x* = x) se consideran como observables, las cantidades medibles, del sistema. Un estado del sistema se define como un funcional positivo en A (un C-mapa lineal φ: A → C con φ(u*u) ≥ 0 para todo u ∈ A) tal que φ(1) = 1. El valor esperado del observable x, si el sistema está en estado φ, es entonces φ(x).

Este enfoque de álgebra C* se utiliza en la axiomatización de Haag-Kastler de la teoría cuántica de campo local, donde cada conjunto abierto de espacio-tiempo de Minkowski está asociado con un álgebra C*.

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