Brahmagupta

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matemático y astrónomo indio (598-668)

Brahmagupta (c. 598 – c. 668 EC) fue un matemático y astrónomo indio. Es autor de dos primeros trabajos sobre matemáticas y astronomía: el Brāhmasphutasiddhānta (BSS, "doctrina de Brahma correctamente establecida", con fecha de 628), un tratado teórico, y el Khaṇḍakhādyaka ("mordisco comestible", fechado en 665), un texto más práctico.

En 628 EC, Brahmagupta describió por primera vez la gravedad como una fuerza atractiva y utilizó el término "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" en sánscrito para describirlo.

Vida y carrera

Brahmagupta, según su propia declaración, nació en 598 CE. Nacido en Bhillamāla en Gurjaradesa (actual Bhinmal en Rajasthan, India) durante el reinado del gobernante de la dinastía Chavda Vyagrahamukha, sus antepasados probablemente eran de Sindh. Era hijo de Jishnugupta y era hindú por religión, en particular, Shaivita. Allí vivió y trabajó buena parte de su vida. Prithudaka Svamin, un comentarista posterior, lo llamó Bhillamalacharya, el maestro de Bhillamala.

Bhillamala fue la capital de Gurjaradesa, el segundo reino más grande de la India occidental, que comprende el sur de Rajastán y el norte de Gujarat en la India actual. También fue un centro de aprendizaje de matemáticas y astronomía. Se convirtió en astrónomo de la escuela Brahmapaksha, una de las cuatro principales escuelas de astronomía india durante este período. Estudió los cinco Siddhantas tradicionales de la astronomía india, así como el trabajo de otros astrónomos, incluidos Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin y Vishnuchandra.

En el año 628, a la edad de 30 años, compuso el Brāhmasphuṭasiddhānta ("tratado mejorado de Brahma") que se cree que es una versión revisada del Siddhanta de la escuela de astronomía Brahmapaksha. Los estudiosos afirman que incorporó una gran cantidad de originalidad en su revisión, agregando una cantidad considerable de material nuevo. El libro consta de 24 capítulos con 1008 versos en la métrica ārya. Una buena parte es astronomía, pero también contiene capítulos clave sobre matemáticas, que incluyen álgebra, geometría, trigonometría y algoritmia, que se cree que contienen nuevos conocimientos gracias al propio Brahmagupta.

Más tarde, Brahmagupta se mudó a Ujjaini, Avanti, un importante centro de astronomía en el centro de la India. A la edad de 67 años, compuso su siguiente obra conocida Khanda-khādyaka, un manual práctico de astronomía india en la categoría karana destinado a ser utilizado por estudiantes.

Brahmagupta murió en 668 d. C. y se presume que murió en Ujjain.

Obras

Brahmagupta compuso los siguientes tratados:

Brāhmasphuijkasiddhānta, compuesto en 628 CE.
Khanu, compuesto en 665 CE.
Grahaārkajñāna, (atribuido en un manuscrito)

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Receptor

Los avances matemáticos de Brahmagupta fueron continuados por Bhāskara II, un descendiente directo de Ujjain, quien describió a Brahmagupta como el ganaka-chakra-chudamani (la joya del círculo de matemáticos). Prithudaka Svamin escribió comentarios sobre sus dos obras, traduciendo versos difíciles a un lenguaje más simple y agregando ilustraciones. Lalla y Bhattotpala en los siglos VIII y IX escribieron comentarios sobre el Khanda-khadyaka. Se siguieron escribiendo más comentarios hasta el siglo XII.

Pocas décadas después de la muerte de Brahmagupta, Sindh quedó bajo el califato árabe en 712 EC. Se enviaron expediciones a Gurjaradesa ("Al-Baylaman en Jurz", según los historiadores árabes). El reino de Bhillamala parece haber sido aniquilado pero Ujjain rechazó los ataques. La corte del califa Al-Mansur (754–775) recibió una embajada de Sindh, incluido un astrólogo llamado Kanaka, que trajo (posiblemente memorizados) textos astronómicos, incluidos los de Brahmagupta. Los textos de Brahmagupta fueron traducidos al árabe por Muhammad al-Fazari, un astrónomo de la corte de Al-Mansur, bajo los nombres Sinhind y Arakhand. Un resultado inmediato fue la difusión del sistema numérico decimal utilizado en los textos. El matemático Al-Khwarizmi (800–850 EC) escribió un texto llamado al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Suma y resta en la aritmética india), que fue traducido al latín en el Siglo XIII como Algorithmi de numero indorum. A través de estos textos, el sistema numérico decimal y los algoritmos aritméticos de Brahmagupta se han extendido por todo el mundo. Al-Khwarizmi también escribió su propia versión de sindhind, basándose en la versión de Al-Fazari e incorporando elementos ptolemaicos. El material astronómico indio circuló ampliamente durante siglos, llegando incluso a los textos latinos medievales.

El historiador de la ciencia George Sarton llamó a Brahmagupta "uno de los más grandes científicos de su raza y el más grande de su tiempo".

Matemáticas

Álgebra

Brahmagupta dio la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphutasiddhānta,

La diferencia entre rupias, cuando invertido y dividido por la diferencia de los [coeficientes] de los [no conocidos], es lo desconocido en la ecuación. El rupias son [subtracted on the side] below that from which the square and the unknown are to be subtracted.

que es una solución para la ecuación $bx + c = dx + e$ donde rupas se refiere a las constantes $c$ y $e$ . La solución dada es equivalente a $x = e - c / b - d$ .

Además, dio dos soluciones equivalentes a la ecuación cuadrática general

18.44. Diminish by the middle [number] the square-root of the rupias multiplicado por cuatro veces el cuadrado y aumentado por el cuadrado del medio [número]; dividir el resto por dos veces el cuadrado. [El resultado es] el medio [número].
18.45. Lo que sea la raíz cuadrada de la rupias multiplicado por la plaza [y] aumentado por la plaza de la mitad de lo desconocido, disminuyó que por la mitad de lo desconocido [y] dividir [el resto] por su cuadrado. [El resultado es] lo desconocido.

que son, respectivamente, soluciones para la ecuación $ax 2 + bx = c$ equivalente a,

{displaystyle x={frac {pm {sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}

{displaystyle x={frac {pm {sqrt {ac+{tfrac {b^{2}}{4}}}}-{tfrac {b}{2}}}{a}}}

Luego, resolvió sistemas de ecuaciones indeterminadas simultáneas y estableció que primero se debe aislar la variable deseada y luego dividir la ecuación por el coeficiente de la variable deseada. En particular, recomendó usar "el pulverizador" para resolver ecuaciones con múltiples incógnitas.

18.51. Subir los colores diferentes del primer color. [El resto] dividido por el primer [coeficiente de color] es la medida del primero. [Términos] dos por dos [se consideran] [cuando se reducen a] divisores similares, [y así sucesivamente] repetidamente. Si hay muchos [colores], el pulverizador [es para ser utilizado].

Al igual que el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta era sincopada. La suma se indicaba colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa, si es que la hubo, y es posible que tanto la síncopa griega como la india se deriven de una fuente babilónica común.

Aritmética

Las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) eran conocidas por muchas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema actual se basa en el sistema numérico hindú-árabe y apareció por primera vez en el Brāhmasphuṭasiddhānta. Brahmagupta describe la multiplicación de la siguiente manera:

La multiplicación se repite como una cadena para ganado, tan a menudo como hay porciones de componentes en el multiplicador y se multiplica repetidamente por ellos y los productos se agregan juntos. Es multiplicación. O la multiplicación se repite tantas veces como hay partes componentes en el multiplicador.

La aritmética india se conocía en la Europa medieval como modus Indorum, que significa "método de los indios". En el Brāhmasphuṭasiddhānta, se describen cuatro métodos de multiplicación, incluido gomūtrikā, que se dice que está cerca de los métodos actuales. Al principio del capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta, titulado "Cálculo", también detalla operaciones con fracciones. Se espera que el lector conozca las operaciones aritméticas básicas hasta sacar la raíz cuadrada, aunque explica cómo encontrar el cubo y la raíz cúbica de un número entero y luego da reglas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. Luego da reglas para tratar con cinco tipos de combinaciones de fracciones: $a / c + b / c$ ; $a / c \times b / d$ ; $a / 1 + b / d; a / c + b / d \times a //span> c = a (d + b) / cd; y a / c - b / d \times a / c = a (d - b) / cd .$

Cuadrados y Cubos

Did you mean:

Brahmagupta then goes on to give the sum of the squares and cubes of the first <in integers.

12.20. La suma de los cuadrados es que [sum] multiplicado por dos veces el [número de] paso[s] aumentado por uno [y] dividido por tres. La suma de los cubos es la plaza de ese [sum] Pilas de estas con bolas idénticas [también se puede computed].

Aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de la suma de los primeros $n$ enteros, en lugar de en términos de $n$ como es la práctica moderna.

Da la suma de los cuadrados de los primeros $n$ números naturales como $n (n + 1)(2 n + 1) / 6$ y la suma de los cubos de los primeros n naturales números como $(n (n + 1) / 2) 2$ .

Cero

El Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que proporciona reglas para las manipulaciones aritméticas que se aplican al cero y a los números negativos. El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata el cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente un dígito de marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo por falta de cantidad. como lo hicieron Ptolomeo y los romanos. En el capítulo dieciocho de su Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta describe operaciones con números negativos. Primero describe la suma y la resta,

18.30. [La suma] de dos positivos es positiva, de dos negativos negativos negativos; de un positivo y negativo [la suma] es su diferencia; si son iguales es cero. La suma de un negativo y cero es negativa, [que] de un positivo positivo y cero, [y el] de dos ceros cero.
[...]
18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo [menos cero] es positivo; cero [menos cero] es cero. Cuando un positivo debe ser restado de un negativo o un negativo de un positivo, entonces debe ser añadido.

Continúa describiendo la multiplicación,

18.33. El producto de un negativo y positivo es negativo, de dos negativos positivos, y de positivos positivos; el producto de cero y negativo, de cero y positivo, o de dos ceros es cero.

Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:

18.34. Un positivo dividido por un positivo o un negativo dividido por un negativo es positivo; un cero dividido por cero es cero; un positivo dividido por un negativo es negativo; un negativo dividido por un positivo es [también] negativo.
18.35. Un negativo o un positivo dividido por cero tiene que [cero] como su divisor, o cero dividido por un negativo o un positivo [tiene ese negativo o positivo como su divisor]. El cuadrado de un negativo o positivo es positivo; [el cuadrado] de cero es cero. La de la cual [la plaza] es la raíz cuadrada.

Aquí Brahmagupta establece que 0/0 = 0 y en cuanto a la cuestión de $a$ /0 donde $a$ ≠ 0 no se comprometió. Sus reglas para la aritmética sobre los números negativos y el cero están bastante cerca de la comprensión moderna, excepto que en las matemáticas modernas la división por cero no está definida.

Análisis diofántico

Trillizos pitagóricos

En el capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar ternas pitagóricas:

12.39. La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando se divide por el multiplicador aumentado por dos es el salto de uno de los dos que hacen el mismo viaje.

O, en otras palabras, si $d = mx / x + 2$ , luego un viajero que "salta" verticalmente hacia arriba a una distancia $d$ desde la cima de una montaña de altura $m$ , y luego viaja en línea recta a una ciudad a una distancia horizontal $mx$ desde la base de la montaña, viaja la misma distancia que uno que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja a lo largo de la horizontal a la ciudad. Expresado geométricamente, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud $a = mx$ y una altura de longitud $b = m + d$ , luego la longitud, $c$ , de su hipotenusa está dada por $c = m (1 + x) - d$ . Y, de hecho, la manipulación algebraica elemental muestra que $a 2 + b 2 = c 2$ siempre que $d$ tenga el valor indicado. Además, si $m$ y $x$ son racionales, también lo son d, a, b y $c$ . Por lo tanto, se puede obtener una terna pitagórica de $a$ , $b$ y $c$ multiplicando cada uno de ellos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores.

Did you mean:

Pell 's equation

Brahmagupta continuó dando una relación de recurrencia para generar soluciones a ciertas instancias de ecuaciones diofánticas de segundo grado como $Nx 2 + 1 = y 2$ (llamada ecuación de Pell) usando el algoritmo euclidiano. El algoritmo euclidiano era conocido por él como el "pulverizador" ya que descompone los números en partes cada vez más pequeñas.

La naturaleza de los cuadrados:
18.64. [Arriba] dos veces la raíz cuadrada de un cuadrado dado por un multiplicador y aumentado o disminuido por un [número] arbitrario. El producto del primer [pair], multiplicado por el multiplicador, con el producto del último [pair], es el último calculado.
18.65. La suma de los productos del rayo es la primera. El aditivo es igual al producto de los aditivos. Las dos bases cuadradas, divididas por el aditivo o el subtractivo, son el aditivo rupias.

La clave de su solución fue la identidad,

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}

que es una generalización de una identidad descubierta por Diofanto,

(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.

Usando su identidad y el hecho de que si $(x 1, y 1)$ y $(x 2, y 2)$ son soluciones a las ecuaciones $x 2 - Ny 2 = k 1$ y $x 2 - Ny 2 = k 2$ , respectivamente, luego $(x 1 x 2 + Ny 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1)$ es una solución para $x 2 - Ny 2 = k 1 k 2$ , fue capaz de encontrar soluciones integrales a la ecuación de Pell a través de una serie de ecuaciones de la forma $x 2 - Ny 2 = k i . Brahmagupta no pudo aplicar su solución de manera uniforme para todos los valores posibles de N, sino que solo pudo demostrar que si x 2 - Ny 2 = k tiene un solución entera para k = \pm1, \pm2 o \pm4, luego x 2 - Ny 2 = 1 tiene una solución. La solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar a Bhāskara II en c. 1150 EC.$

Geometría

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Brahmagupta 's formula

El resultado más famoso de Brahmagupta en geometría es su fórmula para los cuadriláteros cíclicos. Dadas las longitudes de los lados de cualquier cuadrilátero cíclico, Brahmagupta dio una fórmula aproximada y exacta para el área de la figura,

12.21. El área aproximada es el producto de las mitades de las sumas de los lados y los lados opuestos de un triángulo y un cuadrilátero. La [rea] exacta es la raíz cuadrada del producto de las mitades de las sumas de los lados disminuido por [cada] lado del cuadrilátero.

Dadas las longitudes $p$ , $q$ , $r$ y $s$ de un cuadrilátero cíclico, el área aproximada es $p + r / 2 \cdot q + s / 2$ while, dejando $t = p + q + r + s/2$ , el área exacta es

\sqrt () t - p) t - q) t - r) t - s)

Aunque Brahmagupta no establece explícitamente que estos cuadriláteros sean cíclicos, es evidente a partir de sus reglas que este es el caso. La fórmula de Heron es un caso especial de esta fórmula y se puede derivar igualando uno de los lados a cero.

Triángulos

Did you mean:

Brahmagupta dedicated a substantial portion of his work to geometry. One theorem gives the lengths of the two segments a triangle 's base is divided into by its altitude:

12.22. La base disminuyó y aumentó por la diferencia entre los cuadrados de los lados divididos por la base; cuando divididos por dos son los segmentos verdaderos. El perpendicular [altitud] es la raíz cuadrada de la plaza de un lado disminuido por la plaza de su segmento.

Por lo tanto, las longitudes de los dos segmentos son $1 / 2 (b \pm c 2 - a 2 / b)$ .

Además da un teorema sobre triángulos racionales. Un triángulo con lados racionales $a$ , $b$ , $c$ y el área racional es de la forma:

a={frac {1}{2}}left({frac {u^{2}}{v}}+vright), b={frac {1}{2}}left({frac {u^{2}}{w}}+wright), c={frac {1}{2}}left({frac {u^{2}}{v}}-v+{frac {u^{2}}{w}}-wright)

Did you mean:

for some rational numbers u, v, and $w$ .

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Brahmagupta 's theorem

Brahmagupta continúa,

12.23. La raíz cuadrada de la suma de los dos productos de los lados y los lados opuestos de un cuadrilátero no desigual es la diagonal. El cuadrado de la diagonal se disminuye por la plaza de la mitad de la suma de la base y la parte superior; la raíz cuadrada es el perpendicular [altitudes].

Entonces, en un "no desigual" cuadrilátero cíclico (es decir, un trapezoide isósceles), la longitud de cada diagonal es $\sqrt pr + qs$ .

Continúa dando fórmulas para las longitudes y áreas de figuras geométricas, como el circunradio de un trapezoide isósceles y un cuadrilátero escaleno, y las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero cíclico escaleno. Esto lleva al famoso teorema de Brahmagupta,

12.30 a 31. Imaginando dos triángulos dentro de [un cuadrilátero cíclico] con lados desiguales, las dos diagonales son las dos bases. Sus dos segmentos son separados los segmentos superiores e inferiores [formados] en la intersección de las diagonales. Los dos segmentos inferiores de las dos diagonales son dos lados en un triángulo; la base [del cuadrilátero es la base del triángulo]. Su perpendicular es la parte inferior del perpendicular [central]; la parte superior del perpendicular [central] es la mitad de la suma de los perpendiculares [sides] disminuidos por la parte inferior [porción del perpendicular central].

Pi

En el versículo 40, da valores de π,

12.40. El diámetro y el cuadrado del radio [cada] multiplicado por 3 son [respectivamente] la circunferencia práctica y el área [de un círculo]. Los valores exactos son la raíz cuadrada de los cuadrados de esos dos multiplicados por diez.

Así que Brahmagupta utiliza 3 como un valor "práctico" $π$ , y ${displaystyle {sqrt {10}}approx 3.1622ldots }$ como un valor "exacto" $π$ , con un error inferior al 1%.

Medidas y construcciones

En algunos de los versos anteriores al verso 40, Brahmagupta da construcciones de varias figuras con lados arbitrarios. Básicamente, manipuló triángulos rectángulos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapecios isósceles, trapecios isósceles con tres lados iguales y un cuadrilátero cíclico escaleno.

Después de dar el valor de pi, se ocupa de la geometría de figuras planas y sólidos, como encontrar volúmenes y áreas de superficie (o espacios vacíos excavados en sólidos). Encuentra el volumen de prismas rectangulares, pirámides y el tronco de una pirámide cuadrada. Además, encuentra la profundidad promedio de una serie de pozos. Para el volumen de un tronco de pirámide, da el "pragmático" valor como la profundidad por el cuadrado de la media de los bordes de las caras superior e inferior, y da el "superficial" volumen como la profundidad por su área media.

Trigonometría

Tabla de senos

En el capítulo 2 de su Brāhmasphuṭasiddhānta, titulado Longitudes verdaderas planetarias, Brahmagupta presenta una tabla de senos:

2.2-5. Los pecados: Los Progenidores, gemelos; Ursa Mayor, gemelos, los Vedas; los dioses, fuegos, seis; sabores, dados, los dioses; la luna, cinco, el cielo, la luna; la luna, flechas, soles [...]

Aquí Brahmagupta utiliza nombres de objetos para representar los dígitos de numerales de valor de lugar, como era común con datos numéricos en tratados sánscritos. Progenitors representa a los 14 Progenitors ("Manu") en cosmología india o 14, "twins" significa 2, "Ursa Major" representa las siete estrellas de Ursa Major o 7, "Vedas" se refiere a los 4 Vedas o 4, dados representa el número de lados de la muerte tradicional o 6, etc. Esta información puede traducirse en la lista de pecados, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, y 3270, con el radio de 3270 (estos números representan 3270) ${displaystyle 3270sin {frac {pi n}{48}}}$ para ${displaystyle n=1,dots24}$ ).

Fórmula de interpolación

En 665, Brahmagupta ideó y usó un caso especial de la fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segundo orden para interpolar nuevos valores de la función seno a partir de otros valores ya tabulados. La fórmula da una estimación del valor de una función $f$ en un valor $a + xh$ de su argumento (con $h > 0$ y $-1 \leq x \leq 1$ ) cuando su valor ya se conoce en $a - h$ , $a$ y $a + h .$

La fórmula para la estimación es:

{displaystyle f(a+xh)approx f(a)+x{frac {Delta f(a)+Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{frac {Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.}

donde $Δ$ es el operador de diferencia directa de primer orden, es decir

Delta f(a) {stackrel {mathrm {def} }{=}} f(a+h)-f(a).

Concepto primitivo de la gravedad

Brahmagupta en 628 describió por primera vez la gravedad como una fuerza atractiva, usando el término "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)]" para describirlo:

La tierra en todos sus lados es la misma; toda la gente en la tierra se levanta, y todas las cosas pesadas caen a la tierra por una ley de la naturaleza, porque es la naturaleza de la tierra para atraer y mantener las cosas, ya que es la naturaleza del agua para fluir... Si una cosa quiere ir más abajo que la tierra, déjala intentarlo. La tierra es la única bajo cosa, y las semillas siempre vuelven a ella, en cualquier dirección que puedas tirarlas, y nunca se levantan hacia arriba de la tierra.

Astronomía

Brahmagupta dirigió una gran cantidad de críticas hacia el trabajo de los astrónomos rivales, y su Brāhmasphuṭasiddhānta muestra uno de los primeros cismas entre los matemáticos indios. La división se refería principalmente a la aplicación de las matemáticas al mundo físico, más que a las matemáticas en sí. En el caso de Brahmagupta, los desacuerdos surgieron en gran parte de la elección de parámetros y teorías astronómicas. Las críticas de teorías rivales aparecen a lo largo de los primeros diez capítulos astronómicos y el capítulo once está completamente dedicado a la crítica de estas teorías, aunque no aparecen críticas en los capítulos doce y dieciocho.

Algunas de las contribuciones importantes de Brahmagupta a la astronomía son sus métodos para calcular la posición de los cuerpos celestes a lo largo del tiempo (efemérides), su salida y puesta, las conjunciones y el cálculo de los eclipses solares y lunares.

En el capítulo siete de su Brāhmasphutasiddhānta, titulado Lunar Creciente, Brahmagupta refuta la idea de que la Luna está más lejos de la Tierra que el Sol. Lo hace explicando la iluminación de la Luna por el Sol.

1. Si la luna estuviera por encima del sol, ¿cómo se produciría el poder de encerar y encerar, etc. del cálculo de la longitud de la luna? La mitad cercana siempre sería brillante.
2. De la misma manera que la mitad vista por el sol de una olla de pie a la luz del sol es brillante, y la media oscuridad invisible, así es [la iluminación] de la luna [si es] debajo del sol.
3. El brillo se aumenta en la dirección del sol. Al final de un brillante medio mes, la mitad cercana es brillante y la media oscuridad. Por lo tanto, la elevación de los cuernos [de la crescencia puede derivarse] del cálculo. [...]

Explica que dado que la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol, el grado de la parte iluminada de la Luna depende de las posiciones relativas del Sol y la Luna, y esto se puede calcular a partir del tamaño del ángulo. entre los dos cuerpos.

En su tratado Khandakhadyaka se analizan más trabajos que exploran las longitudes de los planetas, la rotación diurna, los eclipses lunares y solares, las salidas y puestas, la luna creciente y las conjunciones de los planetas.

Citas y notas al pie

Notas al pie

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