BQP

En la teoría de la complejidad computacional, el tiempo polinomial cuántico de error acotado (BQP) es la clase de problemas de decisión que una computadora cuántica puede resolver en tiempo polinomial, con una probabilidad de error de como máximo 1/3 para todas las instancias. Es el análogo cuántico a la clase de complejidad BPP.

Un problema de decisión es miembro de BQP si existe un algoritmo cuántico (un algoritmo que se ejecuta en una computadora cuántica) que resuelve el problema de decisión con alta probabilidad y se garantiza que se ejecutará en tiempo polinomial. Una ejecución del algoritmo resolverá correctamente el problema de decisión con una probabilidad de al menos 2/3.

Definición

BQP pueden ser vistos como los idiomas asociados con ciertas familias uniformes de terroristas ligados de circuitos cuánticos. Un idioma L está dentro BQP si y sólo si existe una familia uniforme de tiempo polinomio de circuitos cuánticos ${displaystyle {Q_{n}colon nin mathbb {N}}$, tal que

• Para todos ${displaystyle nin mathbb {N}$, Q_n tomas n cubitos como entrada y salidas 1 bit
• Para todos x dentro L, ${displaystyle mathrm {Pr} (Q_{ vidasx actual}(x)=1)geq {tfrac {2}{3}}$
• Para todos x no en L, ${displaystyle mathrm {Pr} (Q_{ vidasx sometida}(x)=0)geq {tfrac {2}{3}}$

Alternativamente, se puede definir BQP en términos de máquinas cuánticas de Turing. Un lenguaje L está en BQP si y solo si existe una máquina de Turing cuántica polinomial que acepta L con una probabilidad de error de como máximo 1/ 3 para todos los casos.

Al igual que otros "errores acotados" clases probabilísticas la elección de 1/3 en la definición es arbitraria. Podemos ejecutar el algoritmo un número constante de veces y tomar una mayoría de votos para lograr cualquier probabilidad deseada de corrección menor a 1, utilizando el límite de Chernoff. La clase de complejidad no cambia al permitir un error tan alto como 1/2 − n^−c por un lado, o al requerir un error tan pequeño como 2^−nc por otro lado, donde c es cualquier constante positiva, y n< /i> es la longitud de la entrada.

Un problema completo de BQP

De manera similar a la noción de NP-completo y otros problemas completos, podemos definir un problema BQP-completo como un problema que está en BQP y que cada problema en BQP se reduce a él en tiempo polinomial.

Este es un problema intuitivo de BQP completo, que se deriva directamente de la definición de BQP.

Problema APPROX-QCIRCUIT-PROB

Dada una descripción de un circuito cuántico ${displaystyle C}$ Actuando ${displaystyle n}$ codos con ${displaystyle m}$ puertas, donde ${displaystyle m}$ es un polinomio en ${displaystyle n}$ y cada puerta actúa en uno o dos codos, y dos números ${displaystyle alphabeta in [0,1],alpha }$, distinguir entre los dos casos siguientes:

• midiendo el primer cuarto del estado ${displaystyle ^{otimes No.$ rendimientos ${displaystyle ← }$ con probabilidad ${displaystyle geq alpha }$
• midiendo el primer cuarto del estado ${displaystyle ^{otimes No.$ rendimientos ${displaystyle ← }$ con probabilidad ${displaystyle leq beta }$

Tenga en cuenta que el problema no especifica el comportamiento si una instancia no está cubierta por estos dos casos.

Reclamo. Cualquier problema de BQP se reduce a APPROX-QCIRCUIT-PROB.

Prueba. Supongamos que tenemos un algoritmo ${displaystyle A}$ que resuelve APPROX-QCIRCUIT-PROB, es decir, dado un circuito cuántico ${displaystyle C}$ Actuando ${displaystyle n}$ y dos números ${displaystyle alphabeta in [0,1],alpha }$, ${displaystyle A}$ distingue entre los dos casos anteriores. Podemos resolver cualquier problema en BQP con este oráculo, estableciendo ${displaystyle alpha =2/3,beta =1/3}$.

Para cualquier ${displaystyle Lin mathrm {BQP}$, existe familia de circuitos cuánticos ${displaystyle {Q_{n}colon nin mathbb {N}}$ tal que para todos ${displaystyle nin mathbb {N}$, un estado ${displaystyle ← }$ de ${displaystyle n}$ cúbitos, si ${displaystyle xin L,Pr(Q_{n}(Princexrangle)=1)geq 2/3}$; si no ${displaystyle xnotin L,Pr(Q_{n}(Princexrangle)=0)geq 2/3}$. Fijar una entrada ${displaystyle ← }$ de ${displaystyle n}$ qubits, y el circuito cuántico correspondiente ${displaystyle Q_{n}$. Primero podemos construir un circuito ${displaystyle C_{x}$ tales que ${displaystyle C_{x}Sobrevivir0rangle No.$. Esto se puede hacer fácilmente por cableado duro ${displaystyle ← }$ y aplicar una secuencia de las puertas de CNOT para voltear los codos. Entonces podemos combinar dos circuitos para conseguir ${displaystyle C'=C_{x}Q_{n}$, y ahora ${displaystyle C'tención0rangle ^{otimes No.$. Y finalmente, necesariamente los resultados ${displaystyle Q_{n}$ se obtiene midiendo varios qubits y aplicar algunas puertas lógicas (clásicas) a ellos. Siempre podemos aplazar la medición y redirigir los circuitos para que midiendo el primer codo de ${displaystyle C'tención0rangle ^{otimes No.$Tenemos la salida. Este será nuestro circuito. ${displaystyle C}$, y decidimos la membresía ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle L.$ corriendo ${displaystyle A(C)}$ con ${displaystyle alpha =2/3,beta =1/3}$. Por definición de BQP, caeremos en el primer caso (aceptación), o el segundo caso (rechazo), por lo que ${displaystyle Lin mathrm {BQP}$ reduce a APPROX-QCIRCUIT-PROB.

APPROX-QCIRCUIT-PROB es útil cuando tratamos de probar las relaciones entre algunas clases de complejidad conocidas y BQP.

Relación con otras clases de complejidad

The suspected relationship of BQP a otros espacios problemáticos

BQP se define para computadoras cuánticas; la clase de complejidad correspondiente para las computadoras clásicas (o más formalmente para las máquinas de Turing probabilísticas) es BPP. Al igual que P y BPP, BQP es bajo por sí mismo, lo que significa BQP^BQP = BQP. Informalmente, esto es cierto porque los algoritmos de tiempo polinomial están cerrados bajo composición. Si un algoritmo de tiempo polinomial llama a los algoritmos de tiempo polinomial como subrutinas, el algoritmo resultante sigue siendo tiempo polinomial.

BQP contiene P y BPP y está contenido en AWPP, PP y PESPACIO. De hecho, BQP es bajo para PP, lo que significa que una máquina PP no obtiene ningún beneficio al poder resolver BQP > problemas al instante, una indicación de la posible diferencia de poder entre estas clases similares. Las relaciones conocidas con las clases de complejidad clásicas son:

${displaystyle {Mathsf {subseteq BPPsubseteq BQPsubseteq AWPPsubseteq PPsubseteq PSPACEsubseteq EXP}}$

Como problema P ≟ PSPACE no se ha resuelto aún, la prueba de la desigualdad entre BQP y las clases mencionadas anteriormente se supone que son difíciles. La relación entre BQP y NP no se sabe. En mayo de 2018, los científicos informáticos Ran Raz de la Universidad de Princeton y Avishay Tal de la Universidad de Stanford publicaron un documento que mostraba que, en relación con un oráculo, el BQP no estaba contenido en PH. Se puede probar que existe un oráculo tal que BQP^A ${displaystyle nsubseteq }$ PH^A. En un sentido extremadamente informal, esto se puede considerar como dar a PH y BQP una capacidad idéntica, pero adicional, y verificar que BQP con el oráculo (BQP^A) puede hacer cosas PH^A No puedo. Si bien se ha demostrado una separación de oráculos, no se ha probado el hecho de que el PQP no esté contenido en PH. Una separación del oráculo no prueba si las clases de complejidad son iguales o no. La separación del oráculo da intuición de que el BQP no puede estar contenido en PH.

Durante muchos años se ha sospechado que el muestreo de Fourier es un problema que existe dentro de BQP, pero no dentro de la jerarquía de polinomios. Conjeturas recientes han proporcionado evidencia de que un problema similar, la Comprobación de Fourier, también existe en la clase BQP sin estar contenido en la jerarquía de polinomios. Esta conjetura es especialmente notable porque sugiere que los problemas existentes en BQP podrían clasificarse como más difíciles que los problemas NP-Completos. Junto con el hecho de que se sospecha que existen muchos problemas BQP prácticos fuera de P (se sospecha y no se verifica porque no hay pruebas de que P ≠ NP), esto ilustra el poder potencial de la computación cuántica en relación con la computación clásica.

Agregar una selección posterior a BQP da como resultado la clase de complejidad PostBQP que es igual a PP.

Probaremos o discutiremos algunos de estos resultados a continuación.

BQP y EXP

Comenzamos con una contención más fácil. Para mostrar eso ${displaystyle {mathsf {cH00}subseteq {mathsf {}}}$, basta demostrar que APPROX-QCIRCUIT-PROB está en EXP ya que APPROX-QCIRCUIT-PROB está completo en BQP.

Tenga en cuenta que este algoritmo también requiere ${displaystyle 2^{O(n)}$ espacio para almacenar los vectores y las matrices. Mostraremos en la siguiente sección que podemos mejorar sobre la complejidad espacial.

BQP y PSPACE

Para probar ${displaystyle {mathsf {fnK}subseteq {mathsf {f}}}$, primero presentamos una técnica llamada la suma de historias.

Suma de Historias

La suma de historias es una técnica introducida por el físico Richard Feynman para la formulación de integrales de trayectoria. Aplicamos esta técnica a la computación cuántica para resolver APPROX-QCIRCUIT-PROB.

Sum of Histories Tree

Considere un circuito cuántico C, que consiste en t puertas, ${displaystyle G_{1},g_{2},cdotsg_{m}$, donde cada ${displaystyle g_{j}$ viene de una compuerta universal y actúa en la mayoría de dos codos. Para entender cuál es la suma de las historias, visualizamos la evolución de un estado cuántico dado un circuito cuántico como árbol. La raíz es la entrada ${displaystyle Silencio0rangle ^{otimes No.$, y cada nodo en el árbol tiene ${displaystyle 2^{n}$ niños, cada uno representando un estado en ${displaystyle mathbb {C} {n}}$. El peso en un borde del árbol de un nodo en j- el nivel que representa un estado ${displaystyle ← }$ a un nodo ${displaystyle j+1}$- el nivel que representa un estado ${displaystyle Silencioso$ es ${displaystyle langle y habitg_{j+1}$, la amplitud de ${displaystyle Silencioso$ después de aplicar ${displaystyle g_{j+1}$ on ${displaystyle ← }$. La amplitud de transición de un camino de raíz a hoja es el producto de todos los pesos en los bordes a lo largo del camino. Para conseguir la probabilidad del estado final ${displaystyle TENED rangle }$, resumimos las amplitudes de todos los caminos de raíz a cielo que termina en un nodo representando ${displaystyle TENED rangle }$.

Más formalmente, para el circuito cuántico C, su suma sobre el árbol de las historias es un árbol de profundidad m, con un nivel para cada puerta ${displaystyle g_{i}$ además de la raíz, y con factor de ramificación ${displaystyle 2^{n}$.

Aviso en la suma sobre historias algoritmo para calcular cierta amplitud ${displaystyle alpha _{x}$, sólo una historia se almacena en cualquier punto de la computación. Por lo tanto, la suma sobre las historias algoritmo utiliza ${displaystyle O(nm)}$ espacio para calcular ${displaystyle alpha _{x}$ para cualquier x desde entonces ${displaystyle O(nm)}$ Se necesitan bits para almacenar las historias además de algunas variables del espacio de trabajo.

Por lo tanto, en el espacio polinomio, podemos calcular ${displaystyle sum _{x}Sobreviviralpha _{x}$ por todas partes x con el primer cuarto 1, que es la probabilidad de que el primer qubit se mide a ser 1 al final del circuito.

Aviso que comparado con la simulación dada para la prueba de que ${displaystyle {mathsf {cH00}subseteq {mathsf {}}}$, nuestro algoritmo aquí toma mucho menos espacio pero mucho más tiempo en su lugar. De hecho se necesita ${displaystyle O(m2^{mn}}$ tiempo para calcular una sola amplitud!

BQP y PP

Un argumento similar de suma-sobre-historia se puede utilizar para demostrar que ${displaystyle {mathsf {cH00}beseq {cH00}$.

P y BQP

Sabemos ${displaystyle {Mathsf}subseteq {fnMithsf {BQP}}$, ya que cada circuito clásico puede ser simulado por un circuito cuántico.

Se conjetura que BQP resuelve problemas difíciles fuera de P, específicamente, problemas en NP. La afirmación es indefinida porque no sabemos si P = NP, por lo que no sabemos si esos problemas están realmente en P. A continuación se presentan algunas pruebas de la conjetura:

• Integer factorization (ver algoritmo de Shor)
• Discreta logarithm
• Simulación de sistemas cuánticos (ver simulador cuántico universal)
• Aproximando el polinomio Jones a ciertas raíces de la unidad
• algoritmo Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL)