Botella de klein

Una representación bidimensional de la botella Klein inmersa en el espacio tridimensional

Estructura de un tridimensional botella de Klein

En topología, una rama de las matemáticas, la botella de Klein () es un ejemplo de superficie no orientable; es una variedad bidimensional contra la cual no se puede definir consistentemente un sistema para determinar un vector normal. De manera informal, es una superficie de un solo lado que, si se viaja sobre ella, se puede seguir hasta el punto de origen mientras se voltea al viajero boca abajo. Otros objetos no orientables relacionados incluyen la cinta de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una tira de Möbius es una superficie con límite, una botella de Klein no tiene límite. A modo de comparación, una esfera es una superficie orientable sin límite.

El concepto de botella de Klein fue descrito por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein.

Construcción

El siguiente cuadrado es un polígono fundamental de la botella de Klein. La idea es 'pegar' junte los bordes rojo y azul correspondientes con las flechas haciendo juego, como en los diagramas a continuación. Tenga en cuenta que se trata de un "resumen" pegado en el sentido de que tratar de realizar esto en tres dimensiones da como resultado una botella de Klein que se interseca a sí misma.

Para construir la botella de Klein, pega las flechas rojas del cuadrado (lados izquierdo y derecho), lo que da como resultado un cilindro. Para pegar los extremos del cilindro de manera que las flechas de los círculos coincidan, uno pasaría un extremo por el costado del cilindro. Esto crea un círculo de auto-intersección: esta es una inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, la botella de Klein no tiene límite, donde la superficie se detiene abruptamente y no es orientable, como se refleja en la unilateralidad de la inmersión.

Botellas inmersas Klein en el Museo de las Ciencias de Londres

Una botella de Klein.

El modelo físico común de una botella de Klein es una construcción similar. El Museo de Ciencias de Londres tiene en exhibición una colección de botellas de Klein de vidrio soplado a mano, que exhiben muchas variaciones sobre este tema topológico. Las botellas datan de 1995 y fueron hechas para el museo por Alan Bennett.

La botella de Klein, propiamente dicha, no se corta a sí misma. No obstante, hay una forma de visualizar la botella de Klein como si estuviera contenida en cuatro dimensiones. Al agregar una cuarta dimensión al espacio tridimensional, se puede eliminar la autointersección. Empuje suavemente una pieza del tubo que contiene la intersección a lo largo de la cuarta dimensión, fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se corta a sí misma en el plano; las autointersecciones se pueden eliminar levantando un hilo del plano.

Evolución del tiempo de una figura Klein en xyzt- espacio

Supongamos para aclarar que adoptamos el tiempo como esa cuarta dimensión. Considere cómo podría construirse la figura en el espacio xyzt. La ilustración adjunta ("Evolución temporal...") muestra una evolución útil de la figura. En t = 0 la pared brota de un capullo en algún lugar cerca de la "intersección" punto. Después de que la figura ha crecido por un tiempo, la primera sección de la pared comienza a retroceder, desapareciendo como el Gato de Cheshire pero dejando atrás su sonrisa cada vez mayor. Para cuando el frente de crecimiento llega a donde había estado el brote, no hay nada que intersectar y el crecimiento se completa sin perforar la estructura existente. La figura de 4 como se define no puede existir en el espacio de 3, pero se entiende fácilmente en el espacio de 4.

Más formalmente, la botella de Klein es el espacio cociente descrito como el cuadrado [0,1] × [0,1] con lados identificados por las relaciones (0, y< /i>) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1 y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1.

Propiedades

Al igual que la cinta de Möbius, la botella de Klein es una variedad bidimensional que no es orientable. A diferencia de la cinta de Möbius, es una variedad cerrada, lo que significa que es una variedad compacta sin límite. Mientras que la cinta de Möbius se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional R³, la botella de Klein no. Sin embargo, se puede incrustar en R⁴.

Continuando con esta secuencia, por ejemplo, creando una superficie que no se puede incrustar en R⁴ pero sí en R^{5< /sup>, es posible; en este caso, al conectar dos extremos de una botella esférica entre sí de la misma manera que los dos extremos de un cilindro para una botella de Klein, se crea una figura, denominada "botella esférica de Klein", que no puede estar completamente incrustado en R4.}

La botella de Klein se puede ver como un haz de fibras sobre el círculo S¹, con fibra S¹, como sigue: se toma el cuadrado (módulo de la arista que identifica la relación de equivalencia) desde arriba como E, el espacio total, mientras que el espacio base B está dado por el intervalo unitario en y, módulo 1~0. La proyección π:E→B entonces viene dada por π([x, y< /i>]) = [y].

La botella de Klein se puede construir (en un espacio de cuatro dimensiones, porque en un espacio de tres dimensiones no se puede hacer sin permitir que la superficie se corte a sí misma) uniendo los bordes de dos tiras de Möbius (espejadas), como se describe a continuación Limerick de Leo Moser:

Un matemático llamado Klein
Pensé que la banda Möbius era divina.
Dijo: "Si pegas
Los bordes de dos,
Tendrás una botella rara como la mía".

La construcción inicial de la botella de Klein mediante la identificación de los bordes opuestos de un cuadrado muestra que a la botella de Klein se le puede dar una estructura compleja CW con una celda 0 P, dos celdas 1 C₁, C₂ y una D de 2 celdas. Su característica de Euler es, por tanto, 1 − 2 + 1 = 0. El homomorfismo de frontera viene dado por ∂D = 2C₁ y ∂C₁ = ∂C₂ = 0, dando los grupos de homología de la botella de Klein K para ser H₀(K, Z) = Z, H₁(K, Z) = Z×(Z/2Z) y H _n(K, Z) = 0 para n > 1.

Hay un mapa de cobertura 2-1 desde el toro hasta la botella de Klein, porque dos copias de la región fundamental de la botella de Klein, una colocada junto a la imagen especular de la otra, producen una región fundamental del toro.. La tapa universal tanto del toro como de la botella de Klein es el plano R².

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede determinar como el conjunto de transformaciones de cubierta de la tapa universal y tiene la presentación ⟨a, b< /i> | ab = b⁻¹a⟩.

Una botella de Klein de 6 colores, la única excepción a la conjetura de Heawood

Seis colores son suficientes para colorear cualquier mapa en la superficie de una botella de Klein; esta es la única excepción a la conjetura de Heawood, una generalización del teorema de los cuatro colores, que requeriría siete.

Una botella de Klein es homeomorfa a la suma conectada de dos planos proyectivos. También es homeomorfo a una esfera más dos casquetes cruzados.

Cuando se incrusta en el espacio euclidiano, la botella de Klein tiene un solo lado. Sin embargo, hay otros 3 espacios topológicos, y en algunos de los ejemplos no orientables se puede incrustar una botella de Klein de modo que tenga dos lados, aunque debido a la naturaleza del espacio sigue siendo no orientable.

Disección

Diseccionando los resultados de la botella Klein en tiras Möbius.

La disección de una botella de Klein en mitades a lo largo de su plano de simetría da como resultado dos tiras de Möbius de imagen especular, es decir, una con un medio giro hacia la izquierda y la otra con un medio giro hacia la derecha (una de ellas se muestra en la derecha). Recuerde que la intersección que se muestra en la imagen no está realmente allí.

Curvas simples-cerradas

Una descripción de los tipos de curvas cerradas simples que pueden aparecer en la superficie de la botella de Klein viene dada por el uso del primer grupo de homología de la botella de Klein calculado con coeficientes enteros. Este grupo es isomorfo a Z×Z₂. Salvo la inversión de la orientación, las únicas clases de homología que contienen curvas cerradas simples son las siguientes: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Hasta la inversión de la orientación de una curva cerrada simple, si se encuentra dentro de una de las dos tapas cruzadas que forman la botella de Klein, entonces está en la clase de homología (1,0) o (1,1); si corta la botella de Klein en dos tiras de Möbius, entonces está en la clase de homología (2,0); si corta la botella de Klein en un anillo, entonces está en la clase de homología (0,1); y si limita un disco, entonces está en la clase de homología (0,0).

Parametrización

La inmersión "figura 8" de la botella Klein.

Klein bagel sección transversal, mostrando una figura ocho curva (la lemniscate de Gerono).

La inmersión en forma de 8

Para hacer la "figura 8" o "bagel" inmersión de la botella de Klein, se puede comenzar con una tira de Möbius y enrollarla para llevar el borde a la línea media; como solo hay un borde, se encontrará allí, pasando por la línea media. Tiene una parametrización particularmente simple como un "figura-8" toro con medio giro:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}fnMicros {fnMicrosoft}fnMicrosoft} {fnMicros} {fnMicros} {fnMicros}fnMicros} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMissssssssssiguofnMisssssss}fnun}fnMinMinMinMissssssss}sssss}f}fnMi$

para 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π y r > 2.

En esta inmersión, el círculo de autointersección (donde sin(v) es cero) es un círculo geométrico en el plano xy. La constante positiva r es el radio de este círculo. El parámetro θ da el ángulo en el plano xy así como la rotación de la figura 8, y v especifica la posición alrededor del 8- sección transversal en forma. Con la parametrización anterior, la sección transversal es una curva de Lissajous 2:1.

4-D sin intersección

Se puede modelar una parametrización 4D que no se intersecta a partir de la del toroide plano:

${displaystyle {begin{aligned}x ventaja=Rleft(cos {frac {thetat {fnK}cos v-sin {theta} {fn0}sin 2vright)\y recur=Rleft(sin {frac {theta }{2}}cos v+cos {frac {theta }{2}sin 2vright)\z recur=Pcos theta left(1+epsilon sin vright)w recur=Psin theta left(1+{epsilon }sin vright)end{aligned}}}}}}}cos {cos}}cos}cos {cos {cos {cos {cos}cos {cos {cos {cos {cos {cos}cos {cos {cos {cos {cos}cos}cos}cos}cos {cos {cos}cos {cos {cos {cos {cos {cos {cos {escos {cos {cos {eseses {cos {cos {ess {s {ess {esess}esess {s {s {$

donde R y P son constantes que determinan la relación de aspecto, θ y v son similares a las definidas encima. v determina la posición alrededor de la figura 8 así como la posición en el plano x-y. θ también determina el ángulo de rotación de la figura 8 y la posición alrededor del plano z-w. ε es cualquier constante pequeña y ε sinv es una pequeña protuberancia dependiente de v en z-w espacio para evitar la auto-intersección. La protuberancia v hace que la figura-8 2-D/planar que se intersecta a sí misma se extienda en una 'patata frita' estilizada en 3-D; o forma de silla de montar en el espacio x-y-w y x-y-z visto de canto. Cuando ε=0 la autointersección es un círculo en el plano z-w <0, 0, cosθ, sinθ>.

Torus pellizcado 3D / tubo de Möbius 4D

La inmersión de torus pellizcada de la botella Klein.

El toro pellizcado es quizás la parametrización más simple de la botella de Klein tanto en tres como en cuatro dimensiones. Es un toro que, en tres dimensiones, se aplana y se atraviesa a sí mismo por un lado. Desafortunadamente, en tres dimensiones esta parametrización tiene dos puntos de pellizco, lo que la hace indeseable para algunas aplicaciones. En cuatro dimensiones, la amplitud z gira hacia la amplitud w y no hay autointersecciones ni puntos de pellizco.

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft ] {f} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft}fnMicrosoft ]} {fnMicrosoft ]}fnMinMicrosoft ]$

Uno puede verlo como un tubo o cilindro que se envuelve, como en un toroide, pero su sección transversal circular se voltea en cuatro dimensiones, presentando su "parte posterior" cuando se vuelve a conectar, al igual que una sección transversal de la tira de Möbius gira antes de volver a conectarse. La proyección ortogonal 3D de esto es el toro pellizcado que se muestra arriba. Así como una tira de Möbius es un subconjunto de un toro sólido, el tubo de Möbius es un subconjunto de un esférico cerrado toroidalmente (esférico sólido).

Forma de botella

La parametrización de la inmersión tridimensional de la propia botella es mucho más complicada.

Klein Bottle con ligera transparencia

${fnMicrosoft Sans Serif}$

para 0 ≤ u < π y 0 ≤ v < 2π.

Clases de homotopía

Las inmersiones 3D regulares de la botella de Klein se dividen en tres clases regulares de homotopía. Los tres están representados por:

• la botella "tradicional" Klein;
• el biberón izquierdo 8 Klein;
• la botella de la figura 8 Klein derecha.

La inmersión tradicional en botella de Klein es aquiral. La inmersión en forma de 8 es quiral. (La inmersión del toro pellizcado anterior no es regular, ya que tiene puntos de pellizco, por lo que no es relevante para esta sección).

Si la botella de Klein tradicional se corta en su plano de simetría, se rompe en dos tiras de Möbius de quiralidad opuesta. Una botella de Klein en forma de 8 se puede cortar en dos tiras de Möbius de la misma quiralidad y no se puede deformar regularmente en su imagen especular.

Pintar la botella de Klein tradicional en dos colores puede inducir quiralidad en ella, dividiendo su clase de homotopía en dos.

Generalizaciones

La generalización de la botella de Klein a géneros superiores se da en el artículo sobre el polígono fundamental.

En otro orden de ideas, la construcción de 3 mangas, se sabe que una botella sólida Klein es homeomorfa al producto cartesiano de una tira Möbius y un intervalo cerrado. El botella de Klein es la versión no deseable de la sólidos torus, equivalente a ${displaystyle D^{2}times S^{1}.$

Superficie klein

Una superficie de Klein es, al igual que las superficies de Riemann, una superficie con un atlas que permite componer los mapas de transición mediante conjugaciones complejas. Se puede obtener la llamada estructura dianalítica del espacio.