Bisección

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División de algo en dos partes iguales o congruentes

Línea DE bisectos línea AB en D, línea EF es un bisector perpendicular del segmento AD en C, y la línea EF es el bisector interior del ángulo recto AED

En geometría, bisección es la división de algo en dos partes iguales o congruentes (que tienen la misma forma y tamaño). Por lo general, se trata de una línea bisectriz, también llamada bisectriz. Los tipos de bisectrices que se consideran con mayor frecuencia son la bisectriz de segmento (una línea que pasa por el punto medio de un segmento dado) y la bisectriz de ángulo (una línea que pasa por el vértice de un ángulo, que lo divide en dos ángulos iguales).

En el espacio tridimensional, la bisección generalmente se realiza mediante un plano bisectriz, también llamado bisectriz.

Bisectriz de segmento de recta perpendicular

Definición

Bisector perpendicular de un segmento de línea

El bisector perpendicular de un segmento de línea es una línea que cumple con el segmento en su punto medio perpendicularmente.
El bisector perpendicular de un segmento de línea $AB$ también tiene la propiedad que cada uno de sus puntos $X$ es equidistante de los puntos finales del segmento AB:

(D) ${displaystyle quad |XA|=|XB|}$ .

La prueba sigue de ${displaystyle }$ y el teorema de Pitágoras:

{displaystyle |XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2};.}

La propiedad (D) se suele utilizar para la construcción de una bisectriz perpendicular:

Construcción con regla y compás

Construcción por borde recto y brújula

En geometría clásica, la bisección es una construcción simple con regla y compás, cuya posibilidad depende de la capacidad de dibujar arcos de igual radio y diferente centro:

El segmento $AB$ es bisecado por dibujar círculos de intersección de igual radio ${tfrac {1}{2}}|AB|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■12SilencioABSilencio{displaystyle riéndose{tfrac {1}{2}{tfrac {1}{2}}|AB|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327c285d753160e4ad04848c1630678dab9cae93" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.606ex; height:3.509ex;"/>$ , cuyos centros son los puntos finales del segmento. La línea determinada por los puntos de intersección de los dos círculos es el bisector perpendicular del segmento.
Debido a que la construcción del bisector se realiza sin el conocimiento del punto medio del segmento $M$ , la construcción se utiliza para determinar $M$ como la intersección del bisector y el segmento de línea.

Esta construcción se utiliza de hecho al construir un línea perpendicular a una línea dada $g$ a punto dado $P$ : dibujo un círculo cuyo centro es $P$ tal que interseque la línea $g$ en dos puntos $A,B$ , y el perpendicular a construir es el segmento de un bisecting $AB$ .

Ecuaciones

Si ${displaystyle {vec {a}},{vec {b}}}$ son los vectores de posición de dos puntos $A,B$ , entonces su punto medio es ${displaystyle M:{vec {m}}={tfrac {{vec {a}}+{vec {b}}}{2}}}$ vector ${displaystyle {vec {a}}-{vec {b}}}$ es un vector normal del segmento de línea perpendicular bisector. De ahí su ecuación vectorial ${displaystyle ({vec {x}}-{vec {m}})cdot ({vec {a}}-{vec {b}})=0}$ . Inserción ${displaystyle {vec {m}}=cdots }$ y la expansión de la ecuación conduce a la ecuación vectorial

(V) ${displaystyle quad {vec {x}}cdot ({vec {a}}-{vec {b}})={tfrac {1}{2}}({vec {a}}^{2}-{vec {b}}^{2}).}$

Con ${displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$ uno consigue la ecuación en forma coordinada:

(C) ${displaystyle quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2});.}$

O explícitamente:
(E) ${displaystyle quad y=m(x-x_{0})+y_{0}}$ ,
Donde ${displaystyle ;m=-{tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$ , ${displaystyle ;x_{0}={tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1});}$ , y ${displaystyle ;y_{0}={tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2});}$ .

Aplicaciones

Se utilizaron bisectrices de segmentos de rectas perpendiculares para resolver varios problemas geométricos:

Construcción del centro de un círculo de Thales,
Construcción del centro del círculo de un triángulo,
Los límites del diagrama de Voronoi consisten en segmentos de tales líneas o planos.

Plano bisectorial

Bisectrices de segmento de recta perpendicular en el espacio

El bisector perpendicular de un segmento de línea es un avión, que cumple con el segmento en su punto medio perpendicularmente.

Su ecuación vectorial es literalmente la misma que en el caso del plano:

(V) ${displaystyle quad {vec {x}}cdot ({vec {a}}-{vec {b}})={tfrac {1}{2}}({vec {a}}^{2}-{vec {b}}^{2}).}$

Con ${displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ uno consigue la ecuación en forma coordinada:

(C3) ${displaystyle quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2});.}$

Propiedad (D) (ver arriba) es literalmente cierto en el espacio, también:
(D) El plano del bisector perpendicular de un segmento $AB$ tiene para cualquier punto $X$ la propiedad: ${displaystyle ;|XA|=|XB|}$ .

Bisectriz de ángulo

Bisección de un ángulo usando una brújula y una recta

La bisectriz de un ángulo divide al ángulo en dos ángulos de medidas iguales. Un ángulo solo tiene una bisectriz. Cada punto de la bisectriz de un ángulo es equidistante de los lados del ángulo.

El interior o bisectriz interna de un ángulo es la recta, semirrecta o segmento de recta que divide un ángulo de menos de 180° en dos ángulos iguales. La exterior o bisectriz externa es la línea que divide el ángulo suplementario (de 180° menos el ángulo original), formada por un lado que forma el ángulo original y la extensión del ángulo otro lado, en dos ángulos iguales.

Para bisecar un ángulo con regla y compás, se dibuja un círculo cuyo centro es el vértice. El círculo se encuentra con el ángulo en dos puntos: uno en cada lado. Usando cada uno de estos puntos como centro, dibuja dos círculos del mismo tamaño. La intersección de los círculos (dos puntos) determina una recta que es la bisectriz del ángulo.

La prueba de la corrección de esta construcción es bastante intuitiva y se basa en la simetría del problema. La trisección de un ángulo (dividirlo en tres partes iguales) no se puede lograr solo con el compás y la regla (esto fue demostrado por primera vez por Pierre Wantzel).

Los bisectores internos y externos de un ángulo son perpendiculares. Si el ángulo se forma por las dos líneas dadas algebraicamente como ${displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}$ y ${displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}$ entonces los bisectores internos y externos son dados por las dos ecuaciones

{displaystyle {frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=pm {frac {l_{2}x+m_{2}y+n_{2}}{sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.}

Triángulo

Concurrencias y colinealidades

The interior angle bisectors of a triangle are concurrent in a point called the incenter of the triangle, as seen in the diagram.

Las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes.

Tres puntos de intersección, cada uno de la bisectriz de un ángulo externo con el lado extendido opuesto, son colineales (caen en la misma línea que los demás).

Tres puntos de intersección, dos de ellos entre la bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la bisectriz de otro ángulo exterior y el lado opuesto prolongado, son colineales.

Teorema de la bisectriz de un ángulo

En este diagrama, BD:DC = AB:AC.

El teorema de la bisectriz del ángulo tiene que ver con las longitudes relativas de los dos segmentos en los que el lado de un triángulo está dividido por una línea que biseca el ángulo opuesto. Iguala sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

Longitud

Si las longitudes laterales de un triángulo son $a,b,c$ , el semiperímetro $s=(a+b+c)/2,$ y A es el ángulo opuesto $a$ , entonces la longitud del bisector interno del ángulo A es

{displaystyle {frac {2{sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}},}

o en términos trigonométricos,

{displaystyle {frac {2bc}{b+c}}cos {frac {A}{2}}.}

Si el bisector interno del ángulo A en el triángulo ABC tiene longitud $t_{a}$ y si este bisector divide el lado opuesto A en segmentos de longitudes m y n, entonces

t_{a}^{2}+mn=bc

donde b y c son las longitudes de los lados opuestos a los vértices B y C; y el lado opuesto a A se divide en la proporción b:c.

Si los bisectores internos de los ángulos A, B y C tienen longitudes $t_{a},t_{b},$ y $t_c$ , entonces

{frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{b}^{2}+{frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.

No hay dos triángulos no congruentes que compartan el mismo conjunto de tres longitudes de bisectrices de ángulos internos.

Triángulos enteros

Existen triángulos enteros con una bisectriz de ángulo racional.

Cuadrilátero

Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos adyacentes son concíclicos) o son concurrentes. En este último caso el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial.

Rombo

Cada diagonal de un rombo biseca ángulos opuestos.

Cuadrilátero ex-tangencial

El excentro de un cuadrilátero ex-tangencial se encuentra en la intersección de seis bisectrices de ángulo. Estas son las bisectrices de ángulo interno en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de ángulo externo (bisectriz de ángulo suplementario) en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de ángulo externo en los ángulos formados donde se cruzan las extensiones de lados opuestos.

Parábola

La tangente a una parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre la línea que une el punto con el foco y la línea desde el punto y perpendicular a la directriz.

Bisectrices de los lados de un polígono

Triángulo

Medianas

Cada una de las tres medianas de un triángulo es un segmento de línea que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto, por lo que biseca ese lado (aunque en general no perpendicularmente). Las tres medianas se cortan en un punto que se llama baricentro del triángulo, que es su centro de masa si tiene densidad uniforme; por lo tanto, cualquier línea a través del baricentro de un triángulo y uno de sus vértices biseca el lado opuesto. El baricentro está dos veces más cerca del punto medio de cualquier lado que del vértice opuesto.

Bisectrices perpendiculares

La bisectriz perpendicular interior de un lado de un triángulo es el segmento, que cae completamente sobre y dentro del triángulo, de la línea que biseca perpendicularmente ese lado. Las tres mediatrices de los tres lados de un triángulo se cortan en el circuncentro (el centro del círculo a través de los tres vértices). Por lo tanto, cualquier línea que pasa por el circuncentro de un triángulo y es perpendicular a un lado biseca ese lado.

En un triángulo agudo, el circuncentro divide las mediatrices internas de los dos lados más cortos en proporciones iguales. En un triángulo obtuso los dos lados más cortos' bisectrices perpendiculares (extendidas más allá de sus lados opuestos del triángulo hasta el circuncentro) se dividen por sus respectivos lados del triángulo que se cruzan en proporciones iguales.

Para cualquier triángulo los bisectores perpendiculares interiores son dados por $p_a=tfrac{2aT}{a^2+b^2-c^2},$ $p_b=tfrac{2bT}{a^2+b^2-c^2},$ y $p_c=tfrac{2cT}{a^2-b^2+c^2},$ donde están los lados $ageq bgeq c$ y el área es $T.$

Cuadrilátero

Las dos bimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos, por lo tanto, cada uno bisecta dos lados. Las dos bimedianas y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes en un punto llamado "centroide del vértice" y todos están divididos en dos por este punto.

Las cuatro "maltitudes" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado a través del punto medio del lado opuesto, por lo tanto bisecan el último lado. Si el cuadrilátero es cíclico (inscrito en un círculo), estas maltitudes son concurrentes (todas se encuentran en) un punto común llamado "anticentro".

El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre biseca el lado opuesto.

La construcción de la bisectriz perpendicular forma un cuadrilátero a partir de las bisectrices perpendiculares de los lados de otro cuadrilátero.

Bisectrices de área y bisectrices de perímetro

Triángulo

Hay una infinitud de líneas que bisectan el área de un triángulo. Tres de ellos son las medianas del triángulo (que conectan los puntos intermedios de los lados con los vértices opuestos), y estos son concurrentes en el centroide del triángulo; de hecho, son los únicos bisectores del área que pasan por el centroide. Otros tres bisectores de área son paralelos a los lados del triángulo; cada uno de ellos interseca los otros dos lados para dividirlos en segmentos con las proporciones ${sqrt {2}}+1:1$ . Estas seis líneas son concurrentes tres a la vez: además de los tres medianos siendo concurrentes, cualquier mediana es concurrente con dos de los bisectores del área de paralelo.

El sobre de la infinitud de los bisectores de la zona es un deltoide (definido ampliamente como una figura con tres vértices conectados por curvas que se configuran al exterior del deltoide, haciendo de los puntos interiores un conjunto no-convexo). Los vértices del deltoide están en el punto medio de las medianas; todos los puntos dentro del del deltoide están en tres bisectores de área diferentes, mientras que todos los puntos fuera de él están en sólo uno. [1] Los lados del deltoide son arcos de hiperbolas que son asintoticos a los lados extendidos del triángulo. La relación del área del sobre de los bisectores del área al área del triángulo es invariante para todos los triángulos, e igual ${tfrac {3}{4}}log _{e}(2)-{tfrac {1}{2}},$ Es decir, 0,019860... o menos del 2%.

Una cuchilla de un triángulo es un segmento de línea que biseca el perímetro del triángulo y tiene un extremo en el punto medio de uno de los tres lados. Las tres cuchillas concurren en (todas pasan por) el centro del círculo de Spieker, que es el incírculo del triángulo medial. Las cuchillas son paralelas a las bisectrices de los ángulos.

Un divisor de un triángulo es un segmento de línea que tiene un punto final en uno de los tres vértices del triángulo y biseca el perímetro. Los tres divisores coinciden en el punto de Nagel del triángulo.

Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado. Una línea que pasa por el incentro biseca a uno de los perímetros si y solo si también biseca al otro.

Paralelogramo

Cualquier línea que pasa por el punto medio de un paralelogramo biseca el área y el perímetro.

Círculo y elipse

Todas las bisectrices de área y las bisectrices de perímetro de un círculo u otra elipse pasan por el centro, y cualquier cuerda que pasa por el centro biseca el área y el perímetro. En el caso de un círculo son los diámetros del círculo.

Bisectrices de diagonales

Paralelogramo

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Cuadrilátero

Si un segmento de línea que conecta las diagonales de un cuadrilátero biseca ambas diagonales, entonces este segmento de línea (la línea de Newton) es a su vez bisecado por el centroide del vértice.

Bisectrices de volumen

Un plano que divide dos aristas opuestas de un tetraedro en una proporción dada también divide el volumen del tetraedro en la misma proporción. Por lo tanto, cualquier plano que contenga una bimediana (conector de bordes opuestos & puntos medios) de un tetraedro biseca el volumen del tetraedro

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