Birrefringencia

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Fenómeno óptico

Un cristal calcita colocado sobre un papel gráfico con líneas azules mostrando la doble refracción

En este ejemplo, el eje óptico a lo largo de la superficie se muestra perpendicular al plano de incidencia. Luz entrante en el

s

polarización (que significa perpendicular a plano de incidencia - y así en este ejemplo se convierte en " polarización paralela" al eje óptico, por lo tanto se llama rayos extraordinarios) ve un índice refractivo mayor que la luz en el

p

polarización (que se convierte en rayo ordinario porque " polarización perpendicular" al eje óptico) y así

s

El rayo de polarización está experimentando una mayor refracción al entrar y salir del cristal.

Birefringencia es la propiedad óptica de un material que tiene un índice de refracción que depende de la polarización y dirección de propagación de la luz. Se dice que estos materiales ópticamente anisotrópicos son birrefringentes (o birrefringentes). La birrefringencia a menudo se cuantifica como la diferencia máxima entre los índices de refracción exhibidos por el material. Los cristales con estructuras cristalinas no cúbicas suelen ser birrefringentes, al igual que los plásticos bajo tensión mecánica.

La birrefringencia es responsable del fenómeno de la doble refracción por el cual un rayo de luz, cuando incide sobre un material birrefringente, se divide por polarización en dos rayos que toman caminos ligeramente diferentes. Este efecto fue descrito por primera vez por el científico danés Rasmus Bartholin en 1669, quien lo observó en calcita, un cristal que tiene una de las birrefringencias más fuertes. En el siglo XIX Augustin-Jean Fresnel describió el fenómeno en términos de polarización, entendiendo la luz como una onda con componentes de campo en polarización transversal (perpendicular a la dirección del vector de onda). La birrefringencia juega un papel importante en el logro de la coincidencia de fase para una serie de procesos ópticos no lineales.

Explicación

Imagen doblemente refractada como se ve a través de un cristal calcita, visto a través de un filtro polarizador giratorio que ilustra los estados de polarización opuestos de las dos imágenes.

A continuación se presenta una descripción matemática de la propagación de ondas en un medio birrefringente. A continuación se presenta una explicación cualitativa del fenómeno.

Materiales uniaxiales

El tipo más simple de birrefringencia se describe como uniaxial, lo que significa que hay una sola dirección que gobierna la anisotropía óptica, mientras que todas las direcciones perpendiculares a ella (o en un ángulo determinado) son ópticamente equivalentes. Por lo tanto, la rotación del material alrededor de este eje no cambia su comportamiento óptico. Esta dirección especial se conoce como el eje óptico del material. La luz que se propaga paralela al eje óptico (cuya polarización es siempre perpendicular al eje óptico) se rige por un índice de refracción $n o$ (para "ordinario") independientemente de su polarización específica. Para los rayos con cualquier otra dirección de propagación, existe una polarización lineal que sería perpendicular al eje óptico, y un rayo con esa polarización se denomina rayo ordinario y se rige por el mismo valor de índice de refracción n_o. Para un rayo que se propaga en la misma dirección pero con una polarización perpendicular a la del rayo ordinario, la dirección de polarización será en parte en la dirección del eje óptico, y este rayo extraordinario estará gobernado por un diferente índice de refracción dependiente de la dirección. Debido a que el índice de refracción depende de la polarización, cuando la luz no polarizada ingresa a un material birrefringente uniaxial, se divide en dos haces que viajan en diferentes direcciones, uno con la polarización del rayo ordinario y el otro con la polarización del rayo extraordinario. El rayo ordinario siempre experimentará un índice de refracción de $n o$ , mientras que el índice de refracción del rayo extraordinario estará en entre $n o$ y $n e$ , dependiendo de la dirección del rayo como lo describe el elipsoide índice. La magnitud de la diferencia se cuantifica por la birrefringencia:

{displaystyle Delta n=n_{mathrm {e} }-n_{mathrm {o} },.}

La propagación (así como el coeficiente de reflexión) del rayo ordinario se describe simplemente mediante $n o$ como si no hubo birrefringencia involucrada. El extraordinario rayo, como su nombre indica, se propaga a diferencia de cualquier onda en un material óptico isotrópico. Su refracción (y reflexión) en una superficie se puede entender utilizando el índice de refracción efectivo (un valor entre $n o$ y $n e$ ). Su flujo de potencia (dado por el vector de Poynting) no está exactamente en la dirección del vector de onda. Esto provoca un cambio adicional en ese haz, incluso cuando se lanza con una incidencia normal, como se observa popularmente al usar un cristal de calcita como se muestra en la fotografía de arriba. La rotación del cristal de calcita hará que una de las dos imágenes, la del rayo extraordinario, gire ligeramente alrededor de la del rayo ordinario, que permanece fija.

Cuando la luz se propaga a lo largo del eje óptico o en forma ortogonal al mismo, no se produce ese desplazamiento lateral. En el primer caso, ambas polarizaciones son perpendiculares al eje óptico y ven el mismo índice de refracción efectivo, por lo que no existe un rayo extraordinario. En el segundo caso, el rayo extraordinario se propaga a una velocidad de fase diferente (correspondiente a $n e$ ) pero aún tiene el poder flujo en la dirección del vector de onda. Un cristal con su eje óptico en esta orientación, paralelo a la superficie óptica, puede usarse para crear una placa de ondas, en la que no hay distorsión de la imagen sino una modificación intencional del estado de polarización de la onda incidente. Por ejemplo, una placa de cuarto de onda se usa comúnmente para crear polarización circular a partir de una fuente polarizada linealmente.

Materiales biaxiales

El caso de los llamados cristales biaxiales es sustancialmente más complejo. Estos se caracterizan por tres índices de refracción correspondientes a los tres ejes principales del cristal. Para la mayoría de las direcciones de los rayos, ambas polarizaciones se clasificarían como rayos extraordinarios pero con diferentes índices de refracción efectivos. Al ser ondas extraordinarias, la dirección del flujo de potencia no es idéntica a la dirección del vector de onda en ninguno de los dos casos.

Los dos índices de refracción se pueden determinar usando los elipsoides de índice para direcciones dadas de la polarización. Tenga en cuenta que para los cristales biaxiales, el elipsoide de índice no será un elipsoide de revolución ("esferoide"), sino que se describe mediante tres índices de refracción de principio desigual $n α$ , $n β$ y n_γ. Por lo tanto, no hay un eje alrededor del cual una rotación deje invariantes las propiedades ópticas (como ocurre con los cristales uniaxiales cuyo índice elipsoide es un esferoide).

Aunque no existe un eje de simetría, existen dos ejes ópticos o binormales que se definen como direcciones a lo largo de las cuales la luz puede propagarse sin birrefringencia, es decir, direcciones a lo largo de las cuales la longitud de onda es independiente de la polarización. Por esta razón, los materiales birrefringentes con tres índices de refracción distintos se denominan biaxiales. Además, hay dos ejes distintos conocidos como ejes de rayos ópticos o birradiales a lo largo de los cuales la velocidad de grupo de la luz es independiente de la polarización.

Doble refracción

Cuando un rayo de luz arbitrario golpea la superficie de un material birrefringente con una incidencia no normal, el componente de polarización normal al eje óptico (rayo ordinario) y la otra polarización lineal (rayo extraordinario) se refractarán hacia caminos algo diferentes. La luz natural, llamada luz no polarizada, consta de cantidades iguales de energía en dos polarizaciones ortogonales cualesquiera. Incluso la luz polarizada linealmente tiene algo de energía en ambas polarizaciones, a menos que esté alineada a lo largo de uno de los dos ejes de birrefringencia. Según la ley de refracción de Snell, los dos ángulos de refracción se rigen por el índice de refracción efectivo de cada una de estas dos polarizaciones. Esto se ve claramente, por ejemplo, en el prisma de Wollaston que separa la luz entrante en dos polarizaciones lineales utilizando prismas compuestos de un material birrefringente como la calcita.

Los diferentes ángulos de refracción para los dos componentes de polarización se muestran en la figura en la parte superior de esta página, con el eje óptico a lo largo de la superficie (y perpendicular al plano de incidencia), de modo que el ángulo de refracción es diferente para la polarización $p$ (el "rayo ordinario" en este caso, que tiene su vector eléctrico perpendicular a la óptica eje) y la polarización $s$ (el "rayo extraordinario" en este caso, cuya polarización del campo eléctrico incluye un componente en la dirección del eje óptico). Además, se produce una forma distinta de doble refracción, incluso con incidencia normal, en los casos en que el eje óptico no está a lo largo de la superficie de refracción (ni exactamente normal a ella); en este caso, la polarización dieléctrica del material birrefringente no es exactamente en la dirección del campo eléctrico de la onda del rayo extraordinario. La dirección del flujo de energía (dada por el vector de Poynting) para esta onda no homogénea está en un ángulo finito desde la dirección del vector de onda, lo que da como resultado una separación adicional entre estos haces. Entonces, incluso en el caso de incidencia normal, donde uno calcularía el ángulo de refracción como cero (según la ley de Snell, independientemente del índice de refracción efectivo), la energía del rayo extraordinario se propaga en un ángulo. Si sale del cristal por una cara paralela a la de entrada, se restaurará la dirección de ambos rayos, pero dejando un desplazamiento entre los dos haces. Esto se observa comúnmente utilizando un trozo de calcita cortado a lo largo de su hendidura natural, colocado sobre un papel con escritura, como en las fotografías anteriores. Por el contrario, las placas de onda tienen específicamente su eje óptico a lo largo de la superficie de la placa, de modo que con una incidencia (aproximadamente) normal no habrá cambio en la imagen de la luz de cualquier polarización, simplemente una fase relativa cambio entre las dos ondas de luz.

Terminología

Comparación de la birefringencia positiva y negativa: En birefringencia positiva (figura 1), el rayo ordinario (p-polarisation en este caso w.r.t. plano de incidencia de color magenta), perpendicular al eje óptico A es el rayo rápido (F) mientras que el rayo extraordinario (s-polarisation en este caso y paralelo al eje óptico A) es el rayo lento (S). En la birefringencia negativa (figura 2), es el revés.

Gran parte del trabajo relacionado con la polarización precedió a la comprensión de la luz como una onda electromagnética transversal, y esto ha afectado parte de la terminología en uso. Los materiales isotrópicos tienen simetría en todas las direcciones y el índice de refracción es el mismo para cualquier dirección de polarización. Un material anisotrópico se denomina "birrefringente" porque generalmente refractará un solo rayo entrante en dos direcciones, que ahora entendemos corresponden a las dos polarizaciones diferentes. Esto es cierto para un material uniaxial o biaxial.

En un material uniaxial, un rayo se comporta de acuerdo con la ley de refracción normal (que corresponde al índice de refracción ordinario), por lo que un rayo entrante con una incidencia normal permanece normal a la superficie de refracción. Como se explicó anteriormente, la otra polarización puede desviarse de la incidencia normal, lo que no se puede describir usando la ley de refracción. Esto se hizo conocido como el rayo extraordinario. Los términos "ordinario" y "extraordinario" todavía se aplican a los componentes de polarización perpendiculares y no perpendiculares al eje óptico respectivamente, incluso en los casos en los que no se trata de doble refracción.

Un material se denomina uniaxial cuando tiene una sola dirección de simetría en su comportamiento óptico, lo que denominamos eje óptico. También resulta ser el eje de simetría del elipsoide índice (un esferoide en este caso). El índice elipsoide aún podría describirse de acuerdo con los índices de refracción, $n α$ , $n β$ y $n γ$ , a lo largo de tres ejes de coordenadas; en este caso dos son iguales. Entonces, si $n α = n β$ correspondiente a la Ejes $x$ y $y$ , entonces el índice extraordinario es $n γ$ correspondiente al $z$ eje, que también se denomina eje óptico en este caso.

Los materiales en los que los tres índices de refracción son diferentes se denominan biaxiales y el origen de este término es más complicado y, con frecuencia, se malinterpreta. En un cristal uniaxial, diferentes componentes de polarización de un haz viajarán a diferentes velocidades de fase, excepto los rayos en la dirección de lo que llamamos el eje óptico. Por lo tanto, el eje óptico tiene la propiedad particular de que los rayos en esa dirección no presentan birrefringencia, y todas las polarizaciones en dicho haz experimentan el mismo índice de refracción. Es muy diferente cuando los tres índices de refracción principales son todos diferentes; entonces un rayo entrante en cualquiera de esas direcciones principales seguirá encontrando dos índices de refracción diferentes. Pero resulta que hay dos direcciones especiales (en ángulo con respecto a los 3 ejes) donde los índices de refracción para diferentes polarizaciones vuelven a ser iguales. Por esta razón, estos cristales fueron designados como biaxiales, con los dos "ejes" en este caso se refiere a direcciones de rayos en las que la propagación no experimenta birrefringencia.

Rayos rápidos y lentos

En un material birrefringente, una onda consta de dos componentes de polarización que generalmente se rigen por diferentes índices de refracción efectivos. El llamado rayo lento es el componente para el cual el material tiene el índice de refracción efectivo más alto (velocidad de fase más lenta), mientras que el rayo rápido es el que tiene un índice de refracción efectivo más bajo. índice de refracción. Cuando un haz incide sobre dicho material desde el aire (o cualquier material con un índice de refracción más bajo), el rayo lento se refracta más hacia el normal que el rayo rápido. En la figura de ejemplo en la parte superior de esta página, se puede ver que el rayo refractado con polarización s (con su vibración eléctrica a lo largo de la dirección del eje óptico, llamado rayo extraordinario) es el rayo lento en un escenario dado.

Usando una losa delgada de ese material con una incidencia normal, se implementaría una placa ondulada. En este caso, esencialmente no hay separación espacial entre las polarizaciones, la fase de la onda en la polarización paralela (el rayo lento) se retrasará con respecto a la polarización perpendicular. Estas direcciones se conocen como el eje lento y el eje rápido de la placa de ondas.

Positiva o negativa

(feminine)

La birrefringencia uniaxial se clasifica como positiva cuando el índice extraordinario de refracción $n e$ es mayor que el índice ordinario n_o. La birrefringencia negativa significa que $Δ n = n e - n o$ es menor que cero. En otras palabras, la polarización de la onda rápida (o lenta) es perpendicular al eje óptico cuando la birrefringencia del cristal es positiva (o negativa, respectivamente). En el caso de cristales biaxiales, los tres ejes principales tienen diferentes índices de refracción, por lo que esta designación no se aplica. Pero para cualquier dirección de rayo definida, también se pueden designar las polarizaciones de rayo rápidas y lentas.

Fuentes de birrefringencia óptica

Vista desde debajo del Sky Pool, Londres con fringes de colores debido a la birefringencia de estrés de la claraboya parcialmente polarizada a través de un polarizador circular

Si bien la fuente más conocida de birrefringencia es la entrada de luz en un cristal anisotrópico, puede dar como resultado materiales ópticamente isotrópicos de varias maneras:

Stress birefringence resultados cuando un sólido normalmente isotrópico es es estresado y deformado (es decir, estirado o doblado) causando una pérdida de isotropía física y consecuentemente una pérdida de isotropía en el tensor de la permittividad del material;
Forma birefringence, mediante la cual elementos de estructura como varillas, con un índice refractivo, se suspenden en un medio con un índice refractivo diferente. Cuando el espaciamiento de la rejilla es mucho más pequeño que una longitud de onda, tal estructura se describe como un metamaterial;
Por el efecto Pockels o Kerr, mediante el cual un campo eléctrico aplicado induce la birefringencia debido a la óptica no lineal;
Por el yo o la alineación forzada en finas películas de moléculas anfílicas como lípidos, algunos surfactantes o cristales líquidos;
Birefringencia circular tiene lugar generalmente no en materiales que son anisotrópicos sino más bien los que son chiral. Esto puede incluir líquidos donde hay un exceso enantiomérico de una molécula quiral, es decir, uno que tiene isómeros estéreos;
Por el efecto Faraday, donde un campo magnético longitudinal hace que algunos materiales se conviertan circular birefringent (con índices ligeramente diferentes de refracción para polarizaciones circulares izquierda y derecha), similares a la actividad óptica mientras se aplica el campo.

Materiales birrefringentes comunes

Rodeado entre polarizadores cruzados, exhibiciones de poliestireno transparentes birefringencia dependiente de longitud de onda

Los materiales birrefringentes mejor caracterizados son los cristales. Debido a sus estructuras cristalinas específicas, sus índices de refracción están bien definidos. Dependiendo de la simetría de una estructura cristalina (determinada por uno de los 32 posibles grupos de puntos cristalográficos), los cristales en ese grupo pueden ser forzados a ser isotrópicos (no birrefringentes), a tener simetría uniaxial, o ninguno, en cuyo caso es un cristal biaxial. Las estructuras cristalinas que permiten la birrefringencia uniaxial y biaxial se indican en las dos tablas siguientes, que enumeran los dos o tres índices de refracción principales (a una longitud de onda de 590 nm) de algunos cristales más conocidos.

Además de la birrefringencia inducida bajo tensión, muchos plásticos obtienen una birrefringencia permanente durante la fabricación debido a las tensiones que se "congelan en" debido a las fuerzas mecánicas presentes cuando se moldea o extruye el plástico. Por ejemplo, el celofán ordinario es birrefringente. Los polarizadores se utilizan habitualmente para detectar tensión, ya sea aplicada o congelada, en plásticos como el poliestireno y el policarbonato.

La fibra de algodón es birrefringente debido a los altos niveles de material celulósico en la pared celular secundaria de la fibra que está alineada direccionalmente con las fibras de algodón.

La microscopía de luz polarizada se usa comúnmente en tejidos biológicos, ya que muchos materiales biológicos tienen birrefringencia lineal o circular. El colágeno, que se encuentra en cartílagos, tendones, huesos, córneas y varias otras áreas del cuerpo, es birrefringente y comúnmente se estudia con microscopía de luz polarizada. Algunas proteínas también son birrefringentes y exhiben birrefringencia de forma.

Las inevitables imperfecciones de fabricación en la fibra óptica conducen a la birrefringencia, que es una de las causas de la ampliación del pulso en las comunicaciones de fibra óptica. Estas imperfecciones pueden ser geométricas (falta de simetría circular) o debidas a una tensión lateral desigual aplicada a la fibra óptica. La birrefringencia se introduce intencionadamente (por ejemplo, haciendo que la sección transversal sea elíptica) para producir fibras ópticas que mantengan la polarización. La birrefringencia se puede inducir (¡o corregir!) en las fibras ópticas doblándolas, lo que provoca anisotropía en la forma y la tensión dado el eje alrededor del cual se dobla y el radio de curvatura.

Además de la anisotropía en la polarizabilidad eléctrica que hemos estado discutiendo, la anisotropía en la permeabilidad magnética podría ser una fuente de birrefringencia. En frecuencias ópticas, no existe una polarizabilidad magnética medible (μ=μ0) de los materiales naturales, por lo que esta no es una fuente real de birrefringencia en longitudes de onda ópticas.

Cristales Uniaxiales, a 590 nm
Material	Sistema de cristal	$n o$	$n e$	$Δ n$
bárbaro de bario BaB₂O₄	Trigonal	1.6776	1.5534	−0.1242
Beryl Be₃Al₂(SiO₃)₆	Hexagonal	1.602	1.557	0.0−45
calcite CaCO₃	Trigonal	1.658	1.486	−0.172
hielo H₂O	Hexagonal	1.3090	1.3104	+0.0014
lithium niobate LiNbO₃	Trigonal	2.272	2.187	0.0−85
fluoruro de magnesio MgF₂	Tetragonal	1.380	1.385	+0.006
quartz SiO₂	Trigonal	1.544	1.553	+0.009
ruby Al₂O₃	Trigonal	1.770	1.762	0.00−8
rutilo TiO₂	Tetragonal	2.616	2.903	+0.287
sapphire Al₂O₃	Trigonal	1.768	1.760	0.00−8
carburo de silicio SiC	Hexagonal	2.647	2.693	+0.046
tourmaline (silicato complejo)	Trigonal	1.669	1.638	0.0−31
zircon, alta ZrSiO₄	Tetragonal	1.960	2.015	+0.055
zircon, bajo ZrSiO₄	Tetragonal	1.920	1.967	+0.047

Cristales biaxiales, a 590 nm
Material	Sistema de cristal	$n α$	$n β$	$n γ$
Borax Na₂(B)₄O₅)(OH)₄·8H₂O	Monoclinic	1.447	1.469	1.472
sal epsom MgSO₄·7H₂O	Monoclinic	1.433	1.455	1.461
mica, biotite K(Mg,Fe)₃(AlSi)₃O₁₀(F,OH)₂	Monoclinic	1.595	1.640	1.640
mica, muscovite KAl₂(AlSi)₃O₁₀(F,OH)₂	Monoclinic	1.563	1.596	1.601
olivine (Mg,Fe)₂SiO₄	Orthorhombic	1.640	1.660	1.680
perovskite CaTiO₃	Orthorhombic	2.300	2.340	2.380
topaz Al₂SiO₄(F,OH)₂	Orthorhombic	1.618	1.620	1.627
ulexite NaCaB₅O₆(OH)₆·5H₂O	Triclinic	1.490	1.510	1.520

Medición

La birrefringencia y otros efectos ópticos basados en la polarización (como la rotación óptica y el dicroísmo lineal o circular) se pueden observar midiendo cualquier cambio en la polarización de la luz que atraviesa el material. Estas medidas se conocen como polarimetría. Los microscopios de luz polarizada, que contienen dos polarizadores que están a 90° entre sí a cada lado de la muestra, se utilizan para visualizar la birrefringencia, ya que la luz que no ha sido afectada por la birrefringencia permanece en una polarización que es totalmente rechazada por el segundo polarizador ("analizador"). La adición de placas de cuarto de onda permite el examen con luz polarizada circularmente. La determinación del cambio en el estado de polarización utilizando un aparato de este tipo es la base de la elipsometría, mediante la cual se pueden medir las propiedades ópticas de las superficies especulares a través de la reflexión.

Se han realizado mediciones de birrefringencia con sistemas de modulación de fase para examinar el comportamiento de flujo transitorio de los fluidos. La birrefringencia de las bicapas lipídicas se puede medir mediante interferometría de polarización dual. Esto proporciona una medida del grado de orden dentro de estas capas de fluidos y cómo se interrumpe este orden cuando la capa interactúa con otras biomoléculas.

Para la medida 3D de la birrefringencia se puede utilizar una técnica basada en la tomografía holográfica [1].

Aplicaciones

Pantalla reflectante de cristal líquido retorcido-nemático. La luz reflejada por la superficie (6) (o proveniente de la luz trasera) es horizontalmente polarizada (5) y pasa a través del modulador de cristal líquido (3) emparejado entre capas transparentes (2, 4) con electrodos. La luz polarizada horizontalmente está bloqueada por el polarizador verticalmente orientado (1), excepto cuando su polarización ha sido rota por el cristal líquido (3), apareciendo brillante al espectador.

La birrefringencia se utiliza en muchos dispositivos ópticos. Las pantallas de cristal líquido, el tipo más común de pantalla plana, hacen que sus píxeles se vuelvan más claros o más oscuros a través de la rotación de la polarización (birrefringencia circular) de la luz polarizada linealmente, tal como se ve a través de un polarizador de hoja en la superficie de la pantalla.. De manera similar, los moduladores de luz modulan la intensidad de la luz a través de una birrefringencia inducida eléctricamente de luz polarizada seguida de un polarizador. El filtro de Lyot es un filtro espectral de banda estrecha especializado que emplea la dependencia de la longitud de onda de la birrefringencia. Los waveplates son finas láminas birrefringentes muy utilizadas en determinados equipos ópticos para modificar el estado de polarización de la luz que los atraviesa.

La birrefringencia también juega un papel importante en la generación de segundo armónico y otros componentes ópticos no lineales, ya que los cristales utilizados para este propósito casi siempre son birrefringentes. Al ajustar el ángulo de incidencia, el índice de refracción efectivo del rayo extraordinario se puede ajustar para lograr la coincidencia de fase, que se requiere para la operación eficiente de estos dispositivos.

Medicina

La birrefringencia se utiliza en diagnósticos médicos. Un accesorio poderoso que se usa con los microscopios ópticos es un par de filtros polarizadores cruzados. La luz de la fuente se polariza en la dirección $x$ después de pasar por el primer polarizador, pero encima de la muestra hay un polarizador (un poco -llamado analizador) orientado en la dirección $y$ . Por lo tanto, el analizador no aceptará la luz de la fuente y el campo aparecerá oscuro. Las áreas de la muestra que poseen birrefringencia generalmente acoplarán parte de la $x$ -luz polarizada en el estilo $y$ polarización; estas áreas aparecerán brillantes contra el fondo oscuro. Las modificaciones a este principio básico pueden diferenciar entre birrefringencia positiva y negativa.

Cristales de Gout y pseudogout vistos bajo un microscopio con un compensador rojo, que retarda la luz roja en una orientación (etiquetado " eje de luz polarizada"). Cristales de Urate (izquierda imagen) en gota aparecen amarillo cuando su eje largo es paralelo al eje de transmisión lenta del compensador rojo y aparecen azules cuando perpendicular. Los colores opuestos se ven en la enfermedad de deposición de cristal de dihidrato de pirofosfato de calcio (pseudogout, derecho imagen): azul cuando paralelo y amarillo cuando perpendicular.

Por ejemplo, la aspiración con aguja de líquido de una articulación gotosa revelará cristales de urato monosódico con birrefringencia negativa. Los cristales de pirofosfato de calcio, por el contrario, muestran una birrefringencia positiva débil. Los cristales de urato aparecen amarillos y los cristales de pirofosfato de calcio aparecen azules cuando sus ejes largos se alinean paralelos al de un filtro compensador rojo, o se agrega a la muestra un cristal de birrefringencia conocida para comparar.

La birrefringencia del tejido dentro de un muslo humano vivo se midió mediante tomografía de coherencia óptica sensible a la polarización a 1310 nm y una fibra monomodo en una aguja. La birrefringencia del músculo esquelético fue Δn = 1,79 × 10⁻³± 0,18×10⁻³, adiposo Δn = 0,07 × 10⁻³ ± 0,50 × 10⁻³, aponeurosis superficial Δn = 5,08 × 10⁻³ ± 0,73 × 10⁻³ y tejido intersticial Δn = 0,65 ×10⁻³ ±0,39 × 10⁻³. Estas medidas pueden ser importantes para el desarrollo de un método menos invasivo para diagnosticar la distrofia muscular de Duchenne.

La birrefringencia se puede observar en las placas amiloides, como las que se encuentran en los cerebros de los pacientes con Alzheimer cuando se tiñen con un colorante como el rojo Congo. Las proteínas modificadas, como las cadenas ligeras de inmunoglobulina, se acumulan de forma anormal entre las células, formando fibrillas. Múltiples pliegues de estas fibras se alinean y adoptan una conformación de hoja plegada beta. El colorante rojo congo se intercala entre los pliegues y, cuando se observa bajo luz polarizada, provoca birrefringencia.

En oftalmología, la detección de birrefringencia retiniana binocular de las fibras de Henle (axones fotorreceptores que van radialmente hacia afuera desde la fóvea) proporciona una detección confiable del estrabismo y posiblemente también de la ambliopía anisometrópica. En sujetos sanos, el retardo máximo inducido por la capa de fibras de Henle es de aproximadamente 22 grados a 840 nm. Además, la polarimetría láser de barrido utiliza la birrefringencia de la capa de fibras del nervio óptico para cuantificar indirectamente su espesor, lo que resulta útil en la evaluación y seguimiento del glaucoma. Las mediciones de tomografía de coherencia óptica sensible a la polarización obtenidas de sujetos humanos sanos han demostrado un cambio en la birrefringencia de la capa de fibras nerviosas de la retina en función de la ubicación alrededor de la cabeza del nervio óptico. La misma tecnología se aplicó recientemente en la retina humana viva para cuantificar las propiedades de polarización de las paredes de los vasos cerca del nervio óptico.

Las características de birrefringencia en las cabezas de los espermatozoides permiten la selección de espermatozoides para la inyección intracitoplasmática de espermatozoides. Del mismo modo, zona image utiliza birrefringencia en ovocitos para seleccionar aquellos con mayores posibilidades de éxito en el embarazo. La birrefringencia de partículas biopsiadas de nódulos pulmonares indica silicosis.

Los dermatólogos usan dermatoscopios para ver las lesiones de la piel. Los dermoscopios utilizan luz polarizada, lo que permite al usuario ver las estructuras cristalinas correspondientes al colágeno dérmico de la piel. Estas estructuras pueden aparecer como líneas blancas brillantes o formas de rosetas y solo son visibles bajo dermatoscopia polarizada.

Birefringencia inducida por estrés

Patrón de color de una caja de plástico con estrés mecánico "congelado en" colocado entre dos polarizadores cruzados

Los sólidos isotrópicos no presentan birrefringencia. Cuando están bajo estrés mecánico, se produce birrefringencia. El estrés se puede aplicar externamente o se "congela en" después de que un artículo de plástico birrefringente se enfríe después de que se fabrique mediante moldeo por inyección. Cuando una muestra de este tipo se coloca entre dos polarizadores cruzados, se pueden observar patrones de color, porque la polarización de un rayo de luz gira después de pasar a través de un material birrefringente y la cantidad de rotación depende de la longitud de onda. El método experimental llamado fotoelasticidad utilizado para analizar la distribución de tensiones en sólidos se basa en el mismo principio. Ha habido investigaciones recientes sobre el uso de birrefringencia inducida por tensión en una placa de vidrio para generar un vórtice óptico y haces completos de Poincaré (haces ópticos que tienen todos los estados de polarización posibles en una sección transversal).

Otros casos de birrefringencia

Rutilo Birefringent observado en diferentes polarizaciones utilizando un polarizador giratorio (o analizador)

Se observa birrefringencia en materiales elásticos anisotrópicos. En estos materiales, las dos polarizaciones se dividen según sus índices de refracción efectivos, que también son sensibles al estrés.

El estudio de la birrefringencia en ondas transversales que viajan a través de la Tierra sólida (el núcleo líquido de la Tierra no admite ondas transversales) se usa ampliamente en sismología.

La birrefringencia se usa ampliamente en mineralogía para identificar rocas, minerales y piedras preciosas.

Teoría

Superficie del permitido k vectores para una frecuencia fija para un cristal biaxial (ver Eq. 7).

En un medio isotrópico (incluido el espacio libre), el llamado desplazamiento eléctrico ( $D$ ) es simplemente proporcional al campo eléctrico ( $E$ ) según $D = ɛ E$ donde la permitividad del material $ε$ es solo un escalar (e igual a $n 2 ε0$ donde $n$ es el índice de refracción). En un material anisotrópico que exhibe birrefringencia, la relación entre $D$ y $E$ ahora debe describirse usando una ecuación tensorial:

{displaystyle mathbf {D} ={boldsymbol {varepsilon }}mathbf {E} }

()1)

donde $ε$ ahora es un tensor de permitividad de 3 × 3. Suponemos linealidad y ausencia de permeabilidad magnética en el medio: $μ = μ0$ . El campo eléctrico de una onda plana de frecuencia angular $ω$ se puede escribir en la forma general:

{displaystyle mathbf {E} =mathbf {E} _{0}e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)}}

()2)

donde $r$ es el vector de posición, $t$ es tiempo, y $E 0$ es un vector que describe el campo eléctrico en $r = 0$ , $t = 0$ . Luego encontraremos los posibles vectores de onda $k$ . Combinando las ecuaciones de Maxwell para $\nabla \times E$ y $\nabla \times H$ , podemos eliminar $H = 1 / μ 0 B$ para obtener:

{displaystyle -nabla times nabla times mathbf {E} =mu _{0}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}mathbf {D} }

()3a)

Sin cargos gratuitos, la ecuación de Maxwell para la divergencia de $D$ desaparece:

{displaystyle nabla cdot mathbf {D} =0}

()3b)

Podemos aplicar la identidad vectorial $\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla(\nabla \cdot A) - \nabla2A$ al lado izquierdo de la eq. 3a, y usa la dependencia espacial en la que cada diferenciación en $x$ (por ejemplo) da como resultado una multiplicación por $ik x$ para encontrar:

{displaystyle -nabla times nabla times mathbf {E} =(mathbf {k} cdot mathbf {E})mathbf {k} -(mathbf {k} cdot mathbf {k})mathbf {E} }

()3c)

El lado derecho de eq. 3a se puede expresar en términos de $E$ mediante la aplicación del tensor de permitividad $ε$ y observando que la diferenciación en el tiempo da como resultado la multiplicación por $- iω$ , eq. 3a entonces se convierte en:

{displaystyle (-mathbf {k} cdot mathbf {k})mathbf {E} +(mathbf {k} cdot mathbf {E})mathbf {k} =-mu _{0}omega ^{2}({boldsymbol {varepsilon }}mathbf {E})}

()4a)

Aplicando la regla de diferenciación a eq. 3b encontramos:

{displaystyle mathbf {k} cdot mathbf {D} =0}

()4b)

Ec. 4b indica que $D$ es ortogonal a la dirección del vector de onda $k$ , aunque eso ya no es generalmente cierto para $E$ como sería el caso en un medio isotrópico. Ec. 4b no será necesario para los pasos posteriores en la siguiente derivación.

Encontrar los valores permitidos de $k$ para un determinado $ω$ es más fácil usando coordenadas cartesianas con $x$ , $y$ y $z$ ejes elegidos en las direcciones de los ejes de simetría del cristal (o simplemente eligiendo $z$ en la dirección del eje óptico de un cristal uniaxial), lo que da como resultado una matriz diagonal para el tensor de permitividad $ε$ :

{displaystyle mathbf {varepsilon } =varepsilon _{0}{begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\0&n_{y}^{2}&0\0&0&n_{z}^{2}end{bmatrix}}}

()4c)

donde los valores de la diagonal son cuadrados de los índices de refracción para las polarizaciones a lo largo de los tres ejes principales $x$ , $y$ y $z$ . Con $ε$ en esta forma, y sustituyendo en la velocidad de la luz $c$ usando $c 2 = 1 / μ 0 ε 0$ , el componente $x$ de la ecuación vectorial eq. 4a se convierte en

left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}right)E_{x}+k_{x}^{2}E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{frac {omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}E_{x}

()5a)

donde $E x$ , $E y$ , $E z$ son los componentes de $E$ (en cualquier posición dada en el espacio y el tiempo) y $k x$ , $k y$ , $k z$ son los componentes de $k$ . Reorganizando, podemos escribir (y de manera similar para $y$ y $z$ componentes de la ecuación 4a)

left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{frac {omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0

()5b)

k_{x}k_{y}E_{x}+left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{frac {omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0

()5c)

k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{frac {omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}right)E_{z}=0

()5d)

Este es un conjunto de ecuaciones lineales en $E x$ , $E y$ , $E z$ , por lo que puede tener una solución no trivial (es decir, una que no sea $E = 0$ ) siempre que el siguiente determinante sea cero:

{displaystyle {begin{vmatrix}left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{frac {omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\k_{x}k_{y}&left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{frac {omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}right)&k_{y}k_{z}\k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{frac {omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}right)end{vmatrix}}=0}

()6)

Evaluación del determinante Eq. 6y reorganización de los términos según los poderes de ${displaystyle {frac {omega ^{2}}{c^{2}}}}$ Los términos constantes cancelan. Después de eliminar el factor común ${displaystyle {frac {omega ^{2}}{c^{2}}}}$ de los términos restantes, obtenemos

{displaystyle {frac {omega ^{4}}{c^{4}}}-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}left({frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}right)+left({frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}}}right)left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}right)=0}

()7)

En el caso de un material uniaxial, elegir el eje óptico para estar en la dirección $z$ para que $n x = n y = n o$ y $n z = n e$ , esta expresión se puede factorizar en

{displaystyle left({frac {k_{x}^{2}}{n_{mathrm {o} }^{2}}}+{frac {k_{y}^{2}}{n_{mathrm {o} }^{2}}}+{frac {k_{z}^{2}}{n_{mathrm {o} }^{2}}}-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)left({frac {k_{x}^{2}}{n_{mathrm {e} }^{2}}}+{frac {k_{y}^{2}}{n_{mathrm {e} }^{2}}}+{frac {k_{z}^{2}}{n_{mathrm {o} }^{2}}}-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)=0}

()8)

Configurando cualquiera de los factores en eq. 8 a cero definirá una superficie elipsoidal en el espacio de los vectores de onda $k$ que están permitidos para un $ω$ . El primer factor siendo cero define una esfera; esta es la solución para los llamados rayos ordinarios, en los que el índice de refracción efectivo es exactamente $n o$ independientemente del dirección de $k$ . El segundo define un esferoide simétrico sobre el eje $z$ . Esta solución corresponde a los llamados rayos extraordinarios en los que el índice de refracción efectivo se encuentra entre $n o$ y $n e$ , dependiendo de la dirección de $k . Por lo tanto, para cualquier dirección de propagación arbitraria (que no sea en la dirección del eje óptico), se permiten dos vectores de onda distintos k correspondientes a las polarizaciones de los rayos ordinarios y extraordinarios.$

Para un material biaxial se puede describir una condición similar pero más complicada en las dos ondas; el lugar geométrico de los vectores $k$ permitidos (la superficie del vector de onda) es una superficie de dos hojas de cuarto grado, de modo que en una dirección dada, generalmente hay dos $k$ vectores permitidos (y sus opuestos). Por inspección se puede ver que eq. 6 generalmente se cumple para dos valores positivos de $ω$ . O bien, para una frecuencia óptica específica $ω$ y una dirección normal a los frentes de onda $k / | k |$ , se cumple para dos números de onda (o constantes de propagación) $| k |$ (y por lo tanto índices de refracción efectivos) correspondientes a la propagación de dos polarizaciones lineales en esa dirección.

Cuando esas dos constantes de propagación son iguales, el índice de refracción efectivo es independiente de la polarización y, por lo tanto, una onda que viaja en esa dirección en particular no encuentra birrefringencia. Para un cristal uniaxial, este es el eje óptico, la dirección ±z según la construcción anterior. Pero cuando los tres índices de refracción (o permitividades), $n x$ , $n y$ y $n z$ son distintos, se puede demostrar que hay exactamente dos de esas direcciones, donde se tocan las dos láminas de la superficie del vector de onda; estas direcciones no son del todo obvias y no se encuentran a lo largo de ninguno de los tres ejes principales ( $x$ , $y$ , $z$ según la convención anterior). Históricamente, eso explica el uso del término "biaxial" para tales cristales, ya que la existencia de exactamente dos direcciones especiales de este tipo (consideradas "ejes") se descubrió mucho antes de que se entendieran físicamente la polarización y la birrefringencia. Estas dos direcciones especiales generalmente no son de particular interés; los cristales biaxiales se especifican más bien por sus tres índices de refracción correspondientes a los tres ejes de simetría.

Un estado general de polarización lanzado al medio siempre se puede descomponer en dos ondas, una en cada una de esas dos polarizaciones, que luego se propagarán con diferentes números de onda $| k |$ . La aplicación de la fase diferente de propagación a esas dos ondas sobre una distancia de propagación especificada resultará en un estado de polarización neta generalmente diferente en ese punto; este es el principio de la placa de ondas, por ejemplo. Con una placa de ondas, no hay desplazamiento espacial entre los dos rayos ya que sus vectores $k$ todavía están en la misma dirección. Eso es cierto cuando cada una de las dos polarizaciones es normal al eje óptico (el rayo ordinario) o paralela a él (el rayo extraordinario).

En el caso más general, existe una diferencia no solo en la magnitud sino también en la dirección de los dos rayos. Por ejemplo, la fotografía a través de un cristal de calcita (parte superior de la página) muestra una imagen desplazada en las dos polarizaciones; esto se debe a que el eje óptico no es ni paralelo ni normal a la superficie del cristal. E incluso cuando el eje óptico es paralelo a la superficie, esto ocurrirá para ondas lanzadas con una incidencia no normal (como se muestra en la figura explicativa). En estos casos, los dos vectores $k$ se pueden encontrar resolviendo eq. 6 restringida por la condición de contorno que requiere que las componentes de las dos ondas transmitidas' vectores $k$ y el vector $k$ de la onda incidente, proyectados sobre la superficie de la interfaz, deben ser todos idénticos. Para un cristal uniaxial se encontrará que no hay un desplazamiento espacial para el rayo ordinario (de ahí su nombre) que se refractará como si el material no fuera birrefringente con un índice igual a los dos ejes que no son el eje óptico. Para un cristal biaxial, ningún rayo se considera "ordinario" ni se refractaría generalmente según un índice de refracción igual a uno de los ejes principales.

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