Bhaskara II

Līlāvatī

La primera sección Līlāvatī (también conocida como pāṭīgaṇita o aṅkagaṇita), que lleva el nombre de su hija, consta de 277 versos. Cubre cálculos, progresiones, medidas, permutaciones y otros temas.

Bijaganita

La segunda sección Bījagaita(Algebra) tiene 213 versos. Se discute cero, infinito, números positivos y negativos, y ecuaciones indeterminadas incluyendo (el ahora llamado) Ecuación de Pell, resolviéndolo usando una kuijkaka método. En particular, también resolvió ${displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}$ caso que era eludir Fermat y sus contemporáneos europeos siglos después.

Grahaganita

En la tercera sección Grahagaṇita, mientras trataba el movimiento de los planetas, consideró sus velocidades instantáneas. Llegó a la aproximación: Consta de 451 versos

${displaystyle sin y'-sin yapprox (y'-y)cos y}$ para.

${displaystyle y'}$ cerca ${displaystyle y}$, o en notación moderna:

${displaystyle {fnMicroc} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}} Y= 'cos y'$.

En sus palabras:

bimbārdhasya koijkijyā guastrijyāhāraḥ phala do dorjyāyorantaram

Este resultado también había sido observado anteriormente por Muñjalācārya (o Mañjulācārya) mānasam, en el contexto de una tabla de senos.

Bhāskara también afirmó que en su punto más alto la velocidad instantánea de un planeta es cero.

Matemáticas

Algunas de las contribuciones de Bhaskara a las matemáticas incluyen las siguientes:

• Una prueba del teorema pitagórico calculando el mismo área de dos maneras diferentes y luego cancelando términos para obtener a² + b² = c².
• In Lilavati, se explican soluciones de ecuaciones indeterminadas cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
• Soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax² + b = Sí.²).
• Soluciones más complejas de ecuaciones indeterminadas lineales y cuadráticas (Kuijkaka). Las reglas que da son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos renacentistas del siglo XVII.
• Un método cíclico Chakravala para resolver ecuaciones indeterminadas de la forma ax² + bx + c = Sí.. La solución a esta ecuación fue tradicionalmente atribuida a William Brouncker en 1657, aunque su método era más difícil que el chakravala método.
• El primer método general para encontrar las soluciones del problema x² − ny² = 1 (la llamada "ecuación de Pell") fue dada por Bhaskara II.
• Soluciones de ecuaciones diofantinas del segundo orden, como 61x² + 1 = Sí.². Esta misma ecuación fue planteada como un problema en 1657 por el matemático francés Pierre de Fermat, pero su solución fue desconocida en Europa hasta la época de Euler en el siglo XVIII.
• Ecuaciones cuadradas con más de una desconocida, y encontró soluciones negativas e irracionales.
• Concepto preliminar del análisis matemático.
• Concepto preliminar del cálculo infinitesimal, junto con contribuciones notables hacia el cálculo integral.
• Cálculo diferencial concebido, después de descubrir una aproximación del coeficiente derivativo y diferencial.
• Teorema de Stated Rolle, un caso especial de uno de los teoremas más importantes en análisis, el teorema de valor medio. También se encuentran rastros del teorema de valor promedio general en sus obras.
• Calculado los derivados de funciones trigonométricas y fórmulas. (Vea la sección Cálculo a continuación.)
• In Siddhanta-Śiromanui, Bhaskara desarrolló trigonometría esférica junto con varios otros resultados trigonométricos. (Ver sección de Trigonometría a continuación.)

Aritmética

El texto aritmético de Bhaskara Līlāvatī cubre temas de definiciones, términos aritméticos, cálculo de intereses, progresiones aritméticas y geométricas, geometría plana, geometría sólida, la sombra del gnomon, métodos para resolver ecuaciones indeterminadas y combinaciones.

Līlāvatī está dividido en 13 capítulos y cubre muchas ramas de las matemáticas, aritmética, álgebra, geometría y un poco de trigonometría y medidas. Más específicamente los contenidos incluyen:

• Definiciones.
• Propiedades de cero (incluyendo división y reglas de operaciones con cero).
• Trabajo numérico más extenso, incluyendo el uso de números negativos y sudos.
• Estimación de π.
• Términos Aritméticos, métodos de multiplicación, y escuadrar.
• Regla inversa de tres, y reglas de 3, 5, 7, 9, y 11.
• Problemas que implican interés y computación de intereses.
• Ecuaciones indeterminadas (Kuijkaka), soluciones enteros (primero y segundo orden). Sus contribuciones a este tema son particularmente importantes, ya que las reglas que él da son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos del renacimiento del siglo XVII, sin embargo su trabajo fue del siglo XII. El método de resolución de Bhaskara fue una mejora de los métodos encontrados en el trabajo de Aryabhata y los matemáticos subsiguientes.

Su trabajo destaca por su sistematización, la mejora de sus métodos y los nuevos temas que introdujo. Además, el Lilavati contenía excelentes problemas y se cree que la intención de Bhaskara pudo haber sido que un estudiante de 'Lilavati' debería preocuparse por la aplicación mecánica del método.

Álgebra

Su Bījaganita ("Álgebra") fue una obra de doce capítulos. Fue el primer texto en reconocer que un número positivo tiene dos raíces cuadradas (una raíz cuadrada positiva y otra negativa). Su obra Bījaganita es efectivamente un tratado de álgebra y contiene los siguientes temas:

• Números positivos y negativos.
• El "no conocido" (incluye determinar cantidades desconocidas).
• Determinación de cantidades desconocidas.
• Surds (incluye evaluar los sudos y sus raíces cuadradas).
• Kuijkaka (para resolver ecuaciones indeterminadas y ecuaciones de Diofantina).
• Ecuaciones simples (indeterminadas de segundo, tercero y cuarto grado).
• Ecuaciones simples con más de una desconocida.
• Ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del eje tipo² + b = y²).
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas del segundo, tercer y cuarto grado.
• Ecuaciones cuadráticas.
• Ecuaciones cuadráticas con más de una desconocida.
• Operaciones con productos de varios desconocidos.

Bhaskara derivó un método chakravala cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas de la forma ax² + bx + c = y. El método de Bhaskara para encontrar las soluciones del problema Nx² + 1 = y² (la llamada "ecuación de Pell' 34;) es de considerable importancia.

Trigonometría

El Siddhānta Shiromani (escrito en 1150) demuestra el conocimiento de Bhaskara sobre la trigonometría, incluyendo la tabla sine y las relaciones entre diferentes funciones trigonométricas. También desarrolló trigonometría esférica, junto con otros resultados trigonométricos interesantes. En particular Bhaskara parecía más interesado en la trigonometría por su propio bien que sus predecesores que lo veían sólo como una herramienta para el cálculo. Entre los muchos resultados interesantes dados por Bhaskara, los resultados encontrados en sus obras incluyen la computación de los pecados de ángulos de 18 y 36 grados, y la fórmula ahora bien conocida para ${displaystyle sin left(a+bright)}$ y ${displaystyle sin left(a-bright)}$.

Cálculo

Su obra, el Siddhānta Shiromani, es un tratado astronómico y contiene muchas teorías que no se encuentran en obras anteriores. Son de especial interés los conceptos preliminares de cálculo infinitesimal y análisis matemático, junto con una serie de resultados en trigonometría, cálculo diferencial y cálculo integral que se encuentran en la obra.

La evidencia sugiere que Bhaskara estaba familiarizado con algunas ideas de cálculo diferencial. Bhaskara también profundiza en el 'cálculo diferencial' y sugiere que el coeficiente diferencial desaparece en un valor extremo de la función, lo que indica conocimiento del concepto de "infinitesimales".

• Hay evidencia de una forma temprana del teorema de Rolle en su trabajo. La formulación moderna del teorema de Rolle dice que si ${displaystyle fleft(aright)=fleft(bright)=0}$, entonces ${displaystyle f'left(xright)=0}$ para algunos ${displaystyle x}$ con ${displaystyle a wonx hechob}$.
• En este trabajo astronómico dio un procedimiento que parece un precursor de métodos infinitesimal. En términos que es si ${displaystyle xapprox y}$ entonces ${displaystyle sin(y)-sin(x)approx (y-x)cos(y)}$ que es un derivado del pecado, aunque no desarrolló la noción en derivativo.
  • Bhaskara utiliza este resultado para determinar el ángulo de posición de la eclíptica, una cantidad necesaria para predecir con precisión el tiempo de un eclipse.
• Al calcular el movimiento instantáneo de un planeta, el intervalo de tiempo entre posiciones sucesivas de los planetas no era mayor que un truti, o un 1.33750 de un segundo, y su medida de velocidad se expresó en esta unidad de tiempo infinitesimal.
• Era consciente de que cuando una variable alcanza el valor máximo, su diferencial desaparece.
• También mostró que cuando un planeta está más lejos de la tierra, o en su más cercano, la ecuación del centro (medida de cuán lejos está un planeta de la posición en la que se predice ser, asumiendo que es moverse uniformemente) desaparece. Por lo tanto, concluyó que para alguna posición intermedia el diferencial de la ecuación del centro es igual a cero. En este resultado, hay rastros del teorema de valor promedio general, uno de los teoremas más importantes en el análisis, que hoy generalmente se deriva del teorema de Rolle. El teorema de valor medio fue encontrado más tarde por Parameshvara en el siglo XV en el Lilavati Bhasya, un comentario sobre Bhaskara Lilavati.

Madhava (1340-1425) y los matemáticos de la escuela de Kerala (incluido Parameshvara) desde el siglo XIV hasta el siglo XVI ampliaron el trabajo de Bhaskara y avanzaron aún más en el desarrollo del cálculo en la India.

Astronomía

Utilizando un modelo astronómico desarrollado por Brahmagupta en el siglo VII, Bhāskara definió con precisión muchas cantidades astronómicas, incluida, por ejemplo, la duración del año sidéreo, el tiempo necesario para que la Tierra orbite alrededor del Sol, como aproximadamente 365,2588 días que es lo mismo que en Suryasiddhanta. La medida moderna aceptada es 365,25636 días, una diferencia de 3,5 minutos.

Su texto de astronomía matemática Siddhanta Shiromani está escrito en dos partes: la primera parte sobre astronomía matemática y la segunda parte sobre la esfera.

Los doce capítulos de la primera parte cubren temas como:

• longitudes medias de los planetas.
• Las verdaderas longitudes de los planetas.
• Los tres problemas de rotación diurnal. (El movimiento diocesano es un término astronómico refiriéndose al aparente movimiento diario de estrellas alrededor de la Tierra, o más precisamente alrededor de los dos polos celestiales. Es causada por la rotación de la Tierra en su eje, por lo que cada estrella aparentemente se mueve en un círculo, que se llama el círculo diurnal.)
• Syzygies.
• Eclips lunares.
• eclipses solares.
• Las latitudes de los planetas.
• Ecuación del amanecer
• La luna es increíble.
• Conjunciones de los planetas entre sí.
• Conjunciones de los planetas con las estrellas fijas.
• Los caminos del Sol y la Luna.

La segunda parte contiene trece capítulos sobre el ámbito. Cubre temas como:

• Alabanza del estudio de la esfera.
• Naturaleza de la esfera.
• Cosmografía y geografía.
• Moción media planetaria.
• Modelo epicíclico excéntrico de los planetas.
• La esfera armilar.
• Trinometría esférica.
• Cálculos de elipse.
• Primeras viabilidades de los planetas.
• Calculando la cresta lunar.
• Instrumentos astronómicos.
• Las estaciones.
• Problemas de cálculos astronómicos.

Ingeniería

La primera referencia a una máquina de movimiento perpetuo se remonta a 1150, cuando Bhāskara II describió una rueda que, según él, funcionaría para siempre.

Bhāskara II utilizó un dispositivo de medición conocido como Yaṣṭi-yantra. Este dispositivo podría variar desde un simple palo hasta bastones en forma de V diseñados específicamente para determinar ángulos con la ayuda de una escala calibrada.

Leyendas

En su libro Lilavati, razona: "También en esta cantidad que tiene cero como divisor no hay cambio incluso cuando muchas cantidades han entrado o salido [de ella]. ], así como en el momento de la destrucción y la creación, cuando multitudes de criaturas entran y salen de [él, no hay cambio en] el infinito e inmutable [Vishnu]".

"¡Mira!"

Varios autores han afirmado que Bhaskara II demostró el teorema de Pitágoras dibujando un diagrama y proporcionando la única palabra "¡Mira!". A veces se omite el nombre de Bhaskara y esto se conoce como la prueba hindú, muy conocida por los escolares.

Sin embargo, como señala el historiador de las matemáticas Kim Plofker, después de presentar un ejemplo elaborado, Bhaskara II establece el teorema de Pitágoras:

Por tanto, en aras de la brevedad, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del brazo y recto es la hipotenusa: así se demuestra.

A esto le sigue:

Y de lo contrario, cuando uno ha establecido las partes de la figura allí [merely] viendo [es suficiente].

Plofker sugiere que esta declaración adicional puede ser la fuente última del difundido "¡Mira!" leyenda.

Legado

Varios institutos y universidades de la India llevan su nombre, incluidos Bhaskaracharya Pratishthana en Pune, Bhaskaracharya College of Applied Sciences en Delhi, Bhaskaracharya Institute for Space Applications and Geo-Informatics en Gandhinagar.

El 20 de noviembre de 1981, la Organización de Investigación Espacial de la India (ISRO) lanzó el satélite Bhaskara II en honor al matemático y astrónomo.

Invis Multimedia lanzó Bhaskaracharya, un corto documental indio sobre el matemático en 2015.