Bernhard riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann ()Alemán: [suena] ()escucha); 17 septiembre 1826 – 20 julio 1866) fue un matemático alemán que hizo contribuciones para el análisis, la teoría de números y la geometría diferencial. En el campo del análisis real, es mayormente conocido por la primera formulación rigurosa de la integral, la integral Riemann, y su trabajo en la serie Fourier. Sus contribuciones al análisis complejo incluyen, en particular, la introducción de superficies Riemann, rompiendo nuevo terreno en un tratamiento natural y geométrico de análisis complejo. Su documento de 1859 sobre la función de primera cuenta, que contiene la declaración original de la hipótesis Riemann, se considera un papel fundamental de la teoría del número analítico. A través de sus contribuciones pioneras a la geometría diferencial, Riemann sentó las bases de las matemáticas de la relatividad general. Es considerado por muchos como uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos.

Biografía

Primeros años

Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, un pueblo cerca de Dannenberg en el Reino de Hannover. Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, era un pastor luterano pobre en Breselenz que luchó en las guerras napoleónicas. Su madre, Charlotte Ebell, murió antes de que sus hijos alcanzaran la edad adulta. Riemann fue el segundo de seis hijos, tímido y que sufría numerosas crisis nerviosas. Riemann exhibió un talento matemático excepcional, como habilidades de cálculo, desde una edad temprana, pero sufría de timidez y miedo a hablar en público.

Educación

Durante 1840, Riemann fue a Hannover para vivir con su abuela y asistir al liceo (años de escuela secundaria). Después de la muerte de su abuela en 1842, asistió a la escuela secundaria en el Johanneum Lüneburg. En la escuela secundaria, Riemann estudió la Biblia intensamente, pero a menudo se distraía con las matemáticas. Sus profesores estaban asombrados por su habilidad para realizar operaciones matemáticas complicadas, en las que a menudo superaba los conocimientos de su instructor. En 1846, a la edad de 19 años, comenzó a estudiar filología y teología cristiana para convertirse en pastor y ayudar con las finanzas de su familia.

Durante la primavera de 1846, su padre, después de reunir suficiente dinero, envió a Riemann a la Universidad de Göttingen, donde planeaba estudiar para obtener una licenciatura en teología. Sin embargo, una vez allí, comenzó a estudiar matemáticas con Carl Friedrich Gauss (específicamente sus conferencias sobre el método de los mínimos cuadrados). Gauss le recomendó a Riemann que abandonara su trabajo teológico y se adentrara en el campo de las matemáticas; después de obtener la aprobación de su padre, Riemann se transfirió a la Universidad de Berlín en 1847. Durante su tiempo de estudio, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner y Gotthold Eisenstein fueron profesores. Permaneció en Berlín durante dos años y regresó a Göttingen en 1849.

Academia

Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, que fundaron el campo de la geometría riemanniana y, por lo tanto, sentaron las bases para la teoría general de la relatividad de Albert Einstein. En 1857, hubo un intento de promover a Riemann al estatus de profesor extraordinario en la Universidad de Göttingen. Aunque este intento fracasó, resultó que Riemann finalmente recibió un salario regular. En 1859, tras la muerte de Dirichlet (que ocupaba la cátedra de Gauss en la Universidad de Göttingen), fue ascendido a director del departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen. También fue el primero en sugerir el uso de dimensiones superiores a tres o cuatro para describir la realidad física.

En 1862 se casó con Elise Koch y tuvieron una hija, Ida Schilling, que nació el 22 de diciembre de 1862.

Familia protestante y muerte en Italia

La lápida de Riemann en Biganzolo en Piamonte, Italia.

Riemann huyó de Göttingen cuando los ejércitos de Hanover y Prusia se enfrentaron allí en 1866. Murió de tuberculosis durante su tercer viaje a Italia en Selasca (ahora una aldea de Verbania en el lago Maggiore) donde fue enterrado en el cementerio de Biganzolo (Verbania).

Riemann era un cristiano dedicado, hijo de un pastor protestante, y vio su vida como matemático como otra forma de servir a Dios. Durante su vida, se aferró estrechamente a su fe cristiana y la consideró el aspecto más importante de su vida. En el momento de su muerte, estaba recitando el Padrenuestro con su esposa y murió antes de que terminaran de decir la oración. Mientras tanto, en Göttingen, su ama de llaves descartó algunos de los papeles en su oficina, incluido mucho trabajo inédito. Riemann se negó a publicar un trabajo incompleto y es posible que se hayan perdido para siempre algunas ideas profundas.

La lápida de Riemann en Biganzolo (Italia) hace referencia a Romanos 8:28:

Geometría de Riemann

Los trabajos publicados de Riemann abrieron áreas de investigación que combinaban el análisis con la geometría. Posteriormente, estos se convertirían en partes importantes de las teorías de la geometría de Riemann, la geometría algebraica y la teoría de las variedades complejas. La teoría de las superficies de Riemann fue elaborada por Felix Klein y particularmente por Adolf Hurwitz. Esta área de las matemáticas es parte de la base de la topología y todavía se aplica de formas novedosas a la física matemática.

En 1853, Gauss le pidió a Riemann, su alumno, que preparara un Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría. Durante muchos meses, Riemann desarrolló su teoría de las dimensiones superiores y pronunció su conferencia en Göttingen en 1854 titulada Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. No fue publicado hasta doce años después, en 1868, por Dedekind, dos años después de su muerte. Su recepción temprana parece haber sido lenta, pero ahora se reconoce como una de las obras más importantes de geometría.

El tema fundado por este trabajo es la geometría riemanniana. Riemann encontró la forma correcta de extender a n dimensiones la geometría diferencial de las superficies, lo que el propio Gauss demostró en su teorema egregium. Los objetos fundamentales se denominan métrica de Riemann y tensor de curvatura de Riemann. Para el caso de la superficie (bidimensional), la curvatura en cada punto se puede reducir a un número (escalar), siendo las superficies de curvatura constante positiva o negativa modelos de las geometrías no euclidianas.

La métrica de Riemann es una colección de números en cada punto del espacio (es decir, un tensor) que permite medir la velocidad en cualquier trayectoria, cuya integral da la distancia entre los puntos finales de la trayectoria. Por ejemplo, Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales, se necesitan diez números en cada punto para describir distancias y curvaturas en una variedad, sin importar cuán distorsionada esté.

Análisis complejo

En su disertación, estableció una base geométrica para un análisis complejo a través de superficies Riemann, a través de las cuales funciones multivalorizadas como el logaritmo (con infinitamente muchas hojas) o la raíz cuadrada (con dos hojas) podrían convertirse en una sola función. Las funciones complejas son funciones armónicas (es decir, satisfacen la ecuación de Laplace y así las ecuaciones Cauchy-Riemann) en estas superficies y se describen por la ubicación de sus singularidades y la topología de las superficies. El "geno" topológico de las superficies Riemann es dado por g=w/2− − n+1{displaystyle g=w/2-n+1}, donde tiene la superficie n{displaystyle n} las hojas que se juntan w{displaystyle w} puntos de rama. Para 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g■1{displaystyle g título1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3aa256fb29a830d501693b50832d0e09f65557" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;"/> la superficie Riemann tiene ()3g− − 3){displaystyle (3g-3)} parámetros (los "moduli").

Sus contribuciones a esta área son numerosas. El famoso teorema de mapeo Riemann dice que un dominio simplemente conectado en el plano complejo es "biholomorfamente equivalente" (es decir, hay una bijección entre ellos que es holomorfa con un inverso holomorfo) a cualquiera C{displaystyle mathbb {C} o al interior del círculo de la unidad. La generalización del teorema a las superficies Riemann es el famoso teorema de uniformización, que fue probado en el siglo XIX por Henri Poincaré y Felix Klein. Aquí, también, pruebas rigurosas se dieron primero después del desarrollo de herramientas matemáticas más ricas (en este caso, topología). Para la prueba de la existencia de funciones en las superficies Riemann usó una condición mínima, que él llamó el principio Dirichlet. Karl Weierstrass encontró una brecha en la prueba: Riemann no había notado que su suposición de trabajo (que el mínimo existía) podría no funcionar; el espacio de función podría no estar completo, y por lo tanto la existencia de un mínimo no estaba garantizada. A través de la obra de David Hilbert en el Cálculo de Variaciones, el principio Dirichlet fue finalmente establecido. De lo contrario, Weierstrass estaba muy impresionado con Riemann, especialmente con su teoría de las funciones abelianas. Cuando apareció el trabajo de Riemann, Weierstrass retiró su periódico Revista Crelle y no lo publicó. Tenían un buen entendimiento cuando Riemann lo visitó en Berlín en 1859. Weierstrass alentó a su estudiante Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas al principio Dirichlet en un análisis complejo, en el que tuvo éxito. Una anécdota de Arnold Sommerfeld muestra las dificultades que los matemáticos contemporáneos tenían con las nuevas ideas de Riemann. En 1870, Weierstrass había llevado la tesis de Riemann con él de vacaciones a Rigi y se quejó de que era difícil de entender. El físico Hermann von Helmholtz le ayudó en el trabajo de noche y volvió con el comentario de que era "natural" y "muy comprensible".

Otros aspectos destacados incluyen su trabajo en funciones abelianas y funciones de theta en superficies Riemann. Riemann había estado en una competencia con Weierstrass desde 1857 para resolver los problemas inversos jacobinos para los integrales abelianos, una generalización de los integrales elípticos. Riemann utilizó funciones theta en varias variables y redujo el problema a la determinación de los ceros de estas funciones theta. Riemann también investigó matrices de periodo y las caracterizó a través de las "relaciones del período de Riemann" (simétricas, de parte real negativa). Por Ferdinand Georg Frobenius y Solomon Lefschetz la validez de esta relación es equivalente a la incrustación de Cn/Ω Ω {displaystyle mathbb {C}/Omega} (donde) Ω Ω {displaystyle Omega } es la celosía de la matriz de período) en un espacio proyector por medio de funciones de theta. Para ciertos valores n{displaystyle n}, esta es la variedad Jacobiana de la superficie Riemann, un ejemplo de un manifold abeliano.

Muchos matemáticos, como Alfred Clebsch, impulsaron el trabajo de Riemann sobre las curvas algebraicas. Estas teorías dependían de las propiedades de una función definida sobre superficies de Riemann. Por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch (Roch fue alumno de Riemann) dice algo sobre el número de diferenciales linealmente independientes (con condiciones conocidas en los ceros y polos) de una superficie de Riemann.

Según Detlef Laugwitz, las funciones automórficas aparecieron por primera vez en un ensayo sobre la ecuación de Laplace en cilindros cargados eléctricamente. Sin embargo, Riemann usó tales funciones para mapas conformes (como el mapeo de triángulos topológicos al círculo) en su conferencia de 1859 sobre funciones hipergeométricas o en su tratado sobre superficies mínimas.

Análisis reales

En el campo del análisis real, descubrió la integral de Riemann en su habilitación. Entre otras cosas, demostró que toda función continua por partes es integrable. De manera similar, la integral de Stieltjes se remonta al matemático de Göttinger, por lo que se denominan juntas integral de Riemann-Stieltjes.

En su trabajo de habilitación de las series de Fourier, donde siguió el trabajo de su maestro Dirichlet, demostró que las funciones integrables de Riemann son "representables" por series de Fourier. Dirichlet ha demostrado esto para funciones continuas diferenciables por partes (por lo tanto, con muchos puntos contables no diferenciables). Riemann dio un ejemplo de una serie de Fourier que representa una función continua, casi en ninguna parte diferenciable, un caso no cubierto por Dirichlet. También probó el lema de Riemann-Lebesgue: si una función es representable por una serie de Fourier, entonces los coeficientes de Fourier llegan a cero para grandes n.

El ensayo de Riemann también fue el punto de partida para el trabajo de Georg Cantor con las series de Fourier, que fue el impulso para la teoría de conjuntos.

También trabajó con ecuaciones diferenciales hipergeométricas en 1857 utilizando métodos analíticos complejos y presentó las soluciones a través del comportamiento de caminos cerrados sobre singularidades (descritos por la matriz monodromía). La demostración de la existencia de tales ecuaciones diferenciales mediante matrices monodrómicas previamente conocidas es uno de los problemas de Hilbert.

Teoría de números

Riemann hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna. En un solo artículo breve, el único que publicó sobre teoría de números, investigó la función zeta que ahora lleva su nombre, estableciendo su importancia para comprender la distribución de los números primos. La hipótesis de Riemann fue una de una serie de conjeturas que hizo sobre las propiedades de la función.

En el trabajo de Riemann, hay muchos desarrollos más interesantes. Demostró la ecuación funcional para la función zeta (ya conocida por Leonhard Euler), detrás de la cual se encuentra una función theta. A través de la suma de esta función de aproximación sobre los ceros no-triviales en la línea con la parte real 1/2, dio una exacta, "fórmula explícita" para π π ()x){displaystyle pi (x)}.

Riemann conocía el trabajo de Pafnuty Chebyshev sobre el teorema de los números primos. Había visitado Dirichlet en 1852.

Escritos

Los trabajos de Riemann incluyen:

• 1851 – Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Inauguraldissertation, Göttingen, 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 54. S. 101–155.
• 1859 – Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, en: Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Berlín, noviembre de 1859, S. 671ff. Con la conjetura de Riemann. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. (Wikisource), Facsimile del manuscrito con Clay Mathematics.
• 1867 – Über die Darstellbarkeit einer Función durch eine trigonometrische Reihe, Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
• 1868 – Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Abh. Kgl. Wiss, Göttingen 1868. Traducción EMIS, pdfSobre las hipótesis que se encuentran en la base de la geometría, traducido por W.K.Clifford, Nature 8 1873 183 – reimprimido en los Documentos Matemáticos Recopilados de Clifford, Londres 1882 (MacMillan); Nueva York 1968 (Chelsea) http://www.emis.de/classics/Riemann/. También en Ewald, William B., ed., 1996 “De Kant a Hilbert: Un libro fuente en las fundaciones de las matemáticas”, 2 vols. Oxford Uni. Prensa: 652–61.
• 1876 – Gesammelte Mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. herausgeben von Heinrich Weber unter Mitwirkung von Richard Dedekind, Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2. Auflage 1892, Nachdruck bei Dover 1953 (con contribuciones de Max Noether y Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Más adelante ediciones Las obras recogidas de Bernhard Riemann: los textos alemanes completos. Eds. Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Wilhelm Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017
• 1876 – Schwere, Elektrizität und MagnetismusHannover: Karl Hattendorff.
• 1882 – Vorlesungen über Partielle Differentialgleichungen 3. Auflage. Braunschweig 1882.
• 1901 – Die partiellen Differential-Gleichungen der mathematischen Physik nach Riemann's Vorlesungen. PDF en Wikimedia Commons. En archive.org: Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (ed.). "Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen". archi.org. Friedrich Vieweg und Sohn. Retrieved 1o de junio 2022.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Documentos recopilados, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437