Base (topología)

En matemáticas, a base (o base) para la topología τ de un espacio topológico ()X, τ) es una familia ${displaystyle {máthcal {B}}$ de subconjuntos abiertos X tal que cada conjunto abierto de la topología es igual a la unión de alguna sub-familia de ${displaystyle {máthcal {B}}$. Por ejemplo, el conjunto de todos los intervalos abiertos en la línea número real ${displaystyle mathbb {R}$ es una base para la topología Euclideana sobre ${displaystyle mathbb {R}$ porque cada intervalo abierto es un conjunto abierto, y también cada subconjunto abierto ${displaystyle mathbb {R}$ puede ser escrito como una unión de una familia de intervalos abiertos.

Las bases son ubicuas en toda la topología. Los conjuntos en una base para una topología, que se denominan conjuntos abiertos básicos, a menudo son más fáciles de describir y usar que los conjuntos abiertos arbitrarios. Muchas definiciones topológicas importantes, como la continuidad y la convergencia, se pueden verificar utilizando solo conjuntos abiertos básicos en lugar de conjuntos abiertos arbitrarios. Algunas topologías tienen una base de conjuntos abiertos con propiedades útiles específicas que pueden facilitar la verificación de dichas definiciones topológicas.

No todas las familias de subconjuntos de un conjunto ${displaystyle X}$ forma una base para una topología en ${displaystyle X}$. En algunas condiciones detalladas a continuación, una familia de subconjuntos formará una base para una topología (unica) sobre ${displaystyle X}$, obtenido tomando todas las uniones posibles de subfamilias. Estas familias de conjuntos se utilizan con frecuencia para definir topologías. Una noción más débil relacionada con las bases es la de una subbase para una topología. Las bases para las topologías también están estrechamente relacionadas con las bases del vecindario.

Definición y propiedades básicas

Dado un espacio topológico ${displaystyle (X,tau)}$, a base (o base) para la topología ${displaystyle tau }$ (también llamado a base para ${displaystyle X}$ si la topología se entiende) es una familia ${displaystyle {mathcal {B}subseteq tau }$ de conjuntos abiertos tales que cada conjunto abierto de la topología puede ser representado como la unión de alguna subfamilia de ${displaystyle {máthcal {B}}$. Los elementos de ${displaystyle {máthcal {B}}$ se llaman conjuntos abiertos básicos. Equivalentemente, una familia ${displaystyle {máthcal {B}}$ of subsets of ${displaystyle X}$ es una base para la topología ${displaystyle tau }$ si ${displaystyle {mathcal {B}subseteq tau }$ y para cada conjunto abierto ${displaystyle U}$ dentro ${displaystyle X}$ y punto ${displaystyle xin U}$ hay un conjunto abierto básico ${displaystyle Bin {cHFF}$ tales que ${displaystyle xin Bsubseteq U}$.

Por ejemplo, la colección de todos los intervalos abiertos en la línea real forma una base para la topología estándar en los números reales. Más generalmente, en un espacio métrico ${displaystyle M}$ la colección de todas las bolas abiertas sobre puntos de ${displaystyle M}$ forma una base para la topología.

En general, un espacio topológico ${displaystyle (X,tau)}$ puede tener muchas bases. Toda la topología ${displaystyle tau }$ es siempre una base para sí (es decir, ${displaystyle tau }$ es una base para ${displaystyle tau }$). Para la línea real, la colección de todos los intervalos abiertos es una base para la topología. Así es la colección de todos los intervalos abiertos con puntos finales racionales, o la colección de todos los intervalos abiertos con puntos finales irracionales, por ejemplo. Tenga en cuenta que dos bases diferentes no necesitan ningún conjunto abierto básico en común. Una de las propiedades topológicas de un espacio ${displaystyle X}$ es la cardenalidad mínima de una base para su topología, llamada la peso de ${displaystyle X}$ y denotado ${displaystyle w(X)}$. De los ejemplos anteriores, la línea real tiene peso contable.

Si ${displaystyle {máthcal {B}}$ es una base para la topología ${displaystyle tau }$ de un espacio ${displaystyle X}$, satisface las siguientes propiedades:

(B1) Los elementos de ${displaystyle {máthcal {B}}$ cubierta ${displaystyle X}$, es decir, cada punto ${displaystyle xin X}$ pertenece a algún elemento ${displaystyle {máthcal {B}}$.

(B2) Por cada uno ${displaystyle B.$ y cada punto ${displaystyle xin B_{1}cap B_{2}$, hay algunos ${displaystyle B_{3}in {fn}$ tales que ${displaystyle xin B_{3}subseteq B_{1}cap B_{2}$.

La propiedad (B1) corresponde al hecho de que ${displaystyle X}$ es un conjunto abierto; propiedad (B2) corresponde al hecho de que ${displaystyle B_{1}cap B_{2}$ es un juego abierto.

Por el contrario, supongo ${displaystyle X}$ es sólo un conjunto sin topología y ${displaystyle {máthcal {B}}$ es una familia de subconjuntos de ${displaystyle X}$ propiedades satisfactorias (B1) y (B2). Entonces... ${displaystyle {máthcal {B}}$ es una base para la topología que genera. Más precisamente, dejemos ${displaystyle tau }$ ser la familia de todos los subconjuntos de ${displaystyle X}$ que son sindicatos de subfamilias ${displaystyle {mathcal {B}}$ Entonces... ${displaystyle tau }$ es una topología en ${displaystyle X}$ y ${displaystyle {máthcal {B}}$ es una base para ${displaystyle tau }$. (Sketch: ${displaystyle tau }$ define una topología porque es estable bajo uniones arbitrarias por construcción, es estable bajo intersecciones finitas por (B2), contiene ${displaystyle X}$ por (B1), y contiene el conjunto vacío como la unión de la subfamilia vacía ${displaystyle {máthcal {B}}$. La familia ${displaystyle {máthcal {B}}$ es entonces una base para ${displaystyle tau }$ por construcción.) Tales familias de conjuntos son una forma muy común de definir una topología.

En general, si ${displaystyle X}$ es un conjunto y ${displaystyle {máthcal {B}}$ es una colección arbitraria de subconjuntos ${displaystyle X}$, hay una (unique) topología más pequeña ${displaystyle tau }$ on ${displaystyle X}$ que contiene ${displaystyle {máthcal {B}}$. (Esta topología es la intersección de todas las topologías en ${displaystyle X}$ que contiene ${displaystyle {máthcal {B}}$.) La topología ${displaystyle tau }$ se llama topología generada por ${displaystyle {máthcal {B}}$, y ${displaystyle {máthcal {B}}$ se llama subbase para ${displaystyle tau }$. La topología ${displaystyle tau }$ se puede caracterizar también como el conjunto de todos los sindicatos arbitrarios de intersecciones finitas de elementos de ${displaystyle {máthcal {B}}$. (Ver el artículo sobre la subbase.) Ahora, si ${displaystyle {máthcal {B}}$ también satisfies propiedades (B1) y (B2), la topología generada por ${displaystyle {máthcal {B}}$ se puede describir de una manera más simple sin tener que tomar intersecciones: ${displaystyle tau }$ es el conjunto de todos los sindicatos de elementos ${displaystyle {máthcal {B}}$ (y) ${displaystyle {máthcal {B}}$ es la base para ${displaystyle tau }$ en ese caso).

A menudo hay una manera fácil de comprobar la condición (B2). Si la intersección de los dos elementos de ${displaystyle {máthcal {B}}$ es en sí mismo un elemento ${displaystyle {máthcal {B}}$ o está vacío, entonces la condición (B2) se satisface automáticamente (por tomar ${displaystyle B_{3}=B_{1}cap B_{2}$). Por ejemplo, la topología Euclideana en el plano admite como base el conjunto de todos los rectángulos abiertos con lados horizontales y verticales, y una intersección no vacía de dos conjuntos abiertos básicos es también un conjunto abierto básico. Pero otra base para la misma topología es la colección de todos los discos abiertos; y aquí la condición completa (B2) es necesaria.

Un ejemplo de una colección de conjuntos abiertos que no es una base es el conjunto ${displaystyle S.$ de todos los intervalos semiinfinitos de las formas ${displaystyle (-inftya)}$ y ${displaystyle (a,infty)}$ con ${displaystyle ain mathbb {R}$. La topología generada por ${displaystyle S.$ contiene todos los intervalos abiertos ${displaystyle (a,b)=(-inftyb)cap (a,infty)}$, por lo tanto ${displaystyle S.$ genera la topología estándar en la línea real. Pero... ${displaystyle S.$ es sólo una base para la topología, no una base: un intervalo abierto finito ${displaystyle (a,b)}$ no contiene ningún elemento ${displaystyle S.$ (equivalentemente, la propiedad (B2) no se mantiene).

Ejemplos

El set . de todos los intervalos abiertos en ${displaystyle mathbb {R}$ forma una base para la topología Euclideana sobre ${displaystyle mathbb {R}$.

Una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto X que se cierra bajo intersecciones finitas de dos o más conjuntos, que se llama un sistema π sobre X, es necesariamente una base para una topología en X si y sólo si cubre X. Por definición, cada álgebra σ, cada filtro (y así en particular, cada filtro del vecindario), y cada topología es una cobertura π- sistema y así también una base para una topología. De hecho, si . es un filtro en X entonces { ∅ } ∪ es una topología en X y . es una base para ello. Una base para una topología no tiene que ser cerrada bajo intersecciones finitas y muchos no lo son. Sin embargo, muchas topologías se definen por bases que también se cierran bajo intersecciones finitas. Por ejemplo, cada una de las siguientes familias de subconjunto ${displaystyle mathbb {R}$ está cerrado bajo intersecciones finitas y así cada forma una base para algunos topología en ${displaystyle mathbb {R}$:

• El set . de todos atado intervalos abiertos en ${displaystyle mathbb {R}$ genera la topología Euclideana habitual en ${displaystyle mathbb {R}$.
• El set . de todos los cerrado intervalos en ${displaystyle mathbb {R}$ genera la topología discreta en ${displaystyle mathbb {R}$ y así la topología euclidiana es un subconjunto de esta topología. Esto es a pesar de que . no es un subconjunto de .. En consecuencia, la topología generada por ., que es la topología Euclideana en ${displaystyle mathbb {R}$, es más gruesa que la topología generada por .. De hecho, es estrictamente estricta más grueso porque . contiene conjuntos compactos no vacíos que nunca están abiertos en la topología Euclideana.
• El set ._{${displaystyle mathbb {Q}$} de todos los intervalos en . tal que ambos puntos finales del intervalo son números racionales genera la misma topología como .. Esto sigue siendo cierto si cada instancia del símbolo . es reemplazado por ..
• ._JUEGO *r, ∞): r ▪ ${displaystyle mathbb {R}$ } genera una topología que es estrictamente más gruesa que la topología generada por .. Ningún elemento ._JUEGO está abierta en la topología Euclideana en ${displaystyle mathbb {R}$.
• ._JUEGO = {}r, ∞): r ▪ ${displaystyle mathbb {R}$ } genera una topología que es estrictamente más gruesa que la topología euclidiana y la topología generada por ._JUEGO. Los juegos ._JUEGO y ._JUEGO son deshonrados, pero sin embargo ._JUEGO es un subconjunto de la topología generada por ._JUEGO.

Objetos definidos en términos de bases

• La topología del pedido en un conjunto totalmente ordenado admite una colección de conjuntos de intervalor abierto como base.
• En un espacio métrico la colección de todas las bolas abiertas forma una base para la topología.
• La topología discreta tiene la colección de todos los singletons como base.
• Un espacio de segunda cuenta es uno que tiene una base contable.

La topología de Zariski en el espectro de un anillo tiene una base que consta de conjuntos abiertos que tienen propiedades útiles específicas. Para la base habitual de esta topología, toda intersección finita de conjuntos abiertos básicos es un conjunto abierto básico.

• La topología de Zariski ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ es la topología que tiene los conjuntos algebraicos como conjuntos cerrados. Tiene una base formada por los complementos conjuntos de hipersuperficies algebraicas.
• La topología Zariski del espectro de un anillo (el conjunto de los ideales principales) tiene una base tal que cada elemento consiste en todos los ideales primos que no contienen un elemento dado del anillo.

Teoremas

• Una topología ${displaystyle tau _{2}$ es más fino que una topología ${displaystyle tau _{1}$ si y sólo si para cada ${displaystyle xin X}$ y cada conjunto abierto básico ${displaystyle B}$ de ${displaystyle tau _{1}$ que contiene ${displaystyle x}$, hay un conjunto abierto básico ${displaystyle tau _{2}$ que contiene ${displaystyle x}$ y contenidos en ${displaystyle B}$.
• Si ${fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {B}_{n}$ son bases para las topologías ${displaystyle tau _{1},ldotstau _{n}$ entonces la colección de todos los productos conjuntos ${displaystyle B_{1}times cdots times B_{n}$ con cada ${displaystyle B_{i}in {fn} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {cH}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$ es una base para la topología del producto ${displaystyle tau _{1}times cdots times tau _{n}.$ En el caso de un producto infinito, esto todavía se aplica, excepto que todos pero finitamente muchos de los elementos base deben ser todo el espacio.
• Vamos ${displaystyle {máthcal {B}}$ ser una base para ${displaystyle X}$ y dejar ${displaystyle Sí.$ ser un subespacio ${displaystyle X}$. Entonces si intersectamos cada elemento de ${displaystyle {máthcal {B}}$ con ${displaystyle Sí.$, la colección resultante de conjuntos es una base para el subespacio ${displaystyle Sí.$.
• Si una función ${displaystyle f:Xto Sí.$ mapas cada conjunto básico abierto de ${displaystyle X}$ en un conjunto abierto ${displaystyle Sí.$, es un mapa abierto. Del mismo modo, si cada preimage de un conjunto básico abierto de ${displaystyle Sí.$ está abierto ${displaystyle X}$, entonces ${displaystyle f}$ es continuo.
• ${displaystyle {máthcal {B}}$ es una base para un espacio topológico ${displaystyle X}$ si y sólo si la subcolecta de elementos ${displaystyle {máthcal {B}}$ que contienen ${displaystyle x}$ formar una base local en ${displaystyle x}$, para cualquier punto ${displaystyle xin X}$.

Base para los conjuntos cerrados

Los conjuntos cerrados son igualmente independientes al describir la topología de un espacio. Por lo tanto, hay una noción dual de una base para los conjuntos cerrados de un espacio topológico. Dado un espacio topológico ${displaystyle X.$ una familia ${displaystyle {fnMithcal}}$ de conjuntos cerrados formas a base para los conjuntos cerrados si y sólo si para cada conjunto cerrado ${displaystyle A}$ y cada punto ${displaystyle x}$ no en ${displaystyle A}$ existe un elemento ${displaystyle {fnMithcal}}$ que contiene ${displaystyle A}$ pero no contiene ${displaystyle x.}$Una familia ${displaystyle {fnMithcal}}$ es una base para los conjuntos cerrados ${displaystyle X}$ si y sólo si dual dentro ${displaystyle X.$ que es la familia ${displaystyle {Xsetminus C:Cin {fnMithcal}}}$ de los miembros de ${displaystyle {fnMithcal}}$, es una base para los conjuntos abiertos ${displaystyle X.}$

Vamos ${displaystyle {fnMithcal}}$ ser una base para los conjuntos cerrados ${displaystyle X.}$ Entonces...

1. ${displaystyle bigcap {Mathcal Nada.$
2. Para cada uno ${displaystyle C_{1},C_{2}in {mathcal {C}}$ el sindicato ${displaystyle C_{1}cup C_{2}$ es la intersección de alguna subfamilia de ${displaystyle {fnMithcal}}$ (es decir, para cualquier ${displaystyle xin X}$ no en ${displaystyle C_{1}{ or }C_{2}$ hay algunos ${displaystyle C_{3}in {fnMithcal {C}}$ que contiene ${displaystyle C_{1}cup C_{2}$ y no contiene ${displaystyle x}$).

Cualquier colección de subconjuntos de un conjunto ${displaystyle X}$ satisfacer estas propiedades forma una base para los conjuntos cerrados de una topología en ${displaystyle X.}$ Los conjuntos cerrados de esta topología son precisamente las intersecciones de los miembros de ${displaystyle {mathcal {}}$

En algunos casos es más conveniente utilizar una base para los conjuntos cerrados en lugar de los abiertos. Por ejemplo, un espacio es completamente regular si y sólo si el cero establece una base para los conjuntos cerrados. Dado cualquier espacio topológico ${displaystyle X.$ el cero establece la base para los conjuntos cerrados de alguna topología en ${displaystyle X.}$ Esta topología será la mejor topología completamente regular en ${displaystyle X}$ más grueso que el original. En una vena similar, la topología Zariski en Aⁿ se define tomando los cero conjuntos de funciones polinómicas como base para los conjuntos cerrados.

Peso y carácter

Trabajaremos con nociones establecidas en (Engelking 1989, p. 12, pp. 127-128).

Corrección X un espacio topológico. Aquí, un red es una familia ${displaystyle {fn}$ de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos x y barrios abiertos U que contiene x, existe B dentro ${displaystyle {fn}$ para la cual ${displaystyle xin Bsubseteq U.}$ Tenga en cuenta que, a diferencia de una base, los conjuntos en una red no necesitan ser abiertos.

Definimos el peso, w()X), como la cardinalidad mínima de una base; definimos la peso de red, #()X), como la cardenalidad mínima de una red; carácter de un punto, ${displaystyle chi (x,X),}$ como cardenalidad mínima de un barrio x dentro X; y carácter de X para ser

$${displaystyle chi (X)triangleq sup{chi (x,X):xin X}.}$$

El objetivo de calcular el carácter y el peso es poder saber qué tipo de bases y bases locales pueden existir. Tenemos los siguientes hechos:

• #()X≤ w()X).
• si X es discreto, entonces w()X) #()X.XSilencio.
• si X es Hausdorff, entonces #()X) es finito si y sólo si X es discreto finito.
• si B es una base de X entonces hay una base ${displaystyle B'subseteq B}$ de tamaño ${displaystyle SilencioB' sobrevivienteleq w(X).}$
• si N una base de barrio x dentro X entonces hay una base vecinal ${displaystyle N'subseteq N}$ de tamaño ${displaystyle TENN'Antesleq chi (x,X). }$
• si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es una subjeción continua, entonces #()Y≤ w()X). (Simply consider the Y-network ${displaystyle f'''Btriangleq {f'U:Uin B}$ para cada base B de X.)
• si ${displaystyle (X,tau)}$ es Hausdorff, entonces existe una topología más débil de Hausdorff ${displaystyle (X,tau ')}$ así ${displaystyle w(X,tau ')leq nw(X,tau). }$ Así que... a fortiori, si X es también compacto, entonces tales topologías coinciden y por lo tanto tenemos, combinado con el primer hecho, #()X) w()X).
• si ${displaystyle f:Xto Sí.$ un mapa subjetivo continuo desde un espacio compacto y metro hasta un espacio Hausdorff, luego Y es compact metrizable.

El último hecho sigue f()X) siendo compacto Hausdorff, y por lo tanto ${displaystyle nw(f(X))=w(f(X))leq w(X)leq aleph _{0}}$ (ya que los espacios compactos metrizables son necesariamente segundos contables); así como el hecho de que los espacios compactos de Hausdorff se pueden satisfacer exactamente en caso de que sean segundo contables. (Una aplicación de esto, por ejemplo, es que cada camino en un espacio Hausdorff es compacta metrizable.)

Cadenas crecientes de conjuntos abiertos

Usando la notación anterior, suponga que w(X) ≤ κ algún cardinal infinito. Entonces no existe una secuencia estrictamente creciente de conjuntos abiertos (equivalente a una secuencia estrictamente decreciente de conjuntos cerrados) de longitud ≥ κ⁺.

Para ver esto (sin el axioma de elección), corrija

$${displaystyle left{U_{xi }right}{xi in kappa }$$

$${displaystyle left{V_{xi }right}{xi in kappa ^{+}}$$

$${displaystyle forall alpha ^{+}:qquad V_{alpha }setminus bigcup _{xi }V_{xi }neq varnothing.}$$

Para

$${displaystyle xin V_{alpha }setminus bigcup _{xi }V_{xi }$$

$${displaystyle V_{alpha }setminus bigcup _{xi Identificadoalpha }V_{xi }$$

Este mapa es inyectivo, de lo contrario habría α < β con f(α) = f(β) = γ, lo que implicaría además U_γ ⊆ V_α pero también cumple

$${displaystyle V_{beta }setminus bigcup _{xi }V_{xi }subseteq V_{beta }setminus V_{alpha }$$