Base ortonormal

En matemáticas, particularmente álgebra lineal, un base ortonormal para un espacio interior de producto V con dimensión finita es una base para V{displaystyle V} cuyos vectores son ortonormales, es decir, todos son vectores de unidad y ortogonales entre sí. Por ejemplo, la base estándar para un espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} es una base ortonormal, donde el producto interno relevante es el producto de punto de los vectores. La imagen de la base estándar bajo rotación o reflexión (o cualquier transformación ortogonal) es también ortonormal, y cada base ortonormal para Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} surge de esta manera.

Para un espacio de producto interno general V,{displaystyle V,} una base ortonormal se puede utilizar para definir coordenadas ortogonales normalizadas en V.{displaystyle V.} Bajo estas coordenadas, el producto interior se convierte en un producto de puntos de vectores. Así, la presencia de una base ortonormal reduce el estudio de un espacio interior finito-dimensional al estudio de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} debajo del producto de puntos. Cada espacio interior finito-dimensional tiene una base ortonormal, que puede obtenerse de una base arbitraria utilizando el proceso Gram-Schmidt.

En el análisis funcional, el concepto de base ortonormal puede ser generalizado a espacios de producto interno arbitrarios (infinito-dimensionales). Dado un espacio pre-Hilbert H,{displaystyle H,} an base ortonormal para H{displaystyle H. es un conjunto ortonormal de vectores con la propiedad que cada vector en H{displaystyle H. se puede escribir como una infinita combinación lineal de los vectores en la base. En este caso, la base ortonormal a veces se llama a Hilbert basis para H.{displaystyle H.} Tenga en cuenta que una base ortonormal en este sentido no es generalmente una base Hamel, ya que se requieren combinaciones lineales infinitas. Específicamente, la extensión lineal de la base debe ser densa en H,{displaystyle H,} pero puede que no sea todo el espacio.

Si continuamos con los espacios de Hilbert, un conjunto no ortonormal de vectores que tienen el mismo lazo lineal como base ortonormal puede no ser una base para nada. Por ejemplo, cualquier función cuadrada-integrable en el intervalo [− − 1,1]{displaystyle [-1,1]} se puede expresar (casi en todas partes) como una suma infinita de polinomios Legendre (una base ortonormal), pero no necesariamente como una suma infinita de los monomiales xn.{displaystyle x^{n}

Una generalización diferente es a espacios de producto pseudo-inner, espacios vectoriales finitos M{displaystyle M} equipado con una forma bilineal simétrica no degenerada conocida como el tensor métrico. En tal base, la métrica toma la forma diag()+1,⋯ ⋯ ,+1,− − 1,⋯ ⋯ ,− − 1){displaystyle {text{diag}(+1,cdots+1,-1,cdots-1)} con p{displaystyle p} positivos y q{displaystyle q} negativo.

Ejemplos

• Para R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}, el conjunto de vectores {}e1=()1,0,0),e2=()0,1,0),e3=()0,0,1)},{displaystyle left{e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)right} se llama Bases estándar y forma una base ortonormal de R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} con respecto al producto de puntos estándar. Tenga en cuenta que tanto la base estándar como el producto de puntos estándar dependen de la visualización R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} como el producto cartesiano R× × R× × R{displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R}

  Prueba: Un cálculo directo muestra que los productos interiores de estos vectores equivalen a cero, .e1,e2.=.e1,e3.=.e2,e3.=0{displaystyle leftlangle E_{1},e_{2}rightrangle =leftlangle E_{1},e_{3}rightrangle =leftlangle E_{2},e_{3}rightrangle =0} y que cada una de sus magnitudes es igual a una, .e1.=.e2.=.e3.=1.{displaystyle leftfnse_{1}derechafnse=leftfnsi}derechaderecha=leftfone_{3}derechafn1} Esto significa que {}e1,e2,e3}{displaystyle left{e_{1},e_{2},e_{3}right} es un conjunto ortonormal. Todos los vectores ()x,Sí.,z)▪ ▪ R3{displaystyle (x,y,z)in mathbb {R} ^{3} se puede expresar como una suma de los vectores de base escalada

  ()x,Sí.,z)=xe1+Sí.e2+ze3,{displaystyle (x,y,z)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}

  

  Así que... {}e1,e2,e3}{displaystyle left{e_{1},e_{2},e_{3}right} abarcaciones R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} y por lo tanto debe ser una base. También se puede demostrar que la base estándar rota alrededor de un eje a través del origen o reflejada en un plano a través del origen también forma una base ortonormal R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}.

• Para Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, la base estándar y el producto interno se definen de forma similar. Cualquier otra base ortonormal está relacionada con la base estándar por una transformación ortogonal en el grupo O(n).
• Por pseudo-Euclidean space Rp,q,{displaystyle mathbb {R} ^{p,q}, una base ortogonal {}eμ μ }{displaystyle {fn}} con métrica .. {displaystyle eta } en lugar de satisfices .. ()eμ μ ,e.. )=0{displaystyle eta (e_{mu },e_{nu }=0} si μ μ ل ل .. {displaystyle mu neq nu }, .. ()eμ μ ,eμ μ )=+1{displaystyle eta (e_{mu },e_{mu })=+1} si 1≤ ≤ μ μ ≤ ≤ p{displaystyle 1leq mu leq p}, y .. ()eμ μ ,eμ μ )=− − 1{displaystyle eta (e_{mu },e_{mu }=-1} si p+1≤ ≤ μ μ ≤ ≤ p+q{displaystyle p+1leq mu leq p+q}. Cualquier dos bases ortonormales están relacionadas por una transformación pseudo-ortogonal. En el caso ()p,q)=()1,3){displaystyle (p,q)=(1,3)}, estas son transformaciones de Lorentz.
• El set {}fn:n▪ ▪ Z}{displaystyle left{f_{n}:nin mathbb {Z} right} con fn()x)=exp⁡ ⁡ ()2π π inx),{displaystyle f_{n}(x)=exp(2pi inx),} Donde exp{displaystyle exp } denota la función exponencial, forma una base ortonormal del espacio de funciones con integrales de Lebesgue finitos, L2()[0,1]),{displaystyle L^{2}([0,1]),} con respecto a la 2-norm. Esto es fundamental para el estudio de la serie Fourier.
• El set {}eb:b▪ ▪ B}{displaystyle left{e_{b}:bin Bright con eb()c)=1{displaystyle e_{b}(c)=1} si b=c{displaystyle b=c} y eb()c)=0{displaystyle e_{b}(c)=0} de otra manera forma una base ortonormal de l l 2()B).{displaystyle ell ^{2}(B). }
• Eigenfunctions of a Sturm-Liouville eigenproblem.
• Los vectores de columna de una matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal.

Fórmula básica

Si B{displaystyle B} es una base ortogonal de H,{displaystyle H,} entonces cada elemento x▪ ▪ H{displaystyle xin H} puede ser escrito como

x=.. b▪ ▪ B.. b,x.. .. b.. 2b.{displaystyle x=sum _{bin B}{frac {langle b,xrangle }{l Vert brVert ^{2}}b.}

Cuando B{displaystyle B} es ortonormal, esto simplifica

x=.. b▪ ▪ B.. b,x.. b{displaystyle x=sum _{bin B}langle b,xrangle b}

x{displaystyle x}

.. x.. 2=.. b▪ ▪ BSilencio.. x,b.. Silencio2.{displaystylefnxfnK}=sum _{bin B}Sobrevivirlangle x,brangle Н^{2}

Incluso si B{displaystyle B} es incontable, sólo muchos términos en esta suma serán no cero, y la expresión está bien definida. Esta suma también se llama Expansión de cuatro más de x,{displaystyle x,} y la fórmula generalmente se conoce como identidad de Parseval.

Si B{displaystyle B} es una base ortonormal de H,{displaystyle H,} entonces H{displaystyle H. es isomorfo a l l 2()B){displaystyle ell ^{2}(B)} en el siguiente sentido: existe un mapa lineal bijetivo CCPR CCPR :H→ → l l 2()B){displaystyle Phi:Hto ell ^{2}(B)}tales que

.. CCPR CCPR ()x),CCPR CCPR ()Sí.).. =.. x,Sí... para todosx,Sí.▪ ▪ H.{displaystyle langle Phi (x),Phi (y)rangle =langle x,yrangle quad {text{ for all }}x,yin H.}

Conjuntos ortogonales incompletos

Dado un espacio Hilbert H{displaystyle H. y un set S{displaystyle S. de vectores mutuamente ortogonales en H,{displaystyle H,} podemos tomar el subespacio lineal más pequeño V{displaystyle V} de H{displaystyle H. que contiene S.{displaystyle S.} Entonces... S{displaystyle S. será una base ortogonal de V;{displaystyle V;} que, por supuesto, puede ser menor H{displaystyle H. en sí mismo, siendo incompleto set ortogonal, o ser H,{displaystyle H,} cuando es un completo set ortogonal.

Existencia

Usando el lema de Zorn y el proceso de Gram-Schmidt (o más simplemente bien ordenado y recursividad transfinita), se puede demostrar que todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal; además, dos bases ortonormales cualesquiera del mismo espacio tienen la misma cardinalidad (esto se puede probar de manera similar a la demostración del teorema de la dimensión usual para espacios vectoriales, con casos separados dependiendo de si la base candidata más grande es contable o no). Un espacio de Hilbert es separable si y solo si admite una base ortonormal numerable. (Se puede probar esta última afirmación sin usar el axioma de elección).

Elección de base como elección de isomorfismo

Para concretar hablamos de bases ortonormales para un real, n{displaystyle n} espacio vectorial dimensional V{displaystyle V} con una forma bilineal simétrica positiva φ φ =.. ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ .. {displaystyle phi =langle cdotcdot rangle }.

Una manera de ver una base ortonormal con respecto a φ φ {displaystyle phi } es como un conjunto de vectores B={}ei}{fnMicrosoft} {fnK}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}}}} {fnK}}}}}}}}} {f}}}}} {\fnK}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\, que nos permite escribir v=viei{displaystyle v=v^{i}e_{i} para v▪ ▪ V{displaystyle vin V}, y vi▪ ▪ R{displaystyle v^{i}in mathbb {R} o ()vi)▪ ▪ Rn{displaystyle (v^{i})in mathbb {R} {fn}. Con respecto a esta base, los componentes de φ φ {displaystyle phi } son particularmente simples: φ φ ()ei,ej)=δ δ ij.{displaystyle phi (e_{i},e_{j})=delta _{ij}.

Ahora podemos ver la base como un mapa ↑ ↑ B:V→ → Rn{displaystyle psi _{mathcal {B}:Vrightarrow mathbb {R} {n} que es un isomorfismo de los espacios interiores del producto: para hacer esto más explícito podemos escribir

↑ ↑ B:()V,φ φ )→ → ()Rn,δ δ ij).{displaystyle psi _{mathcal {B}:(V,phi)rightarrow (mathbb {R} ^{n},delta _{ij}). }

Explícitamente podemos escribir ()↑ ↑ B()v))i=ei()v)=φ φ ()ei,v){displaystyle (psi _{mathcal {B}(v)}{i}=e^{i}(v)=phi (e_{i},v)} Donde ei{displaystyle e^{i} es el elemento de base dual a ei{displaystyle E_{i}.

El inverso es un mapa de componentes

CB:Rn→ → V,()vi)↦ ↦ .. i=1nviei.{displaystyle C_{mathcal {B}:Mathbb {R} ^{n}rightarrow V,(v^{i})mapsto sum ¿Qué?

Estas definiciones ponen de manifiesto que existe una biyección

{}Espacio de bases ortogonalesB}Administración Administración {}Espacio de isomorfismosVAdministración Administración Rn}.{displaystyle{text{Espacio de bases ortogonales}{mathcal {B}}leftrightarrow {text{Espacio de isomorfismos V 'leftrightarrow mathbb {R} } }

El espacio de isomorfismos admite acciones de grupos ortogonales en cualquiera de los V{displaystyle V} el lado o el Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} lado. Para concretar arreglamos los isomorfismos para apuntar en la dirección Rn→ → V{displaystyle mathbb {R} {n}derechazo V., y considerar el espacio de tales mapas, Iso()Rn→ → V){displaystyle {text{Iso}(mathbb {R} {n}rightarrow V)}.

Este espacio admite una acción izquierda del grupo de isometrías V{displaystyle V}, es decir, R▪ ▪ GL()V){displaystyle Rin {text{GL}(V)} tales que φ φ ()⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ )=φ φ ()R⋅ ⋅ ,R⋅ ⋅ ){displaystyle phi (cdotcdot)=phi (RcdotRcdot)}, con la acción dada por la composición: RAlternativa Alternativa C=R∘ ∘ C.{displaystyle R*C=Rcirco C.}

Este espacio también admite una acción correcta por el grupo de isometrías Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, es decir, Rij▪ ▪ O()n)⊂ ⊂ Matn× × n()R){displaystyle R_{}in {text{O}(n)subset {text{Mat}_{ntimes n}(mathbb {R})}, con la acción de nuevo dada por la composición: CAlternativa Alternativa Rij=C∘ ∘ Rij{displaystyle C*R_{ij}=Ccirc R_{ij}.

Como espacio homogéneo principal

El conjunto de bases ortonormales para Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} con el producto interior estándar es un espacio homogéneo principal o G-tortortores para el grupo ortogonal G=O()n),{displaystyle G={text{O}(n),} y se llama el andamio Stiefel Vn()Rn){displaystyle V_{n}(mathbb {R} of orthonormal n{displaystyle n}- Marcos.

En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin elección de punto base: dado el espacio de bases ortonormales, no hay elección natural de base ortonormal, pero una vez que se le da una, no es una correspondencia uno a uno entre las bases y el grupo ortogonal. Concretamente, un mapa lineal está determinado por dónde envía una base dada: así como un mapa invertible puede tomar cualquier base a cualquier otra base, un mapa ortogonal puede tomar cualquier base ortogonal a cualquier otra base ortogonal.

Los otros andamios Stiefel Vk()Rn){displaystyle ¿Qué? para <math alttext="{displaystyle kk.n{displaystyle k maden}<img alt="k de incompleto bases ortonormales (ortonormales) k{displaystyle k}-frames) son todavía espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no principal espacios homogéneos: cualquiera k{displaystyle k}- El marco se puede llevar a cualquier otro k{displaystyle k}-frame por un mapa ortogonal, pero este mapa no está determinado únicamente.

• El conjunto de bases ortonormales para Rp,q{displaystyle mathbb {R} ^{p,q} es un G-ordenador para G=O()p,q){displaystyle G={text{O}(p,q)}.
• El conjunto de bases ortonormales para Cn{displaystyle mathbb {C} {n}} es un G-ordenador para G=U()n){displaystyle G={text{U}(n)}.
• El conjunto de bases ortonormales para Cp,q{displaystyle mathbb {C} {p,q} es un G-ordenador para G=U()p,q){displaystyle G={text{U}(p,q)}.
• El conjunto de bases ortonormales derechas para Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} es un G-ordenador para G=SO()n){displaystyle G={text{SO}(n)}