Base ortogonal

En matemáticas, particularmente álgebra lineal, un base ortogonal para un espacio interior de producto ${displaystyle V}$ es una base para ${displaystyle V}$ cuyos vectores son mutuamente ortogonales. Si se normalizan los vectores de una base ortogonal, la base resultante es una base ortonormal.

Como coordenadas

Cualquier base ortogonal se puede utilizar para definir un sistema de coordenadas ortogonales ${displaystyle V.}$ Las bases ortogonales (no necesariamente ortonormales) son importantes debido a su aparición de coordenadas ortogonales curvilineales en los espacios euclidianos, así como en manifolds riemannianos y pseudoriemannianos.

En análisis funcional

En análisis funcional, una base ortogonal es cualquier base obtenida a partir de una base ortonormal (o base de Hilbert) mediante la multiplicación por escalares distintos de cero.

Extensiones

Forma bilineal simétrica

El concepto de base ortogonal es aplicable a un espacio vectorial ${displaystyle V}$ (sobre cualquier campo) equipado con una forma bilineal simétrica ${displaystyle langle cdotcdot rangle}$ Donde ortogonalidad de dos vectores ${displaystyle v}$ y ${displaystyle w}$ medios ${displaystyle langle v,wrangle =0.}$ Para una base ortogonal ${displaystyle left{e_{k}right}$

$${displaystyle langle e_{j},e_{k}rangle ={begin{cases}q(e_{k}) k,end{cases}}$$

${displaystyle q}$

${displaystyle langle cdotcdot rangle:}$

${displaystyle q(v)=langle v,vrangle }$

${displaystyle q(v)=fnvfncipado {2}$

Por lo tanto para una base ortogonal ${displaystyle left{e_{k}right}$

$${displaystyle langle v,wrangle =sum _{k}q(e_{k})v^{k}w^{k},}$$

${displaystyle V_{k}$

${displaystyle w_{k}$

${displaystyle v}$

${displaystyle w}$

Forma cuadrática

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a un espacio vectorial (sobre cualquier campo) equipado con una forma cuadrática ${displaystyle q(v)}$. Partiendo de la observación que, cuando la característica del campo subyacente no es 2, la forma simétrica bilineal asociada ${displaystyle langle v,wrangle ={tfrac {1} {2}(q(v+w)-q(v)-q(w)}$ permite vectores ${displaystyle v}$ y ${displaystyle w}$ ser definido como ser ortogonal con respecto a ${displaystyle q}$ cuando ${displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0.}$