Base estándar

En matemáticas, la Bases estándar (también llamado naturales o base canónica) de un espacio vectorial de coordenadas (como Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} o Cn{displaystyle mathbb {C} {n}}) es el conjunto de vectores, cada uno de cuyos componentes son todos cero, excepto uno que igual 1. Por ejemplo, en el caso del plano euclidiano R2{displaystyle mathbb {R} {2}} formado por los pares ()x, Sí.) de números reales, la base estándar está formada por los vectores

ex=()1,0),eSí.=()0,1).{displaystyle mathbf {e} _{x}=(1,0),quad mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Del mismo modo, la base estándar para el espacio tridimensional R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} está formado por vectores

ex=()1,0,0),eSí.=()0,1,0),ez=()0,0,1).{displaystyle mathbf {e} _{x}=(1,0,0),quad mathbf {e} _{y}=(0,1,0),quad mathbf {e}=(0,0,1). }

Aquí el vector e_x apunta en la dirección x, el vector e_y apunta en la dirección y y el vector e_z apunta en la dirección z. Existen varias notaciones comunes para los vectores de base estándar, incluidas {e_x, e_y, e_z}, {e₁, e₂, e₃}, {i, j, k} y {x, y, z}. Estos vectores a veces se escriben con un sombrero para enfatizar su condición de vectores unitarios (vectores unitarios estándar).

Estos vectores son una base en el sentido de que cualquier otro vector puede expresarse únicamente como una combinación lineal de estos. Por ejemplo, cada vector v en un espacio tridimensional se puede escribir de forma única como

vxex+vSí.eSí.+vzez,{displaystyle v_{x},mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué?

los cuero cabelludos vx{displaystyle v_{x},vSí.{displaystyle v_{y},vz{displaystyle v_{z} ser los componentes de escalar del vector v.

En el n-dimensional Espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, la base estándar consiste en n vectores distintos

{}ei:1≤ ≤ i≤ ≤ n},{displaystyle {sfn} {i}i}leq ileq n}}

where e_i denotes the vector with a 1 in the ith coordinate and 0's elsewhere.

Las bases estándar se pueden definir para otros espacios vectoriales, cuya definición implica coeficientes, como polinomios y matrices. En ambos casos, la base estándar consiste en los elementos del espacio tal que todos los coeficientes pero uno son 0 y el no cero uno es 1. Para los polinomios, la base estándar consiste así en los monomiales y es comúnmente llamada base monomial. Para matrices Mm× × n{fnMicrosoft Sans Serif} No., la base estándar consiste en m×n-Mátricas con una entrada no cero, que es 1. Por ejemplo, la base estándar para matrices 2×2 está formada por los 4 matrices

e11=()1000),e12=()0100),e21=()0010),e22=()0001).{displaystyle mathbf {e} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?

Propiedades

Por definición, la base estándar es una secuencia de vectores unitarios ortogonales. En otras palabras, es una base ordenada y ortonormal.

Sin embargo, una base ortonormal ordenada no es necesariamente una base estándar. Por ejemplo, los dos vectores que representan una rotación de 30° de la base estándar 2D descrita anteriormente, es decir

v1=()32,12){displaystyle v_{1}=left({sqrt {3}over 2},{1 over 2}right),}

v2=()12,− − 32){displaystyle v_{2}=left({1over 2},{-{-{sqrt {3}over 2}right),}

también son vectores unitarios ortogonales, pero no están alineados con los ejes del sistema de coordenadas cartesiano, por lo que la base con estos vectores no cumple con la definición de base estándar.

Generalizaciones

También existe una base estándar para el anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo, es decir, los monomios.

Todos los anteriores son casos especiales de la familia indexada

()ei)i▪ ▪ I=()()δ δ ij)j▪ ▪ I)i▪ ▪ I{displaystyle {(e_{i}}_{iin I}=(delta) ¿Qué? I}

Donde I{displaystyle Yo... es cualquier conjunto y δ δ ij{displaystyle delta _{ij} es el delta Kronecker, igual a cero cuando i ل j e igual a 1 si i = j. Esta familia es canónica base de la R-módulo (módulo libre)

R()I){displaystyle R^{(I)}

de todas las familias

f=()fi){displaystyle f=(f_{i})}

de I a un anillo R, que son cero excepto por un número finito de índices, si interpretamos 1 como 1_R, la unidad en R.

Otros usos

La existencia de otros 'estándar' Las bases se han convertido en un tema de interés en la geometría algebraica, comenzando con el trabajo de Hodge de 1943 sobre los Grassmannianos. Ahora es parte de la teoría de la representación llamada teoría del monomio estándar. La idea de base estándar en el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie está establecida por el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt.

Las bases Gröbner también se denominan a veces bases estándar.

In physics, the standard basis vectors for a given Euclidean space are sometimes referred to as the versions of the axes of the corresponding Cartesian coordinate system.